高中数学必修立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

线面垂直●学问点1.直线和平面垂直定义假如一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.判定定理：假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，例1题图∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的例1题图射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.【解前点津】用分析法找寻解决问题的途径，假设EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形困难，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥cb⊥c;(2)a⊥α,bαa⊥b;(3)三垂线定理与其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于特别规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以与平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形态（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.例3题图解例3题图解(1)【解前点津】题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清晰了.【解后归纳】证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直相互转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，经常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.例4题图【例4】空间三条线段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是.例4题图【解前点津】如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,AD1的长是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3,∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为【解后归纳】本题出题形式新奇、敏捷性大，许多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很简单得出结论.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：①②③b∥M④b⊥M.其中正确的命题是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是()A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的多数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF与EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.则，在四面体P—DEF中，必有()第第3题图A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A.过不在a、b上的一点P肯定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P肯定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a肯定可以作一个平面与b垂直D.过a肯定可以作一个平面与b平行5.假如直线l,m与平面α,β,γ满意:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,则必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为()A.1B.2C.D.7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，则过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满意a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是()A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d肯定不平行D.α与β不肯定相交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确的命题是()A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活第12题图11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，假如△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.第12题图第13第13题图第11题图12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满意条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑全部可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满意条件时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、实力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图(1)求证:VC⊥第14题图(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第15题图(1)求证：MN∥平面第15题图(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝，PD＝.(1)求证：BD⊥平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.第第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.第18题图(2)求平面PNC与平面CC′D′第18题图(3)求点C到平面D′MB的距离.第4课线面垂直习题解答1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C由线面垂直的性质定理可知.3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.4.D过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.5.A依题意,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.6.D过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=，，∴PD=.7.D由定理与性质知三个命题均正确.8.A明显α与β不平行.9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m112设正三角A′B′C′的边长为a.∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．S△A′B′C′=cm2．12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满意条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑全部可能的情形).点评：本题为探究性题目，由此题开拓了填空题有探究性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应敏捷.13.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心,∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,∴AB⊥面DEC.∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,∴VC在底面ABC上的射影为CD.∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,∴VC与面ABC所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形.∴MN∥AE.第15题图解∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面第15题图解(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥CD.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又∠PDA＝45°，E为PD的中点.∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，第16题图解故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×第16题图解又AB2＝AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝，PB＝，BD＝，∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，∴BD⊥平面PAD.(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝.作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF＝BD＝，在Rt△PEF中，tan∠PFE＝.故二面角P—BC—A的大小为arctan.17.连结AC1，∵.∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C=∠MA1C1，∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.由三垂线定理知AB1⊥A1M.点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M肯定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD中，∵△MPD∽△CP