2023年陕西省咸阳市秦都区电建学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省咸阳市秦都区电建学校中考数学二模试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1.-8的立方根是（）

A.2B.-2C.4D.-4

2.某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图大致为（）

3.2023年2月，记者从国家知识产权局获悉，2022年我国发明专利有效量达4212000件,

数据4212000用科学记数法表示为（）

A.4.212X106B.4.212X103C.4212X103D.0.4212X107

4.某学校将国家非物质文化遗产一一“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”

的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，AB//CD,OC的延

长线交AE于点F；若NBAE=75°,ZA£C=35°,则NOCE的度数为（)

A.120°C.110°D.75°

5.已知y关于x的一次函数y=1-3）x+l（k<3）,则该函数图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.如图，0ABeQ的对角线AC与BD相交于点0,添加下列条件不能证明。ABCQ是菱形

的是（）

A

B

A.NABD=NADBB.ACA.BDC.AB=BCD.AC=BD

7.如图，点A、B、C.。为OO上的四个点，连接A。、CD、BC、BD,AD.LCDf若N8

=30°,。。的半径为6,则劣弧AO的长为（）

B.4TTC.6TED.127r

8.已知二次函数y=，nx2-4如（根为不等于o的常数），当-2WxW3时，函数y的最小值

为-2,则m的值为（）

A.±5B.-■或2C.-5或gD."或2

662636

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.分解因式：tr?-m=.

10.若一个多边形的每个外角都为36°,则这个多边形的内角和是°.

11.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和B'C''的顶点都在格点上，且△?!’

B1C是由△A8C向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到的，则机+〃的值

为.

12.如图，点A为反比例函数y」•第三象限内图象上一点，连接AO并延长，交该函数第

X

一象限内的图象于点8,过点B作8。〃》轴交反比例函数y=2（x>0）的图象于点C，

X

连接AC,则AA3c的面积为.

y

13.如图，在正方形ABC。中，点P为对角线AC上一点，且AP=AB=4,点H为线段OP

上一动点，过点H作HELAC于点E,作于点凡则HE+HF的值为.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.计算：-西-•。百+（4）°.

15.解不等式:增七）-1，并写出该不等式的最小整数解.

63

2

16.先化简，再求值：4-其中。=-1.

17.如图，在梯形A8C。中，AO〃BC,点E在边AB上，且AE=2,BE=3,请用尺规作

图法在C。边上求作一点尸，使得OF：CF=2：3.（保留作图痕迹，不写作法）

18.如图，已知AABC是等腰直角三角形，ZA=90°,点。为边AB的延长线上一点，连

接C。，若/BC£>=15°,CD=4,求A8的长.

19.如图，将一块正方形空地的三边各修出一条1，“宽的小路（图中阴影部分），剩余部分

（图中空白部分）的面积为12而，求原正方形空地的边长.

'1m

20.习近平总书记高度重视教育事业，曾多次强调立德树人这个根本任务.为了落实立德树

人根本任务，进一步发展素质教育，促进受教育者全面而富有个性地充分发展，某校增

设“4礼仪”“B.陶艺”“C.园艺”“£>.厨艺”及“E.编程”五门校本课程，并

且要求每位学生必须选修一门且只能选修一门.李明喜欢“人礼仪”“8.陶艺”和“E.编

程”，王婢喜欢“A.礼仪”“C.园艺”和“E.编程”，两人都不知道在自己喜欢的

课程中如何进行选择，于是决定采用摸球的方式来选择.五个小球上分别标有A、8、C、

D、E,这些球除所标字母不同外没有任何区别，李明先从A、B、E三个小球中任意摸出

一个，并选择该小球上对应的课程；王婷再从A、C、E三个小球中任意摸出一个，并选

择该小球上对应的课程.

(1)李明最终选择的是“A.礼仪”的概率为；

(2)请用列表法或画树状图的方法，求李明和王婷最终选择同一门课程的概率.

21.瀛湖一一安康水电站建成后形成的陕西最大的人工湖，金螺岛是瀛湖风景区重要景点之

一，坐落在金螺岛顶的螺峰塔，气势宏伟，巍巍壮观.某天莉莉想测量该塔的高度，但

是由于景区限制，塔底8处无法直接到达，于是她在地面上的点C处，测得塔顶A的仰

角为45°,并从C处沿2C继续向前走27米，到达点。处，此时测得塔顶A的仰角为

26.6°,已知点8、C、。在同一水平直线上，AB±BD,请你计算该塔的高度48.(参

考数据：sin26.6°-0.45,cos26.6°-0.89,tan26.6°-0.50)

22.北京时间2023年2月100,神舟十五号航天员圆满完成出舱活动全部既定任务，这是

中国空间站全面建成后航天员首次出舱活动，见证着我国从航天大国迈向航天强国的奋

进足迹.为了激发同学们学习航天知识的热情，某校举办了“致敬航天人，共筑星河梦”

主题演讲比赛，比赛的成绩分为A、B、C、。四个等级，其中相应等级的得分依次记为

100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如

下两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息，解答下列问题：

(1)被抽取的学生共有人,并补全条形统计图；

(2)本次演讲成绩的中位数落在等级，计算被抽取学生成绩的平均数；

(3)若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩在A等级的学生共有

23.如图甲所示，弹簧测力计下面挂一实心圆柱体，将圆柱体从盛有煤油的容器上方离油面

某一高度处匀速下降，使其逐渐浸入煤油中某一深度，如图乙是整个过程中弹簧测力计

示数尸(N)与圆柱体下降高度人(cm)变化关系的函数图象，根据图象解答下列问题：

(1)求BC段所在直线的函数表达式；

(2)当弹簧测力计的示数为8N时，求此时圆柱体下降的高度.

0123456789h/cm

甲乙

24.如图，E尸是。0的直径，点A为线段。尸上一点，点B为AE的中点，过点8作BC_L

EF交0。于点C,连接AC、CE,过点E作。0的切线EQ交AC的延长线于点D

(1)求证：CD=CE；

(2)若。4=208=2,求。E的长.

25.如图，抛物线y=+灰+c与x轴交于A(-1,0)、B两点(点B在点A的右侧)，

与y轴交于点C,且0C=30A,点。为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)点尸为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E,使得以点C、D、E、

F为顶点的四边形是以CQ为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若

(1)如图①，0P为NA08的平分线，于点C,POJ.OB于点。，若SAOPC=3,

贝（I

【问题探究】

(2)如图②，八6是两条平行的直线，且。、〃之间的距离为12,点4为直线。上一点,

点、B、C为直线6上两点，且点8在点C的左侧，若N2AC=45°,求8c的最小值;

【问题解决】

(3)如图③，四边形A8CZ)是园林规划局欲修建的一块平行四边形园林的大致示意图,

沿对角线BD修一条人行走道，沿NBAD的平分线AP(点P在BD上)修一条园林灌溉

水渠.根据规划要求，NA8C=120。，AP=120米，且使得平行四边形ABC。的面积尽

可能小，问平行四边形ABC。的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值，若不存

在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1.-8的立方根是（）

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】根据立方根的定义即可求出答案.

解：-8的立方根为-2,

故选：B.

【点评】本题考查立方根，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型.

2.某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图大致为（）

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

解：从上面看，是一列两个相邻的矩形.

故选:B.

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3.2023年2月，记者从国家知识产权局获悉，2022年我国发明专利有效量达4212000件,

数据4212000用科学记数法表示为（）

A.4.212X106B.4.212X103C.4212X103D.0.4212X107

【分析】科学记数法的表现形式为“X10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数，确定n

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同，当原数绝对值大于等于10时，〃是正整数，当原数绝对值小于1时，〃是负整数.

解：4212000=4.212X106,

故选:A.

【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为“X10"的形式，

其中iwia<io,〃为整数，表示时关键是要正确确定〃的值以及〃的值.

4.某学校将国家非物质文化遗产一一“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”

的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，AB//CD,0c的延

长线交AE于点尸；若NBAE=75。，NAEC=35°,则/OCE的度数为()

¥

A.120°B.115°C.110°D.75°

【分析】根据平行线的性质得到NEFC=/34E=75°,根据三角形外角性质求解即可.

解：'：AB//CD,NBAE=75°,

；.NEFC=/BAE=75°,

VZDCE=ZAEC+ZEFC,ZAEC=35°,

：.ZDCE=H0°,

故选：C.

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键.

5.已知y关于x的一次函数)，=(k-3)x+l(k<3),则该函数图象不经过的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据氏<3,可得分-3V0,进一步根据一次函数的图象与系数的关系求解即可.

解：-：k<3,

：.k-3<0,

Vl>0,

.•.一次函数y=(k-3)x+i(A<3)的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的

关键.

6.如图，QA8C。的对角线AC与BD相交于点0,添加下列条件不能证明是菱形

的是()

A

B

A.NABD=NADBB.AC±BDC.AB=BCD.AC=BD

【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.

解：A、VZABD^ZADB,

：.AB=AD,

：.°ABCD是菱形，故选项A不符合题意；

8、•.•四边形A8CD是平行四边形，AC1BD,

：.-ABCD是菱形，故选项B不符合题意；

C、•.•四边形ABC。是平行四边形，AB^BC,

.♦.oABCC是菱形，故选项C不符合题意，

•四边形ABCO是平行四边形，AC=BD,

.•.QABCO是矩形，故选项。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的

判定方法是解题的关键.

7.如图，点A、B、C、。为。。上的四个点，连接AD、CD、BC、BD,ADLCD,若NB

=30°,。。的半径为6,则劣弧AO的长为（）

A.3TTB.4TtC.6nD.12n

【分析】连接AC,OD,根据圆周角定理得到/ADC=90°,AC为。。的直径，求得N

ACZ）=60°,根据弧长公式即可得到结论.

解：连接AC,OD,

,JADLCD,

：.ZADC=90°,AC为。。的直径,

；NB=NA=30°,

：.Z/lCD=60o,

AZA0D=2ZACD=120°,

劣弧也的长=当产二轨'

【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键.

8.已知二次函数y=/nr2-4〃?x（m为不等于0的常数），当-2WxW3时，函数y的最小值

为-2,则m的值为（）

A.+—B.-■■或上C.-■■或2D.2或2

662636

【分析】由二次函数y=〃*-4〃a可得对称轴为x=2,分为帆>0和相<0两种情况，当

m>0时，二次函数开口向上，当-2<x<3时，函数在x=2取得最小值-2,将x=2,

y=-2代入丫=〃a2-4侬中，解得小=2-,当〃?V0时，二次函数开口向下，当-2Wx

W3时，函数在x=-2取得最小值-2,将x=-2,y=-2代入y=〃*-4"火中，解得

m=-2，即可求解.

6

解：；二次函数为）,=蛆2-4尔，

.,.对称轴为1=孚=型=2,

2a2m

①当/H>0时，

・・•二次函数开口向上，

・••当-2«3时，函数在尸2取得最小值-2,

将冗=2,y=-2代入旷=/加-4松中，

解得：加=2，

2

②当m<0时，

・・•二次函数开口向下，

・・・当-2WxW3时、函数在x=-2取得最小值-2,

将x=-2,y=-2代入y=nvc1-4/nr中,

解得：m=-

6

综上，机的值为《或-J,

26

故选:B.

【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是分情况讨论，掌握

二次函数对称轴的求法.

二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)

9.分解因式：m3-m—机("?+1)(〃？-1).

【分析】先提取公因式相，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

解：m3-m,

=mCm2-1),

=m(w+1)(w-1).

故答案为：m(w+1)(m-1).

【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行

二次分解因式.

10.若一个多边形的每个外角都为36°,则这个多边形的内角和是1440°.

【分析】本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为360°,可求出此正多

边形的边数为10.然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和.

解：；此正多边形每一个外角都为36°,

3600+36°=10,

二此正多边形的边数为10.

则这个多边形的内角和为(10-2)X1800=1440。.

故答案为：1440.

【点评】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°.

11.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和△4'B'C'，的顶点都在格点上，且△△'

B'C是由△ABC向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到的，则m+n的值为

5.

【分析】由图知，MNB1C是由△A8C向右平移3个单位，再向上平移2个单位得

到的，据此得出山、〃的值，从而得出答案.

解：由图知，B'C'是由aABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到的，

所以m—3,n—2,

则m+n=5,

故答案为：5.

【点评】本题主要考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握坐标与图形的平移规

律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.

12.如图，点A为反比例函数y」第三象限内图象上一点，连接A。并延长，交该函数第

X

一象限内的图象于点B,过点B作BC〃1轴交反比例函数）=刍（x>0）的图象于点C,

X

连接AC,则△ABC的面积为3.

【分析】连接0C,延长CB,交y轴于点根据反比例函数系数攵的几何意义得到也

BOC=S^COD-S^BOD=~?根据反比例函数的中心对称性对称0A=OB,即可得出S^ABC

=3.

解：连接0C,延长C5,交y轴于点。，

〃式轴，

・・・CDL轴，

1=5，Sz\coo=《X4=2,

222

.S/\BOC_=S^COD-S/\BOD_=2--1_=—3,

22

是反比例函数y」图象上第三象限上的点，连结AO并延长交该函数第一象限的图

X

象于点B,

；.A、B关于原点。成中心对称,

•・SMBC=3,

【点评】本题考查了反比例函数人的几何意义，反比例函数的对称性，明确SMOC=SMOD

-SMOQ是解题的关键.

13.如图，在正方形A8C。中，点尸为对角线AC上一点，且AP=A8=4,点H为线段OP

上一动点，过点H作HEYAC于点E,作HFLAD于点F,则HE+HF的值为

【分析】连接AH,过点P作PGLAO于点G,根据正方形的性质可得PG=*MP=2五,

利用SA”D=SZ\APH+S,"DH,可得PG=HE+HF,进而可以解决问题.

解：如图，连接4”,过点。作PG_LA。于点G,

在正方形A8CO中，点P为对角线AC上一点,

・・・NPAQ=45°,

9

\AP=AB=AD=4f

:.PG=^-AP=26,

「S&APD=SMPH+SMDH,

—AD-PG^—AP-HE+—AD-HF,

222

:.PG=HE+HF,

：.HE+HF=2yf2-

故答案为：2-y2，

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是掌握

正方形的性质.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.计算：我+（T）°.

【分析】先计算二次根式的除法，零指数基，再算加减，即可解答.

解：百+（T）°

O

=_3-

=-3-2+1

=-4.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数募，准确熟练地进行计算是解题的关

键.

15.解不等式：并写出该不等式的最小整数解.

63

【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数

解即可.

解:平•4>7

去分母，得：9x+8-2x2-6,

移项及合并同类项，得：7x2-14,

系数化为1,得：X2-2,

该不等式的最小整数解是-2.

【点评】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明

确解一元一次不等式的方法.

16.先化简，再求值：且一电+其中。=-1.

a+2a+2

【分析】先进行通分，再进行同分母的加法运算，然后把分子分解因式后约分，再把。

的值代入计算即可.

a(a-3).a+2-2

解：原式=

a+2a+2

a(a-3).a+2

a+2a

=a-3；

当a=-1时，原式=-4.

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代

入求出分式的值.

17.如图，在梯形A2C£＞中，AO〃8C,点E在边A3上，且AE=2,BE=3,请用尺规作

图法在C。边上求作一点R使得。F：CF=2：3.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作NAEF=ZB交CD于F点,利用平行线分线段成比例定理得到DF：CF=AE；

BE=2：3.

解：如图，点尸为所作.

A

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.也考查了梯形的性质和复杂作图.

18.如图，已知AABC是等腰直角三角形，/A=90°,点。为边AB的延长线上一点，连

,CD=4,求A5的长.

【分析】利用等腰直角三角形的性质可得4B=AC,ZABC=ZACB=45°,再利用三角

形的外角性质可得/。=30°,然后在口△4CD中，利用含30度角的直角三角形的性质,

进行计算即可解答.

解：:△ABC是等腰直角三角形，NA=90°,

：.AB=AC,ZABC=ZACB=45°,

；/ABC是△BCD的一个外角，ZBCD=15°,

,ZD=ZABC-ZBCD=30°,

;CD=4,

：.AC^—CD^2,

2

；.AB=AC=2,

：.AB的长为2.

【点评】本题考查了等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰直角三角

形，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.

19.如图，将一块正方形空地的三边各修出一条1加宽的小路（图中阴影部分），剩余部分

（图中空白部分）的面积为12加，求原正方形空地的边长.

【分析】设原正方形空地的边长为W7,由题意：剩余部分（图中空白部分）的面积为12机2,

列出一元二次方程，解方程即可.

解：设原正方形空地的边长为X，”，

由题意得：（X-1）（x-2）=12,

整理得：N-3x-10=0,

解得：xi=5,及=-2,（不符合题意舍去），

答：原正方形空地的边长为5%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

20.习近平总书记高度重视教育事业，曾多次强调立德树人这个根本任务.为了落实立德树

人根本任务，进一步发展素质教育，促进受教育者全面而富有个性地充分发展，某校增

设“4.礼仪”“B.陶艺”“C.园艺”“力.厨艺”及“E.编程”五门校本课程，并

且要求每位学生必须选修一门且只能选修一门.李明喜欢“A.礼仪”“8.陶艺”和“E.编

程”，王婷喜欢“A.礼仪”“C.园艺”和“E.编程”，两人都不知道在自己喜欢的

课程中如何进行选择，于是决定采用摸球的方式来选择.五个小球上分别标有A、8、C、

D、E,这些球除所标字母不同外没有任何区别，李明先从A、B、E三个小球中任意摸出

一个，并选择该小球上对应的课程；王婷再从A、C、E三个小球中任意摸出一个，并选

择该小球上对应的课程.

（1）李明最终选择的是“A.礼仪”的概率为4；

（2）请用列表法或画树状图的方法，求李明和王婷最终选择同一门课程的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）画树状图得出所有等可能的结果数和李明和王婷最终选择同一门课程的结果数，再

利用概率公式可得出答案.

解：（1）•.•李明从A、B、E三个小球中任意摸出一个，

二李明最终选择的是“4礼仪”的概率为1.

故答案为：［•.

3

（2）画树状图如下：

开始

共有9种等可能的结果，其中李明和王婷最终选择同一门课程的结果有2种，

...李明和王婷最终选择同一门课程的概率为

【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答

本题的关犍.

21.瀛湖一一安康水电站建成后形成的陕西最大的人工湖，金螺岛是瀛湖风景区重要景点之

一，坐落在金螺岛顶的螺峰塔，气势宏伟，巍巍壮观.某天莉莉想测量该塔的高度，但

是由于景区限制，塔底B处无法直接到达，于是她在地面上的点C处，测得塔顶A的仰

角为45。，并从C处沿BC继续向前走27米，到达点。处，此时测得塔顶4的仰角为

26.6°,已知点8、C、。在同一水平直线上，AB±BD,请你计算该塔的高度48.（参

考数据：sin26.6°七0.45,cos26.6°~0.89,tan26.6°~0.50）

A

【分析】在R/ABC中，根据NAC8=45°,得到AB=3C,在RfABO中，根据锐角三角

函数的定义，设未知数列方程求解求出AB,进而求出答案.

解：由题意可知，/ADB=26.6°,/ACB=45°,8=27米,

在R/ABC中,

；NACB=45°,

：.ZCAB=45°=ZACB,

：.AB=BC,

设AB=BC=x米，则80=(27+x)米,

在放4?。中,

AR

VtanZADB=—

BD

，0.5七二一

27+X

解得x=27米,

答：该塔的高度AB约为27米.

两个直角三角形的边角之间的关系是正确解答的关键.

22.北京时间2023年2月10II,神舟十五号航天员圆满完成出舱活动全部既定任务，这是

中国空间站全面建成后航天员首次出舱活动，见证着我国从航天大国迈向航天强国的奋

进足迹.为了激发同学们学习航天知识的热情，某校举办了“致敬航天人，共筑星河梦”

主题演讲比赛，比赛的成绩分为A、B、C、。四个等级，其中相应等级的得分依次记为

100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如

下两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息，解答下列问题:

（1）被抽取的学生共有20人,并补全条形统计图；

（2）本次演讲成绩的中位数落在C等级,计算被抽取学生成绩的平均数;

（3）若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩在4等级的学生共有

【分析】（1）由A等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出8等级人数即可补全图

形;

（2）根据中位数和平均数的定义求解即可；

（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可.

解：（1）被抽取的学生共有3・15%=20（人），

8等级人数为20-（3+8+4）=5（人），

（2）•.•共有20个数据，其中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均

落在C等级,

.•.这组数据的中位数落在C等级；

这组数据的平均数为工X（100X3+90X5+80X8+70X4）=83.5（分），

20

故答案为：C；

q

(3)100X-=15(名)，

20

答：估计比赛成绩在A等级的学生共有15名.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量

之间的关系是正确解答的前提.

23.如图甲所示，弹簧测力计下面挂一实心圆柱体，将圆柱体从盛有煤油的容器上方离油面

某一高度处匀速下降，使其逐渐浸入煤油中某一深度，如图乙是整个过程中弹簧测力计

示数/(N)与圆柱体下降高度〃(cm)变化关系的函数图象，根据图象解答下列问题：

(1)求BC段所在直线的函数表达式；

(2)当弹簧测力计的示数为8N时，求此时圆柱体下降的高度.

°123456789h/cm

甲乙

【分析】(1)利用待定系数法解答即可；

(2)把尸=8代入(1)的结论即可.

解：(1)设8c段所在直线的函数表达式为尸=劭+从根据题意得：

f3k+b=12

l7k+b=4

A.zgfk=-2

解7得《,

Ib=18

段所在直线的函数表达式为尸=-2/2+18：

(2)当尸=8时，-2/2+18=8,

解得人=5,

答：此时圆柱体下降的高度为5CTH.

【点评】本题主要考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式的技能，正确求解析

式是解答本题的关键.

24.如图，EF是。。的直径，点A为线段0尸上一点，点8为AE的中点，过点8作BCL

E尸交。。于点C,连接AC、CE,过点E作。。的切线E£＞交4c的延长线于点D

(1)求证：CD=CE；

(2)若。4=208=2,求OE的长.

【分析】(1)通过证明可得。E=28C,AD=2AC,由直角三角形的

性质可求解；

(2)先求出CO,B0的长，由勾股定理可求BC的长，即可求解.

【解答】(1)证明：•••点B是AE的中点，

：.AB=BE^—AE,

2

VEF1BC,

.•.NA5C=90°,

是。。的切线，

；.NDEA=90°=/ABC,

J.DE//BC,

：./\ABC^/\AED,

.AC二AB=BC=1

•而下而W

：.DE=2BC,AD=2AC,

二点C是4。的中点，

又AEC=90°,

：.CD=CE；

(2)解：如图，连接OC,

；OA=2OB=2,

；.OB=1,AB=3,

：.AE=6fBE=3,

・・・OE=OC=4,

22

,**BC=VCO-OB=V16-1=V75,

:.DE=2BC=2>/^.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明三角形相似是解题

的关键.

25.如图，抛物线y=-N+云+c与x轴交于A(-1,0),B两点(点B在点A的右侧)，

与y轴交于点C,且OC=3OA,点。为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点尸为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E,使得以点C、D、E、

尸为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)当矩形为CDFE时，如下图，过点E作轴于点M,证明tan/MEC=tanN

得到点E(3m3+小)，进而求解；当矩形为CDEF时，同理可解.

0C3

解：(1)：OC=3OA=3,则点C(0,3),

则抛物线的表达式为：)，=-/+法+3,

将点A的坐标代入上式得：0=-1-h+3,

解得:b=2,

故抛物线的表达式为：)，=-/+2X+3；

（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为工=1,即点0（1,0）,则。0=1,

当矩形为。。FE时，如下图，过点£作用石，丁轴于点M,

•・•四边形CQ尸E为矩形，则NECD=90°,

AZMEC+ZMCE=90°,NMCE+N0CD=90°,

・・・/MEC=/0CD,

tanZMEC=tanZOCD=二

OC3

故设MC=m,则ME=3m,

则点E(3/??,3+m),

将点E的坐标代入抛物线表达式得：3+m=-（3机）2+2X（3相）+3,

解得：巾=0（舍去）或提，

9

则点E的横坐标为：3机=£；

当矩形为CDEF时，如下图，过点E作轴于点M,

同理可设：点E（3/n+l,m）,

将点£的坐标代入抛物线表达式得：〃?=-（3优+1）2+2X（3w+l）+3,

解得：机=±£111.（负值己舍去），

18

则点E的横坐标为：3m+1=E+J145；

6

综上，点E的横坐标为：豆』还或

63

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的性质、解直角

三角形、矩形的性质等，其中(2),分类求解是本题解题的关键.

26.【问题提出】

(1)如图①，0P为/408的平分线，PC_L0A于点C,POJ_OB于点。，若SAOPC=3,

贝USAOPD=3

【问题探究】

(2)如图②，a、b