导数应用的基本题型总结

资料导数及其应用的基本题型总结题型一、求曲线的切线方程1.求函数的导函数；2.求切线斜率；3.求切线方程。注：①已知点是否在曲线上，决定了它是否是切点，若不是，首先设出切点坐标，接着才能表示切线斜率。题型二、求函数的单调性问题1.求函数定义域；2.求函数导数；3.利用导数建立不等式；4.求出函数单调区间。注：①定义域优先；②注意单调区间是否可以开闭；③零点存在但求不出来就是隐零点问题，这类问题我们一般采用设而不求，通过整体代换和过渡，再结合其他条件，从而使问题得到解决。题型三、求函数极值问题1.求函数定义域；

2.求函数导数；3.求出导函数的零点；4.列表研究每个零点及其左右区间的导函数的正负，原函数在此区间上的单调性；5.确定极值点；

6.算出极值。注：①定义域优先；②定义域为闭区间，则其端点不为极值点；③列极值表要求规范。题型四、求函数最值问题1.求函数的极值（有列表）；2.在上表两端加上端点的函数值；3.比较极大值与端点的值求出最大值；4.比较极小值与端点的值求出最小值；注：在定义域内只有一个极值，则其就为最值。题型五、已知极值点或极值求参数问题注：①导数为0的点是其为极值点的必要不充分条件；②检验。1.求函数导数；2.代入极值点建立方程

；3.求出参数；4.检验所求参数值是否符合题意。题型六、已知单调性求参数问题1.求函数定义域；2.求函数导数；3.构造恒成立的不等式；4.构造含参数的新函数或分离参数后构造新函数；5.对新构造函数求导，讨论其最值；6.得出结论。注：①定义域优先；构造恒成立的不等式要加等号；②一阶导数不能解决问题，可研究二阶导数。题型七、三次函数的图象与性质题型八、分类讨论求含参数函数的单调性问题1.求函数定义域；2.求函数导数；3.确定参数分类标准；4.求出每一种情形下函数的单调性；5.整合分类，做出结论。注：①定义域优先；分类做到不重补漏；②分类标准确定的方法有“”法，观察法、零点法等。题型九、利用导数证明不等式问题1.确定不等式成立的范围及其条件；2.左右作差或适当变形构造函数；3.求导数、研究函数最值；4.根据最值得出结论。注：①不等式成立的条件允许考虑；②注意构造函数的定义域；③构造函数不唯一，其方法主要有：“比较法”构造函数、“拆分法”构造函数、“换元法”构造函数、“二次（甚至多次）”构造函数；构造一、基础构造型构造二、次幂型构造三、指数、对数型题型九、利用导数证明不等式问题④在构造函数的过程中记住以下几个特殊函数：

；

；

；

；

；.题型九、利用导数证明不等式问题⑤记住以下几种特殊不等式及其它们的变式：必会两类切线：

的两条常用切线，构造两条切线不等式

；

.

的两条常用切线，构造两条切线不等式

；

.题型九、利用导数证明不等式问题⑥飘带函数：

；

.把上式中的

换成

，得

；

.题型九、利用导数证明不等式问题⑦对数平均数：定义:设

，则

，其中

为对数平均数。（设

，不妨令

，则上式本质就是飘带函数不等式）变形：

；

.题型十、极值点偏移问题极值点偏移问题：由于函数左右增减速率不同导致函数图像失去对称性。方法一：构造对称函数，结合单调性证明不等式.1.求出极值点

，确定

的单调性；2.构造函数

；3.对

进行求导，确定

的单调性，通过单调性比较

和

的大小关系，确定出

或

；4.

即

，反之亦然；5.结合单调性，确定不等关系.方法二：对均不等式.题型十、极值点偏移问题导学精练1.9.5专题（五）题型十一、导数中的凹凸反转

证明不等式问题中有一类不等式形式复杂，由即首先知道两个函数（其中一个常常是对数函数与多项式函数的组合，另一个是指数函数与多项式函数的组合）组合而成，我们往往指对分离，然后研究函数的图像，两个函数的图像凹凸性刚好相反，称为凹凸反转，这个名词非常形象的阐述了这类题目的解题思想。题型十二：对数单身狗，指数找朋友设

为可导函数，则有

，若

为非常数函数，求导式子中含有

，这类问题需多次求导，显得繁琐复杂，处理这类函数的秒杀技巧是将

前面部分提出，就留下

这个“单身狗”，然后在研究剩余部分，这类方法技巧叫做对数单身狗。比如：设

为可导函数，则有

，若

为非常数函数，求导式子中含有

，针对此类类型，可以采用做商的方法，构造

，从而达到简化证明和求最值得目的，

总在找属于自己的“朋友”，此类方法技巧俗称指数找朋友。题型十三：罗比塔法则在高考中的应用罗比塔法则：设（1）当

时，函数

及

都趋向于零（或无穷大）；（2）在点

的某去心邻域内，

及

都存在且

；（3）

存在（或无穷大），则题型十四：同构法同构式源于指数对数跨阶的问题，

与

属于跨阶函数，而

属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙的方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即，我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了两阶的