2021年辽宁省营口市中考数学试卷（含解析版）

2021年辽宁省营口市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1．（3分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）中央财政下达2021年支持学前教育发展资金预算为19840000000元．数据19840000000用科学记数法表示为（）A．0.1984×1011 B．1.984×1010 C．1.984×109 D．19.84×1093．（3分）估计的值在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间4．（3分）某班15名男生引体向上成绩如表：个数17121072人数23451则这组数据的众数和中位数分别是（）A．10，7 B．10，10 C．7，10 D．7，125．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b96．（3分）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（）A．41° B．51° C．42° D．497．（3分）如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠3＝60° C．FG＝FC D．GF⊥CD8．（3分）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（）A．112° B．124° C．122° D．134°9．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（）A．y随x增大而增大 B．k＝2 C．直线过点（1，0） D．与坐标轴围成的三角形面积为210．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）若∠A＝34°，则∠A的补角为．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是．14．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．15．（3分）如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝．三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）17．（10分）先化简，再求值：，其中x＝+|﹣2|﹣3tan60°．18．（10分）为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通知识”测试，学校随机抽取了部分学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表（不完整），请结合图中信息解答下列问题：学生测试成绩频数分布表组别成绩x分人数A60≤x＜708B70≤x＜80mC80≤x＜9024D90≤x≤100n（1）表中的m值为，n值为；（2）求扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数；（3）若测试成绩80分以上（含80分）为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数．四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）19．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是；（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．20．（10分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）21．（10分）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）22．（12分）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．六、解答题（本题满分12分）23．（12分）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？七、解答题（本题满分14分24．（14分）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．八、解答题（本题满分14分）25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．

2021年辽宁省营口市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1．（3分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）中央财政下达2021年支持学前教育发展资金预算为19840000000元．数据19840000000用科学记数法表示为（）A．0.1984×1011 B．1.984×1010 C．1.984×109 D．19.84×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：19840000000＝1.984×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）估计的值在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【分析】先写出21的范围，再写出的范围．【解答】解：∵16＜21＜25，∴4＜＜5，故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．4．（3分）某班15名男生引体向上成绩如表：个数17121072人数23451则这组数据的众数和中位数分别是（）A．10，7 B．10，10 C．7，10 D．7，12【分析】根据中位数与众数的定义，众数是出现次数最多的一个，从小到大排列后，中位数是第8个数，解答即可．【解答】解：7出现的次数最多，出现了5次，所以众数为7；第8个数是10，所以中位数为10．故选：C．【点评】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9【分析】A．直接利用合并同类项法则计算判断即可；B．直接利用单项式除以单项式计算得出答案；C．直接利用完全平方公式计算得出答案；D．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：A．2a和3b，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B．5a3b÷ab＝5a2，故此选项不合题意；C．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故此选项不合题意；D．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项、单项式除以单项式、完全平方公式、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（3分）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（）A．41° B．51° C．42° D．49【分析】过点C作MC∥AB，则MC∥PH，由正六边形的内角和及三角形的内角和求得∠3＝41°，根据平行线的性质得到∠BCM＝41°，∠MCD＝79°，∠PHD＝79°，由四边形的内角和即可求解．【解答】解：如图，过点C作MC∥AB，则MC∥PH，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠D＝∠DEF＝＝120°，∵∠1＝19°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠B＝41°，∵MC∥AB，∴∠BCM＝∠3＝41°，∴∠MCD＝∠BCD﹣∠BCM＝79°，∵MC∥PH，∴∠PHD＝∠MCD＝79°，四边形PHDE的内角和是360°，∴∠2＝360°﹣∠PHD﹣∠D﹣∠DEF＝41°，故选：A．【点评】此题考查了正六边形的内角和、平行线的性质，熟记正六边形的内角和公式及“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．7．（3分）如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠3＝60° C．FG＝FC D．GF⊥CD【分析】先根据平行线的判定可得AB∥CD，根据直角三角形的性质可得∠3，根据含30°的直角三角形的性质可得FG＝GC，再由平行线的性质得到GF⊥CD，即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝∠2＝30°，∴AB∥CD，故A不符合题意；∵EF⊥AB，∴∠BEG＝90°，∴∠3＝90°﹣30°＝60°，故B不符合题意；∵∠2＝30°，∴FG＝GC，故C符合题意；∵AB∥CD，EF⊥AB，∴GF⊥CD，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是垂线，平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．8．（3分）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（）A．112° B．124° C．122° D．134°【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC＝56°，再根据圆周角定理得到∠APB＝56°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADB的度数．【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，∵OC⊥AB，OA＝OB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB＝∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：求出所对的圆周角∠APB的度数是解决问题的关键．9．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（）A．y随x增大而增大 B．k＝2 C．直线过点（1，0） D．与坐标轴围成的三角形面积为2【分析】把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，求得k的值，根据一次函数图象与性质的关系对A、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形的面积，即可对D进行判断．【解答】解：把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，得，4＝﹣k﹣k，解得k＝﹣2，∴y＝﹣2x+2，A、k＝﹣2＜0，y随x增大而减小，选项A不符合题意；B、k＝﹣2，选项B不符合题意；C、当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴的交点为（1，0），选项C符合题意；D、当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，与坐标轴围成的三角形面积为＝1，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴交点（﹣，0）．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×（yA﹣yB）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，∴xB＝，xA＝，即A（，4），B（，2），∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，∴BC＝AB＝，又∵菱形ABCD的面积为8，∴BC×（yA﹣yB）＝8，即×（4﹣2）＝8，整理得＝4，解得k＝±8，∵函数图象在第二象限，∴k＜0，即k＝﹣8，故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是x≤．【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤，故答案为：x≤．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．（3分）若∠A＝34°，则∠A的补角为146°．【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣34°＝146°．故答案为：146°．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记补角的概念是解题的关键．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是m≤2．【分析】利用判别式的意义得到△＝22﹣4（﹣1+m）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝22﹣4（﹣1+m）≥0，解得m≤2．故答案为m≤2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．14．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝24．【分析】取AG的中点M，连接DM，根据ASA证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM＝S△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面积．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．【点评】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．15．（3分）如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为4+π．【分析】利用作图得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，则根据弧长公式可计算出的长度为π，作B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，证明△ODF为等边三角形得到DF＝4，接着利用两点之间线段最短可判断此时E′B+E′D的值最小，从而得到阴影部分周长的最小值．【解答】解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，∴∠BOD＝∠AOD＝∠MON＝×40°＝20°，∴的长度为＝π，作B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，∴OD＝OF，∴△ODF为等边三角形，∴DF＝OD＝4，∵E′B＝E′F，∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，∴此时E′B+E′D的值最小，∴阴影部分周长的最小值为4+π．故答案为4+π．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：求出EB+ED的最小值为解决问题的关键．也考查了轴对称的性质和最短路径问题．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．【分析】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．证明CE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明EC∥AF．三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）17．（10分）先化简，再求值：，其中x＝+|﹣2|﹣3tan60°．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由二次根式的性质、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值得出x的值，继而代入计算即可．【解答】解：原式＝[﹣]•＝（﹣）•＝•＝，当x＝+|﹣2|﹣3tan60°＝3+2﹣3＝2时，原式＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、二次根式的性质及绝对值的性质．18．（10分）为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通知识”测试，学校随机抽取了部分学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表（不完整），请结合图中信息解答下列问题：学生测试成绩频数分布表组别成绩x分人数A60≤x＜708B70≤x＜80mC80≤x＜9024D90≤x≤100n（1）表中的m值为12，n值为36；（2）求扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数；（3）若测试成绩80分以上（含80分）为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数．【分析】（1）用60≤x＜70的频数和百分比先求出总人数，再根据频数＝总数×百分比求出n的值，然后用总数减去A、C、D的人数即可求出m的值；（2）先求得C部分所占的比例，然后乘以360度，即可求得C部分所对应的圆心角的度数；（3）用全校的总人数乘以测试成绩80分以上（含80分）的人数所占的比即可．【解答】解：（1）根据题意得：抽取学生的总数：8÷10%＝80（人），n＝80×45%＝36（人），m＝80﹣8﹣24﹣36＝12（人），故答案为：12，36；（2）扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数是：360°×＝108°；（3）2000×＝1500（人）．答：估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数为1500人．【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）19．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是；（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为＝．【点评】此题考查利用树状图求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（10分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【分析】（1）首先设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购买的科普类图书的本数﹣20＝用2700元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，根据“费用不超过1600元”列出不等式并解答．【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，依题意：﹣20＝，解之得：x＝15．经检验，x＝15是所列方程的根，且合实际，所以（1+20%）x＝18．答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，解之得：a≤．因为a是正整数，所以a最大值＝33．答：最多可购“科普类”图书33本．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程（不等式），注意分式方程不要忘记检验．五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）21．（10分）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）【分析】过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AE于N，设MD＝x，在直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得MD的长，进一步求得AD的长，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与NE，即可求得DN，从而求得DE．【解答】解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键．22．（12分）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根据AE+CE＝AC即可求得AF．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据切线的性质和圆周角定理得到90°角．六、解答题（本题满分12分）23．（12分）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；（2）设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，关键要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣处取得．七、解答题（本题满分14分24．（14分）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．【分析】（1）连接AD，证明△ADF≌△CDE（SAS），可得AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2，利用全等三角形的性质证明BF＝AE，再证明∠AEC＝90°，可得结论．（3）设EH＝m．证明△ADH∽△CEH，可得＝＝＝＝2，推出DH＝2m，推出AD＝CD＝2m+2，EC＝m+1，在Rt△CEH中，根据CH2＝EH2+CE2，构建方程求出m即可解决问题．【解答】（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴