2020-2021学年渭南市韩城市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年渭南市韩城市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={x&N\l<x<3],B={2,3,4,5},则4UB=()

A.{2}B.{2,3}C.[2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.两圆％2+y2—1=。与％2+y2+3%+9y+2=0的公共弦长为（）

A.眄B.里亚C.叵D,1

1055

3.若点P为两条异面直线a、b外的任意一点，则下列说法一定正确的是（）

A.过点P有且仅有一条直线与a、b都平行

B.过点P有且仅有一条直线与a、b都垂直

C.过点P有且仅有一条直线与a、b都相交

D.过点P有且仅有一条直线与a、b都异面

4.设P（3,—6）,（2（-5,2）,R的纵坐标为—9,且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）

A.—9B.—6C.9D.6

5.已知/O）=log3%,/（a）>/（2）,那么a的取值范围是（）

-11

A.{a\a>2}B.{a|l<a<2}C.[a\a>-}D.{a|-<a<1}

6.设函数域联=/-绛■曲再，舞4炉，则函数朋=箕礴的值域为（）

«曾ik璘一鼻黑■史.番£城1：

画

A.『三喇映"出噢B.|睥曲球：

4

c己,#噂D.冶网n略.

44

7.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是

半径为：1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表

面积为（）

A.37r

B.47r

C.67r

D.87r

8.定义在R上的函数f(x)满足/0)=?但2(4-x)，x'O，则/(3)的值为()

A.—1B.—2C.1D.2

9,关于x的方程(|尸=会有负实数根，贝1Ja的取值范围是()

D1—Q

?9

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.

10.已知函数f(x)=-刀2+bx+c的图象的对称轴为直线％=2,则()

A./(0)</(1)</⑶B./(3)</⑴</(0)

C.f(3)<f(1)=/(O)D./(O)</(l)=/(3)

11.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线y=/(x)(实线表示)；另一种是平均价

格曲线y=g(x)(虚线表示).(如/(2)=3是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；g(2)=3表

示二个小时内的平均价格为3元).下列给出的图象中，可能正确的是()

12.规定国表示不超过黑的最大整数，非臧:」铲TC闻醺,若方程的nil有且仅有四

I理-国国聿进减：

个实数根，则实数域的取值范围是()

A.If。B.C.D.|[一沁

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知meR,函数门乃=[9：1,g(x)=/—2x+2m—1,下列叙述中正确的有

(10^211-LKX>1.

①函数y=/(/(%))有4个零点；

②若函数y=g(%)在(0,3)有零点，则一1Vm41；

③当血2一机寸，函数y=/(%)+g(%)有2个零点；

④若函数y=/(g。))一瓶有6个零点则实数m的取值范围是(0,|).

14.在正三棱锥髓-菱激窗中，侧面,懿命、侧面,翻硼窗、侧面,舟微窗两两垂直，且侧棱

,嬲！=篝@，则正三棱锥麟-/嗡窗外接球的表面积为.

15.已知直线/的参数方程｛；：；+2t(t为参数)，若以原点。为极点，％轴的正半轴为极轴，建立极

坐标系，圆C的极坐标方程为P=2/sin(6+》则直线/和圆C的位置关系为(填相交、相

切、相离).

16.给出下列结论：

①函数.频减=M需-孑在区间标城上有且只有一个零点；

②已知I是直线，极，肄是两个不同的平面.若图1,飘声二据则4’1解；

③已知咻塞表示两条不同直线，雄表示平面.若嬲_L绘郴_L明则制然侬；

④在感圆初中，已知幽=国吸摄=鳖“通=颔"，在求边c的长时有两解.

其中所有正确结论的序号是：.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知直线4：久—y=0和直线公2x+y-3=0的交点为P,若直线/过点P且与直线x—y+2=

0垂直，求直线泊勺方程.

18.(I)AABC的三个顶点分别为4(—1,5),5(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程.

(口)求经过点(-5,2),焦点为(泥,0)的双曲线方程.

19.如图，三棱锥P—ABC中，PA=PC,底面ABC为正三角形.

(I)证明：AC1PB；

(H)若平面PAC_L平面ABC,AC=PC=2,求二面角2—PC—B的余

弦值.

20.已知幕函数g(x)=(m2-2)xm(meR)在(0,+8)为减函数，已知/(x)是对数函数且/(-m+

1

1)+/(-m-1)=-.

(1)求g(x),/(%)的解析式；

(2)若实数t满足〃2t—1)<"5-t),求实数t的取值范围.

21.如图，已知正三角形P4D,正方形4BCD,平面PAD，平面ABCC,

E为PD的中点.

(1)求证：CD1AE-,

(2)求证：4E_L平面PCD；

(3)求直线4C与平面PCD所成的角的大小的正弦值.

22.已知二次函数/(X)满足条件/(0)=0,和〃>+1)—/Q)=2%+3

(1)求/(乃；

(口)求/(%)在区间［-2,2］上的最大值与最小值。

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：集合4={xeN|lWx<3}={l,2,3},

B={2,3,4,5},

AB=[1,2,3,4,5).

故选：D.

利用并集定义直接求解.

本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：B

解析：解：•・•圆G：x2+y2-l=。与圆C2：x2+y2+3x+9y+2=0的公共弦所在的直线方程为：

(x2+必+3x+9y+2)—(x2+y2-1)=3x+9y=3=0,即％+3y+1=0,

・•・圆G：x2+y2=1的圆心Cl(0,0)到公共弦x+3y+1=0的距离：

11

=而，圆Ci的半径r=l,

••・公共弦长|4B|=2Jl—,=噂.

故选8.

先求出圆G：/+/一1=o与圆。2：/+丫2+3%+9)/+2=0的公共弦所在的直线方程为％+

3y+1=0,再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长.

本题考查两圆的公共弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的求法.

3.答案：B

解析：解：①设过点P的直线为九，且{：器；.a〃b,这与a、b异面矛盾，.•・选项A错误；

②•••异面直线a、b有唯一的公垂线，.••过点P与公垂线平行的直线有且只有一条，，选项B正确；

③如图所示的正方体中，设4。为直线a,AB'为直线b,若点P在匕点处，则无法作出直线与两直线

都相交，

.•・选项C错误；

④如上图所示的正方体中，若P在「2点，则由图中可知直线CC'及均与a、b异面，

.・・选项D错误；

4通过反证法可以判定;B由异面直线公垂线的唯一性可以判定;C、D利用常见的图形举出反例即可.

本题考查了空间中的直线与直线的位置关系以及空间想象能力，解题时应借助于常见的空间图形解

答，属基础题.

4.答案:D

解析:

设R点的横坐标为》,由演。=kpR可得5=言，由此求得％的值.

y-8x—3

本题考查三点共线的性质，斜率公式的应用，得到3=带，是解题的关键.

-8x-3

解：设H点的横坐标为％,由kpQ=kpR可得松=...%=6,

y—8x—3

故选D.

5.答案：A

解析：

本题考查对数函数的单调性，属于基础题.

由题意，/(%)=log3X,函数单调递增，即可得出结论.

解：由题意，f(x)=log3x,函数单调递增，

•••f(a)>f(2),

■■■a>2.

故选A.

6.答案：D

解析：试题分析：作出函数碘城=点-舞£图尊:及般=需的图象，根据图象确定区(就与富的大小,

从而可得.算微的解析式及图象.

2"II#般:普骞唬和"：一工翳:*出i：

.襄城:的解析式为：，奠礴:=••*",作出图象如图所示.

端一黯富三期

考点：分段函数及函数的图象、值域以及数形结合思想.

7.答案：B

解析：试题分析：此空间几何体是球体切去四分之一的体积，表面积是四分之三的球表面积加上切

面面积，切面面积是两个半圆面面积.故这个几何体的表面积是史将指板f#既心土㈱懒:陋=械.

考点：1、几何体的三视图；2、球的表面积公式.

8.答案：B

解析：/(3)=/(2)-/(I)=/(I)-/(O)-/(I)=-/(0)=-log24=-2.

9.答案：B

解析：解：•.•久＜0时，（|尸＞1，

>1,

1-a

ae(0,1)；

故选：B.

化简可得言＞1,从而解不等式即可.

本题考查了指数的运算及分式不等式的解法.

10.答案：D

解析：解：已知函数/'(x)=-/+6久+c的图象的对称轴为x=2

则：函数的图象是开口方向向下的抛物线.

当久=1和％=3时距离对称轴x=2的距离相等

所以函数值相等,即:f(l)=f(3)

当%=0时距离对称轴的距离比％=1的距离远

所以f(0)的值最小

故选：D

首先函数/'(x)=-/+6:+。的图象的对称轴为乂=2,从而确定函数的图象是开口方向向下的抛物

线，进一步根据自变量离对称轴的距离来确定函数值的大小.

本题考查的知识要点：二次函数的开口方向，对称轴方程及二次函数的自变量函数值值与对称轴的

关系.

11.答案：C

解析：

本题考查了函数的图象的判断与应用，其中根据实际情况，分析出函数y=/(x)与y=g(x)单调性

的关系，是解答本题的关键，属于基础题.

根据已知中，实线表示即时曲线y=f(x),虚线表示平均价格曲线y=g(久)，根据实际中当即时价

格高于平均价格时，平均价格升高，当即时价格低于平均价格时，平均价格减少的原则，对四个答

案进行分析即可得到结论.

解：•••当即时价格高于平均价格时，平均价格升高，

当即时价格低于平均价格时，平均价格减少，

故A,8,。均错误，

故选C.

12.答案：B

解析:试题分析：当♦&震［①带崂时，煲播是以伪周期的函数，且.翼磁=窜-L塞何僮强#»€:典:,

当嘉定(-碗U磅:时，,，舞礴是指数型函数，而般=螭：#：1为恒过定点:鲫毒斜率为愉的直线,图像如下:

由图可知，当直线介于图中两红线之间时符合题意，两直线的斜率分别为-:^-工，且-工能够取

雪3鬟

到，一」不能取到，故实数摘的取值范围为1-匕马，选B.

考点：1.分段函数的图像；2.根的存在性问题.

13.答案：①②④

解析：

本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与

函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于

难题.

对于①根据函数的零点定理求出x=0或％=—1.或％=3,或%=1+孝，故可判断；对于②当g(x)在

(0,3)上有一个零点时，求出m的值.当g(x)在(0,3)上有两个零点时，求出m的取值范围，再取并集

即得所求.对于③，取爪=~1，利用数形结合的思想即可判断.对于④由于函数/(久)，g(x)=%2-

2%+2m—1.可得当g(X)=(x-I)2+2m—2<1,-I)2<3-2nl时，y=/(g(x))=

|2g(x)+1|=|2(x—I)2+4m-3].当g(x)=(x—I)2+2m-2>1,即(x—I)2>3—2m时,则

2

y==log2[(x-l)+2m-3].再对ni分类讨论，利用直线y=与函数y=/(g(x))图象的

交点必须是6个即可得出本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、

函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能

力与计算能力，属于难题.

解：对于①y=/(/Q))=0,

•••log2(/(%)-1)=0,或12f(x)+1|=0,

1

•1-f(x)=2,或/Q)=-->

-1

|2x+1|=2,或log2。-1)=2或log2。-1)=-->

解得久=1或%=5.或%=3,或％=1+y,

故函数y=/(/(%))有4个零点，故正确；

对于②9(%)=--2%+2m—1，在(0,3)有零点，

当9(%)在(0,3)上有一个零点时

・・・g(0)g(3)<0,

•,*(2.171—1)(9—6+2??1—1)V0,

即一1V7H<$

或4=4—4(2m-1)=0,解得？n=1,

p=4-4(2m-1)>0

当g(%)在(0,3)上有两个零点时，］0(0)>0

(9(3)>0

解得［＜m＜1,

当zn=5g(x)=%2-2%=0,解得％=2,

综上所述：函数y=0(%)在(0,3)有零点，则-1＜血＜1,故②正确，

对于③，若瓶=一卷时，分别画出y=/(%)与y=-9(%)的图象，如图所示,

由图象可知，函数y=/(%)+g。)有3个零点，故③不正确.

对于④•••函数f(%)=谓2；出：；>1，刎=产—2x+2m—1.

•••当g(%)=(%—I)2+2m—2<1时，即(％—I)2<3—2m时,则y=f(g(%))=12g(%)+1|=

|2(x—l)2+4m-3|.

222

当g(x)=(%—l)+2m-2>1时，即(x—I)>3—27n时，则y==log2[(x—l)+2m—

3].

2

①当3-2mW0即mN|时，y=m只与y=/(g(x))=log2[(x-l)+2m-3]的图象有两个交点，

不满足题意，应该舍去.

②当m<|时，y=zn与y=f(g(x))=log2©-I/+26一3]的图象有两个交点，需要直线y=m

与函数

y==[2g(x)+1|=|2(x-l)2+4m-3|的图象有四个交点时才满足题意•

0<m<3—4m,又m解得0Vm9

综上可得：小的取值范围是0<小<|.

故④正确，

故答案为①②④.

14.答案：密酮

解析：试题分析：•••正三棱锥S-4BC中，侧面S4B,侧面S4C,侧面SBC两两互相垂直

.■.ASAB.ASAC,△SBC是等腰直角三角形，所以48=BC=C4=展地=罢蠡，故该正三棱锥

髓-/瞬外接球可以转换为正方体的外接球的表面积，根据边长求求解得到半径为乖，因此可知

球的表面积为身酶

考点：本试题考查了球的表面积。

点评：利用等价转化的思想，借助于正方体的外接球的表面积来求解正三棱锥,霸-,感激窗外接球的表

面积，是解题的关键，属于中档题。

15.答案：相交

解析：解：直线I的参数方程联二：+2件为参数)，

消去参数3得直线Z的直角坐标方程为：2x-y+l=0,

圆C的极坐标方程为P=2V2sin(9+3).

•••p=2V2(sm0cos^+cosdsin^)=2sin9+2cos9,

••・p2=2pstn。+2pcos9,

%2+y2=2y+2x,

(x-l)2+(y—l)2=1.

•.•圆心C(l,l)到直线八2x-y+l=0的距离d=与星!=*<1=r,

V4+15

・••直线/和圆C相交.

故答案为：相交.

求出直线I的直角坐标方程和圆C的直角坐标方程，求出圆心C(l,l)到直线I：2x-y+1=0的距离d,

由d小于圆半径得到直线2和圆C相交.

本题考查直线和圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化

公式、两点间距离公式的合理运用.

16.答案:①④.

解析：试题分析：①•••在(e,3)上大于0恒成立，二/(%)在(e,3)上单调递增，

XXX

/(e)=l--<0,〃3)=ln3—l>0,.•・/(X)在(e,3)上有且只有一个零点正确；

e

②根据两个平面垂直的性质定理可知，若/垂直于a与夕的交线时，l±fi,否则不垂直，故不一定正

确；

③F”表示两条不同直线，a表示平面.若wi_1_2贝旧或nua,故不一定正确；

④根据正弦定理可求出S讥8的值，由B>4可知B可能为锐角也可能为锐角，・•・在求边c时有两解是正

确的；故正确的有①④.

考点：考查了命题真假的判断.

点评：解本题的关键是掌握跟的存在性定理，空间直线与平面的位置关系，利用正弦定理解三角形.

17.答案：解：•.・直线x—y=0和直线=：2久+y—3=0的交点为尸，

联立仁二；1°3=0,得"=L丫=L

•••P(1，D，

直线/过点P且与直线x-y+2=0垂直，

设直线/的方程为x+y+c=0,

把P(l,l)代入,得c=—2,

二直线I的方程为x+y-2=0.

解析：联立n，求出P(1，D，设直线，的方程为x+y+c=0,把P(l,l)代入，能求出直

(乙支ry-3—u

线/的方程.

本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质、两直线交点坐标等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

18.答案：解：(I)法一：设所求圆的方程为/+y2+Dx+Ey+F=o,则由题意有

-D+5E+F+26=

—2D—2E+F+8=:解得仁=-2,F=-20.

5D+5E+F+50=

故所求圆的方程为一+于一4%-2y-20=0.

法二：由题意可求得线段4c的中垂线方程为x=2,线段的中垂线方程为x+y-3=0,.•.圆心是

两中垂线的交点(2,1),半径r=J(2+1尸+(1—5/=5.

故所求圆的方程为。-2)2+(y-I)2=25.

(口),•,焦点坐标为(VKo),焦点在x轴上，

22

・••可设双曲线方程为今―彳=l(a>0,b>0).

a2b2

・•・双曲线过点(―5,2),•,潦=1,得。2=差.

f2_25匕2

联立口一而解得。2=5,b2=1,

+ft2=c2=6

故所求双曲线方程为J-y2=i.

解析：(I)法一：利用待定系数法；法二：求出圆心与半径，即可求其外接圆的方程.

(U)设双曲线方程为盘一箕=l(a〉0,b>0),利用经过点(—5,2),焦点为(扃0),求出a,b,即可

求出双曲线方程.

本题考查圆、双曲线的方程，考查待定系数法的运用，属于中档题.

19.答案：(I)证明：如图，

VPA=PC,PO1AC,

又•••底面28C为正三角形，BOLAC,

■：POCOB=0,：-AC1平面POB,

又因为PBU平面P3B

则AC1PB；

(n)解：•••平面PAC_L平面ABC,且平面PACC平面ABC=AC,

POA.AC,P。！平面ABC,

以。为原点，分别以04、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

■■■AC=PC=2,

P(0,0,V3),B(0,V3,0),C(—1,0,0),PB=(0,V3,-V3)>

BC=(-l,-V3,0),

设平面P8C的一个法向量为元=(x,y,z),

n-PB=V3y—V3z=0

由取y=-l,得元=(百,一1,一1),

n-BC=—x—V3y=0

又丽=(0,百,0)是平面PAC的一个法向量,

cos<n,0B>=誉广=V5

V5xV35

又,•,由图观察可知所求二面角为锐角,

••・二面角a-PC-B的余弦值为个.

解析：本题考查线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求

解二面角的平面角，是中档题.

(1)取4。中点0,连接PO,B0,由等腰三角形的性质可得P。12C,BO1AC,再由线面垂直的判

定可得AC_L平面POB,则4CJ.P8；

(H)由平面PAC_L平面ABC,且平面PACC平面ABC=AC,可得P。1平面ABC,以。为原点，分另U

以02、OB、0P所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PBC与平面P4C的一

个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角4-PC-B的余弦值.

20.答案：解：⑴谆函数g(x)=(m2-2)xm(meR)在(0,+口)上为减函数，

,Cm2—2=1

(m<0

解得Hl=—遮，

・••g(%)=》―佟

又・•,/(x)是对数函数，且/(-rn+1)+/(-rn-1)=I，

•••设/(%)=loga%(。>0且aW1)，

loga(—m+1)+loga(-m-1)=-,

即loga(m2-1)=loga2=I，

解得a=4,

f(x)=10g4%；

(2)•.•实数t满足f(2t-1)<((5-t),

且/'(X)=