第5章 分式与分式方程 北师大版数学八年级下册章末检测卷(含解析)

八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）第五章分式与分式方程章末检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2022·浙江·八年级开学考试）1．当时，分式没有意义，则b的值为（

）A． B． C． D．3（2022·山西祁县·八年级期末）2．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（）A． B． C． D．（2022·湖北·八年级期中）3．将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（）A．不变 B．扩大为原来的3倍C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍（2022·湖南·永州市八年级阶段练习）4．下列分式是最简分式的是（

）A． B． C． D．（2023·四川成都市·中考模拟）5．已知是分式方程的解，那么实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6（2022·广东中考模拟）6．定义一种新运算：，例如：，若，则（

）A．-2 B． C．2 D．（2022·晋州市月考）7．抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝（2022·河北邯郸·八年级期末）8．已知，则的值是（

）A． B． C． D．（2022·浙江·八年级期末）9．已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（

）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3（2022·重庆巴蜀中学九年级期末）10．若a为整数，关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的a的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）（2022·新疆·八年级期中）11．分式和的最简公分母是（2022·沙坪坝·八年级月考）12．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝．（2022·湖南·八年级阶段练习）13．若，则分式的值为．（2022·江苏·初二期中）14．若分式方程无解，则a=.（2022·厦门双十中学海沧附属学校）15．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是．（2020·四川绵阳市·中考真题）16．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为小时（2022·安徽霍邱·七年级期末）17．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是（2022·广东深圳实验学校八年级期中）18．若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的方程＝3的解为非负数，则下列选项中满足条件的整数a有（填序号）．①a＝﹣1；②a＝0；③a＝3；④a＝4三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（2022·湖南·临武县八年级期中）19．先化简再求值：，再在，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．（2022·河南·八年级期末）20．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．(1)；．（用含a的式子表示）(2)求证：．(3)求的值．(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（2022·山东青岛·八年级期中）21．解分式方程(1)(2)（2022江苏·八年级期中）22．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.【分数运算】怎样理解？

从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.【尝试推广】（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.（2）①观察下图，填空：____________；

②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.

23．阅读下列材料：关于x的方程：x+的解是x1＝c，x2＝；x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；……（1）①方程x+的解为；②方程x﹣1+的解为．（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（3）由上述的观征、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是末知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的末知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：（a≠1）．（2022·成都市八年级月考）24．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程．

（1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？（2022·河南信阳·八年级期末）25．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．解决下列问题：(1)分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．(3)若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．（2022·福建永春·八年级期末）26．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）参考答案：1．B【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．【详解】解：当，，∵分式没有意义，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．2．A【分析】根据题意中“和谐分式”的的定义判断即可．【详解】解：A、，故A为“和谐分式”；B、，原式的分子与分母都不能因式分解，故B不是“和谐分式”；C、，故C不是“和谐分式”；D、，故D不是“和谐分式”；故选：A．【点睛】本题主要考查约分，根据题意正确理解“和谐分式”的定义是解题的关键．3．B【分析】根据题意将新的分式表示出来，并利用分式的基本性质进行变形，从而作出判断．【详解】解：将原分式中的a（），b（）都扩大为原来的3倍，可得：，∴新分式的值扩大为原来的3倍，故选：B．【点睛】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质对分式进行变形是解决本题的关键．4．B【分析】根据最简分式的定义：分子，分母没有公因式，进行判断即可．【详解】解：A、，不符合题意；B、是最简分式，符合题意；C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查最简分式的概念：分子和分母不含公因式，熟练掌握定义是解题的关键．5．B【分析】将代入原方程，即可求出值．【详解】解：将代入方程中，得解得：．故选：B．【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．6．B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意得，，则，经检验，是方程的解，故选B.【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．7．B【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，依题意，得：＝；故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．C【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．【详解】解：∵，∴．∴．∴．故选：C．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．9．C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．10．A【分析】观察此题先解不等式组确定x的解集，由不等式组有解确定a的取值范围，再根据分式方程有正整数解，即可找出符合条件的所有整数a．【详解】不等式组，解①得：，解②得：，且不等式组有解，解关于x的分式方程得：，分式方程有正整数解，a为整数，方程产生增根，舍去，符合条件的a的值有1个，为0，故选：A．【点睛】此题考查不等式组的解法以及分式方程的解法，综合性较强，熟练掌握不等式组的解法以及分式方程的解法是解决本题的关键．11．##【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可．【详解】分式和的最简公分母是故答案为：．【点睛】本题考查最简公分母的定义及求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键．12．0【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．【详解】解：＝＝＝，∵＝，且A、B为常数，∴，∴，解得：，∴A+3B＝3+3×(-1)=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．13．6【分析】将原式进行化简，由得，代入化简结果即可求出答案．【详解】解：∵，∴，即，∴．故答案为：6．【点睛】本题考查了求分式的值，解题的关键是正确将原式进行化简．14．4【分析】先通过去分母，把分式方程化为整式方程，求出，根据分式方程无解，可得是分式方程有增根，进而即可求解．【详解】，去分母得：，解得：，∵分式方程无解，∴是增根，即：8-a=4，∴a=4．故答案是：4．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，学会去分母，把分式方程化为整式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义：使分式方程的分母等于零的根，是解题的关键．15．x=n+4或x=n+5【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．【详解】解：，解得：或；，解得：或；，解得：或；得到规律，的解为：或；所求方程整理得：，根据规律得：或，解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．16．1.8【分析】设乙驾车时长为小时，则甲驾车时长为小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．【详解】解：设乙驾车时长为小时，则甲驾车时长为小时，根据两人对话可知：甲的速度为，乙的速度为，根据题意得：，解得：或，经检验：或是原方程的解，不合题意，舍去，故答案为：1.8小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．17．且【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足和分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵分式方程的解满足，∴，解得且，故答案为：且．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．②③【分析】解不等式组，根据其整数解的个数确定a的取值范围，解分式方程，根据其解的非负性确定a的取值．【详解】解：不等式组整理得：，解得：≤x＜5，由不等式组有且只有4个整数解，得到整数解为1，2，3，4，∴0＜≤1，即﹣2＜a≤4，即整数a＝﹣1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：﹣y﹣2a+a＝3y﹣3，解得：y＝，由分式方程的解为非负数，得到≥0且≠1，解得：a≤3且a≠﹣1，综上，满足条件的整数a＝0，1，2，3．故选：②③．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，掌握解不等式组和解方程的步骤准确计算是解题关键．19．，．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【详解】解：．根据分式有意义的条件可知：，且，故取，当时，．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，以及分式有意义的条件．20．(1)，(2)证明见解析(3)(4)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍【分析】（1）利用小麦的产量分别除以“丰收1号”、“丰收2号”的面积即可得；（2）根据分式的减法法则计算，利用偶次方的非负性即可得证；（3）根据分式的除法法则进行计算即可得；（4）先求出时，的值，再根据（2）的结论即可得．【详解】（1）解：由题意得：，，故答案为：，．（2）证明：，∵，∴，∴，即．（3）解：．（4）解：当时，，∵，，，∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．【点睛】本题考查了列代数式、分式的减法与除法的实际应用等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．21．(1)(2)原方程无解【分析】（1）方程两边同时乘以，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，检验，即可求解；（2）方程两边同时乘以，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，检验，即可．【详解】（1）解：两边都乘得将代入最简公分母，∴是原方程的解．（2）解：两边都乘得将代入得∴是增根，原方程无解【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意要检验．22．（1）①

②见解析

（2）①

②见解析【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；【详解】解：（1）①；故答案为；②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.

（2）①（）②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原长方形的，即.

【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．23．（1）①；②；（2），验证见解析；（3）【分析】（1）①②根据题意即可求解；（2）由（1）的形式猜想方程的解，代入方程的左右两边判断即可；（3）先将方程转化为的形式，然后根据题意即可求得方程的解．【详解】（1）①方程x+的解为，经检验是原方程的解故答案为：；②方程x﹣1+，或，方程x﹣1+的解为，经检验是原方程的解故答案为：；（2）关于x的方程x+（m≠0）的解为验证：当时，方程的左边方程的右边方程的左边方程的右边是原方程的解；当时，方程的左边方程的右边方程的左边方程的右边是原方程的解；（3）方程整理得由题意可得或解得经检验，是原方程的解【点睛】本题考查了解分式方程，方程的解的定义，理解题意是解题的关键．24．（1）乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天【分析】（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，列出相应分式方程求解即可；（2）①由甲队施工20天完成工程的可得出甲队单独施工完成整项工程所需时间，结合乙队加入后可提前25天完成了剩余的工程可得出两队共同施工的时间，设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，根据两队每天完成的工程量共同工作的时间整项工程的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设甲队施工天完成该项工程，根据乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，由题意，得，解方程，得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的，所以甲队单独施工天完成该项工程.甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天），于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）．设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，则，解方程，得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意．答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．②设甲队从开始施工到完成该工程需要天，依题意列不等式，得，解得：【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．(1)真分式，(2)或或或(3)【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为逆用分式的加减法运算可得第二空的答案；（2）先把原分式化为再结合为整数，为整数，可得或或或从而可得答案；（3）先把原分式化为再结合从而可得答案．【详解】