初二数学知识点总结(包括八年级人教版上下两册知识内容,非常完整)

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八年级上册知识点总结

第十一章全等三角形复习

一、全等三角形

1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形有哪些性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定

边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)

边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)

角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)

二、角的平分线：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。

1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、判定：角的轴对称

一、轴对称图形

1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

4.轴对称与轴对称图形的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

二、线段的垂直平分线

1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

三、用坐标表示轴对称小结：

1.在平面直角坐标系中

①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;

②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;

③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；

④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；

⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_（x,-y）_____.

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为___（-x,y）___.

2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

四、（等腰三角形)知识点回顾

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。

2、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

五、（等边三角形）知识点回顾

1.等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。

2、等边三角形的判定：

①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第十三章实数知识要点归纳

一、实数的分类：

正整数

整数零有理数负整数有限小数或无限循环小数

分数正分数

负分数小数

1.实数正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2、数轴：规定了和的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，

实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

3、相反数与倒数；

4、绝对值

5、近似数与有效数字；

6、科学记数法

7、平方根与算术平方根、立方根；

8、非负数的性质：若几个非负数之和为零，则这几个数都等于零。

二、复习

1.无理数：无限不循环小数a(a0)|a|0(a0)a(a0)

算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x2a那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，

算术平方根为非负数0

正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根0的平方根是0负数没有平方根2.无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即x2a，那么这个数就

叫做a的平方根，记为正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数0的立方根是0定义：如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根，记为a.

概念有理数和无理数统称实数正数有理数分类或0无理数负数3.实数及其相关概念绝对值、相反数、倒数的意义同有理数

实数与数轴上的点是一一对应

实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。

第十四章一次函数

一.常量、变量：

在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做

二、函数的概念：

函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

三、函数中自变量取值范围的求法：

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，

即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面（2）图像法（3）解析式法

七、正比例函数与一次函数的概念：

一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.

当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

八、正比例函数的图象与性质：

（1)图象:正比例函数y=kx(k是常数，k≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。

(2)性质:当k>0时,直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y=kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

九、求函数解析式的方法:

待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。

1.一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0．

2.求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标

3.一次函数与一元一次不等式：

解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)．从“数”的角度看，x为何值时函数y=ax+b的值大于0．

4.解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)．从“形”的角度看，求直线y=ax+b在x轴上方

的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．

十、一次函数与正比例函数的图象与性质

5.一次函数与二元一次方程组：

解方程组a1xb1yc1a2xb2yc2从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并

求出这个函数值xya1b1c1解方程组从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.a2xb2yc2

第十五章整式乘除与因式分解

一．回顾知识点

1、主要知识回顾：

幂的运算性质：

am·an＝am＋n（m、n为正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

amn＝amn（m、n为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

abnanbn（n为正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积．

aman＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

零指数幂的概念：

a0＝1（a≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

负指数幂的概念：

1

pa－p＝a（a≠0，p是正整数）

任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．n也可表示为：mpmn（m≠0，n≠0，p为正整数）p

单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

2、乘法公式：

①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

3、因式分解：

因式分解的定义．

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

弄清因式分解与整式乘法的a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

a2－2ab＋b2＝（a－b）2

八年级下册知识点总结

第十六章分式

1.

2.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

A（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，B

且B≠0.）

（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）

4.

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。AACAACBBCBBC用式子表示为（C0），其中A、B、C是整式A叫做分式。B

注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；

（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一

整式C；

（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；

（2）找公因式的方法：

①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；

（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前；

（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

7.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。acacacadad;bdbdbdbcbc

用式子表示是：

提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约

去公因式，化为最简

分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺

序，有括号先算括号里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因

式）或整式的形式。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

anan

()nbb用式子表示是：（其中n是正整数）

注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；

（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；

（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。

分式的加减法则：

法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

aca±c用式子表示为：±＝bbb

法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

acadbcad±bc用式子表示为：±＝±＝bdbdbdbd

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a01(a0)；当n为正整数时，an（a0)注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

9.整数指数幂：

若m、n为正整数，a≠0，a÷amm＋n1naam1＝mn＝na.aa1又因为am÷am＋n＝am－﹙m＋n﹚＝a－n,所以a－n＝na一般地，当n是正整数时，a－n1＝n（a≠0），即a－n（a≠0）是an的倒数，这样指数a的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n是整数)

（1）同底数的幂的乘法：amanamn；

（2）幂的乘方：(am)namn;

（3）积的乘方：(ab)nanbn；

（4）同底数的幂的除法：amanamn(a≠0)；

anan

（5）商的乘方：()n；(b≠0)bb

规定：a0＝1（a≠0），即任何不等于0的零次幂都等于1.

10.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法：去分母

（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程－－－－－→整式方程.转化

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；

②解这个整式方程；

③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

解分式方程的步骤：

（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式

方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

11.含有字母的分式方程的解法：

在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

12.列分式方程解应用题的步骤是：

(1)审：审清题意；(2)找:找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；

(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。

应用题有几种类型；基本公式是什么？

基本上有五种：(1)行程问题基本公式：路程=速度³时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

(3)工程问题基本公式：工作量=工时³工效．

(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．

11.科学记数法：把一个数表示成a10n的形式（其中1a10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a³10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；

用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a³10－n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a︱＜10.

第十七章反比例函数

1.定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系表示成y＝k（k为常数，k≠0）的形式，x

508m2+1那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数。例如y＝;y＝-;y＝xxx

(m为常数)等。

k提示：（1）y＝也可以写作y=kx-1的形式或xy=k的形式（k为常数且k≠0）；x

（2）反比例函数的自变量x不能为0；

（3）k=xy是反比例函数的另一种表示形式，即两变量的积是一个常数。

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图

形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；

当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：

表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

知识点：

k1²一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成y＝（K为常数，K≠0）的形式，那么x

称y是x的反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零。

2²反比例函数的图象及其画法

反比例函数图象的画法——描点法：

⑴列表——自变量取值应以0（但（x≠0）为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y的值；

⑵描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；

⑶连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

k反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的。当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三x

象限内，当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

小注：

⑴这两支曲线通常称为双曲线。

⑵这两支曲线关于原点对称。

⑶反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。

k

提示:（1）反比例函数y＝（k≠0），因为x≠0，y≠0,故图像不经过原点，双曲线是由两

x个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、第三象限（或第二、第四象限），而说图像的两个分支分别在第一、第三象限（或第二、第四象限）

（2）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般是在各自的象限（4）反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和

k函数的增减性，也可以推断出k的符号。如：已知双曲线y＝在第二、第四象x

限，则可知k＜0.

第十八章勾股定理

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a＋b=c。，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

4.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

可表示如下：BC=

∠C=90°

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90°

2221AB2

可表示如下：CD=

D为AB的中点

5、摄影定理1AB=BD=AD2在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90CD2ADBD

AC2ADAB

CD⊥BC2BDAB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：AB²CD=AC²BC

7、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。

8、命题、定理、证明

⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹证明的一般步骤

①根据题意，画出图形。

②根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

9、数学口诀.

平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

第十九章四边形

一、平行四边形：

㈠.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

㈡.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。

㈢.平行四边形的面积：

1.平行四边形的面积=底³高=ah（a是平行四边形的任何一条边长，h必须是边长为a的边与其对边的距离）

2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

㈣.平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

提示：（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件；

（2）判定方法可作为“画平行四边形”的依据；

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

㈤三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

提示：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。

（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；

（2）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。

3、三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

㈥两条平行线间的距离

1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

2、性质：⑴两条平行线间的距离处处相等；

⑵两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。

二、矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵矩形的四个角都是直角；

⑶矩形的对角线平分且相等；（AC=BD）

⑷矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。

提示：⑴“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；

⑵矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

3、矩形判定方法：

⑴定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

⑵方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。

⑶方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。

三、菱形

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵菱形的四条边都相等；

⑶菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷菱形是轴对称图形。

提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，

可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

3、菱形的判定方法：

⑴定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵判断方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶判断方法2：四条边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积的计算：

菱形面积=底³高=对角线长乘积的一半S菱形=1/2³ab（a、b为两条对角

线）

归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

四、正方形

1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。警示：⑴正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；

⑵既是矩形又是菱形的四边形是正方形；

⑶正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

2、正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

⑴边——四条边都相等，邻边垂直、对边平行；

⑵角——四个角都是直角；

⑶对角线——对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

⑷对称性——是轴对称图形，有四条对称轴。

⑸特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形

3、正方形的判定：

判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：

⑴先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；

⑵先证它是菱形，再证它有一个角是直角。

五、梯形

1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的分类：一般梯形

⑴直角梯形：有一个角是直角的梯形。梯形直角梯形特殊梯形

⑵等腰梯形：两腰相等的梯形。