高中数学知识点大全 (文科)

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C

中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3.注意下列性质：

n（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2；

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：CUABCUACUB，CUABCUACUB

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数ax2a

a·35032a

a·55052a4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式的取值范围。（∵3M，∴5a1，9，25）3∵5M，∴

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是（答：0，22，33，4）

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________。（答：a，a）

如：f

令tx1exx，求f(x).x1，则t0∴xt1∴f(t)e

22t21t21∴f(x)ex1x21x0

x0x1x11的反函数（答：f(x)）x0xx012.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数,或在定义域求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）1x如：求函数f(x)2x

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

（yf(u)，u(x)，则yf(x)14.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（外层）（（f(x)定义域关于原点对称）若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域f(x)与f(x)的图象关于x轴对称f(x)与f(x)的图象关于原点对称f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

将yf(x)图象左移a(a0)个单位

右移a(a0)个单位yf(xa)yf(xa)

yf(xa)b上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b0)个单位

注意如下“翻折”变换：

f(x)再对称到左侧。f(|x|)先画Y轴右侧图象，f(x)把X轴下方图象折到上方；f(x)

（1）一次函数：ykxbk0（2）反比例函数：y

kkk0推广为ybk0是中心O’(a，b)的双曲线。xxa

2b4acb22

（3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线

2a4a

b4acb2b

顶点坐标为，，对称轴x

4a2a2a

开口方向：a0，向上，函数ymin

4acb24acb2

a0，向下，ymax

4a4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bx

2

的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)

0

b

如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kk2af(k)0

一根大于k，一根小于kf(k)0（4）指数函数：ya（5）对数函数yloga

x

a0，a1xa0，a1

由图象记性质！（注意底数的限定！）

k

（6）“对勾函数”yxk0x

请结合图象写出其

定义域：值域：

单调区间：最值：

20.你在基本运算上常出现错误吗？10p

指数运算：a1(a0)，ap(a0)

aa

m

n

a

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

M1logaxlogMlogN，logMloglogxaaaaaM对数恒等式：aNn

logcbn

对数换底公式：logablogambnlogab

logcam

a(a0)，a

m

mn

1

m

(a0)

21.如何解抽象函数问题？

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)„„）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

23.等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sn2

性质：an是等差数列a1annna1nn12d

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；

Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；

（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m1；bmT2m1

（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：

an0当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。a0n1

an0当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。a0n1

24.等比数列的定义与性质

定义：an1q（q为常数，q0），ana1qn1an

等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

na1(q1)（要注意!）前n项和：Sna11qn

(q1)1q

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等比数列

25.？由Sn求an时应注意什么

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）求出的通项是否能合写。否则用分段形式表示。

26.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

（1）求差（商）法111a12a2„„nan2n51（求差法）222

S5数列an满足SnSn1an1，a14，求an（求商法）an1Sn1Snn143Sn如：an满足

（2）累乘法

an，求anann1

（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

（4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0（用构造法：待定系数法）数列an中，a13n1

（5）倒数法

例如：a11，an12an，求anan2

27.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：an是公差为d的等差数列，求

（2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项ak1n1kak1

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：Sn12x3x24x3„„nxn11

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。x2111已知f(x)，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f2341x2

x1（由f(x)fx1x22x2112221x1x11x1x2

28.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

Snp1rp12r„„p1nrpn

nn1r„„等差问题2

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r

)nx1r

n1

x1r

n2

„„x1rx

nn

11rnpr1r1r1x∴xxn

r1r111r

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

29.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R吗？112

（l·R，S扇l·R·R）22

30.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义xsinMP，cosOM，tanAT如：若

0，则sin，cos，tan的大小顺序是8

又如：求函数y12cos（∵12cos

x的定义域和值域。2

2

，如图：x）12sinx0∴sinx

22

∴2k

5

x2kkZ，0y1244

31.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调

区间、对称点、对称轴吗？

，0，kZ2

ysinx的增区间为2k，2kkZ

22

sinx1，cosx1对称点为k

减区间为2k，2kkZ22图象的对称点为k，0，对称轴为xk

3

y

ytgx

kZx

O2

x的增区间为2k，2kkZycos

减区间为2k，2k2

kZ

图象的对称点为k

，0，对称轴为xkkZ2

，kkZ22

或yAcos34正弦型函数.y=Asinx+的图象和性质要熟记。x

2（1）振幅|A|，周期T若fx0A，则xx0为对称轴。||ytanx的增区间为k

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令x依次为0，3，，，2，求出x与y，依点22

（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

(x1)0如图列出(x)22

解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T||

35.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。23，x，，求x值。622

375513，∴x，∴x，∴x）（∵x26636412如：cosx

36.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

37.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：x’xha(h，k)（1）点P（x，y）P’（x’，y’），则y’yk平移至

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0如：函数y2sin2x

图象？

（y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的41横坐标伸长到原来的2倍y2sin2x11424

左平移个单位1个单位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx4

1纵坐标缩短到原来的倍2ysinx）

如：1sincossectantan·cotcos·sectan22224

cos0„„称为1的代换。2

“k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2sin

“奇”、”偶”指k取奇、偶数。如：cos97tansin2164

sintan又如：函数y，则y的值为coscot

B.负值C.非负值D.正值A.正值或负值

sin

sin2cos1cos（y0，∵0）cos2sin1cossinsin

39.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

sincoscossinsin22sincossin令

令2coscoscossinsincos2co2ssin

tantantan222cos112sin1tan·tan

1cos2

21cos2

2sin2co2stan22tan21tan

bcosasin

sincosa2b2sin，tanba2sin3cos2sinsin43

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：（1）角的变换：如，„„222

（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

sincos21，tan，求tan2的值。1cos23

sincoscos11，∴tan（由已知得：2sin22sin2如：已知又tan23

tantan1）∴tan2tan1tan·tan1·8

32

40.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2c2a2

余弦定理：abc2bccosAcosA2bc222

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinAabc正弦定理：2Rb2RsinBsinAsinBsinCc2RsinC

1C∵ABC，∴ABCSa·bsin2

ABCC，sicos∴sinABsin22

41.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

，，x1，1反余弦：arccosx0，，x1，122

反正切：arctanx，，xR22反正弦：arcsinx

42.你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

（3）单位向量|a0|1，a0a

|a|

长度相等

（5）相等的向量ab在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不

方向相同

改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：

（4）零向量0，|0|0OAOBOCOAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a

1e12e2，e1、e2

叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标

表示。

设ax1，y1，bx2，y2

ax，yx，y若Ax1，y1，Bx2，y2

则ABxx，yy

1

1

1

1

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2

2121

|AB|

x2x12y2y12，A、B两点间距离公式

43.平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或为向量a与b的夹角，0，数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·bb·a②(ab)ca·cb·c③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2

注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20

②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|

ab（b0，惟一确定）x1y2x2y10

③a|a|x1y1，|a·b||a|·|b|④cos44.线段的定比分点

2

2

2

2

a·b

x1x2y1y2xy·xy

2

1

21

22

22

|a|·|b|

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段

P1P2所成的比（0，P在线段P1P2

yy1y2yy1y2

12

如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx

3，y3

则ABC重心G的坐标是23123，133

※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd（4）ab0（5）ab0anbn，ab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

46.利用均值不等式：1111，ab0abab

abab2aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注2222

意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）

a2b2ab2ab注意如下结论：aba，bR（平方平均数—算术—几何—调合）22ab

当且仅当ab时等号成立。

abcabbccaa，bR当且仅当abc时取等号。

ab0，m0，n0，则222bbmana1aambnb

47.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

111„22232n2

111111（122„„21„„122323nn1n如：证明111111„„223n1n122）n

f(x)aa0的一般步骤是什么？48.g(x)11

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

49.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20

50.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0

a1讨论

51.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并

集。）23

1）2

52.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问例如：解不等式|x3|x1（解集为x|x

53.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）如：af(x)恒成立af(x)的最小值

af(x)恒成立af(x)的最大值

af(x)能成立af(x)的最小值例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

umin325，∴5a，即a5或者：x3x2x3x25，∴a5）

54.熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2x2x12

P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）斜截式：ykxb截距式：一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离d

（4）l1到l2的到角公式：tan

55.如何判断两直线平行、垂直？

xy1abAx0By0CAB22k2k1kk1l1与l2的夹角公式：tan21k1k21k1k2A1B2A2B1l1∥l2k1k2l1∥l2（反之不一定成立）A1C2A2C1

A1A2B1B20l1⊥l2k1·k21l1⊥l2

56.怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

57.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”

0相交；0相切；0相离

58.分清圆锥曲线的定义椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2x抛物线PFPK

0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

x2y2222

221ab0abc

abx2y2222

221a0，b0cab

ab

xyx2y2

为22059.与双曲线221有相同焦点的双曲线系

abab

60.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）弦长公式P1P2

22

1kx

2

1x24x1x2

2

121yy4y1y22k21

61.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

x2y2

如：221

ab

PF2a2e，PF2ex0ex0a

PKc

PF1ex0a

y22pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

62.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

2

2

如：椭圆mxny1与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为

2m

，则的值为2n

答案：

m2

n2

63.如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A’（x’，y’）为A关于点M的对称点。

，bx’2ax，y’2by）22

只要证明A’2ax，2by也在曲线C上，即f(x’)y’

（由a

（2）点A、A’关于直线l对称

AA’⊥lAA’中点在l上

kAA’·kl1

AA’中点坐标满足l方程

xrcos

64.圆x2y2r2的参数方程为（为参数）

yrsin

xacosx2y2

椭圆221的参数方程为（为参数）

abybsin

65.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

66.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面

线⊥线线⊥面面⊥面线面平行的判定：

判定性质

线∥线线⊥面面∥面

a∥b，b面，aa∥面

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

ba⊥面，b⊥面a∥b面⊥a，面⊥a∥

a

P

a

αa

68.三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0时，b∥或b

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180oo

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

69.空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。D

C如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；A

（