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文档简介
2023-2024学年江苏省江阴市华士片中考四模数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.下列运算正确的是()A.a4+a2=a4 B.(x2y)3=x6y3C.(m﹣n)2=m2﹣n2 D.b6÷b2=b32.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是A.55° B.60° C.65° D.70°3.某校在国学文化进校园活动中,随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示,这组数据的众数和中位数分别是()学生数(人)5814194时间(小时)678910A.14,9 B.9,9 C.9,8 D.8,94.如图,⊙O的直径AB=2,C是弧AB的中点,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,以E为圆心,AE为半径作扇形EAB,π取3,则阴影部分的面积为()A.﹣4 B.7﹣4 C.6﹣ D.5.2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元,则a、b之间满足的关系式为()A.b=a(1+8.9%+9.5%) B.b=a(1+8.9%×9.5%)C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%) D.b=a6.下列计算正确的是()A. B. C. D.7.小苏和小林在如图①所示的跑道上进行米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离(单位:)与跑步时间(单位:)的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是().A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前跑过的路程大于小林前跑过的路程D.小林在跑最后的过程中,与小苏相遇2次8.方程x2﹣3x+2=0的解是()A.x1=1,x2=2 B.x1=﹣1,x2=﹣2C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=﹣1,x2=29.下列各组数中,互为相反数的是()A.﹣2与2 B.2与2 C.3与 D.3与310.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C,若点B′恰好落在线段AB上,AC、A′B′交于点O,则∠COA′的度数是()A.50° B.60° C.70° D.80°二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:x…-5-4-3-2-1…y…3-2-5-6-5…则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根是______.12.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,若AC=3DF,则OE:EB=_____.13.如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是___.14.如图,⊙O的直径CD垂直于AB,∠AOC=48°,则∠BDC=度.15.对于二次函数y=x2﹣4x+4,当自变量x满足a≤x≤3时,函数值y的取值范围为0≤y≤1,则a的取值范围为__.16.一个n边形的每个内角都为144°,则边数n为______.17.如图,已知一次函数y=ax+b和反比例函数的图象相交于A(﹣2,y1)、B(1,y2)两点,则不等式ax+b<的解集为__________三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,在△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于点D,CD=BD.BE平分∠ABC,点H是BC边的中点.连接DH,交BE于点G.连接CG.(1)求证:△ADC≌△FDB;(2)求证:(3)判断△ECG的形状,并证明你的结论.19.(5分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线相交于点F.(1)求证:DF是BF和CF的比例中项;(2)在AB上取一点G,如果AE•AC=AG•AD,求证:EG•CF=ED•DF.20.(8分)已知:如图,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,AD=DC,DC2=DE•DB,求证:(1)△BCE∽△ADE;(2)AB•BC=BD•BE.21.(10分)某市飞翔航模小队,计划购进一批无人机.已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元,4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元.(1)求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元?(2)该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台,并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍.设购进A型无人机x台,总费用为y元.①求y与x的关系式;②购进A型、B型无人机各多少台,才能使总费用最少?22.(10分)为迎接“全民阅读日“系列活动,某校围绕学生日人均阅读时间这一问题,对八年级学生进行随机抽样调查.如图是根据调查结果绘制成的统计图(不完整),请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)本次共抽查了八年级学生多少人;(2)请直接将条形统计图补充完整;(3)在扇形统计图中,1〜1.5小时对应的圆心角是多少度;(4)根据本次抽样调查,估计全市50000名八年级学生日人均阅读时间状况,其中在0.5〜1.5小时的有多少人?23.(12分)如图,点A在∠MON的边ON上,AB⊥OM于B,AE=OB,DE⊥ON于E,AD=AO,DC⊥OM于C.求证:四边形ABCD是矩形;若DE=3,OE=9,求AB、AD的长.24.(14分)阅读材料,解答下列问题:神奇的等式当a≠b时,一般来说会有a2+b≠a+b2,然而当a和b是特殊的分数时,这个等式却是成立的例如:()2+=+,()2+=+,()2+=+()2,…()2+=+()2,…(1)特例验证:请再写出一个具有上述特征的等式:;(2)猜想结论:用n(n为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为:;(3)证明推广:①(2)中得到的等式一定成立吗?若成立,请证明;若不成立,说明理由;②等式()2+=+()2(m,n为任意实数,且n≠0)成立吗?若成立,请写出一个这种形式的等式(要求m,n中至少有一个为无理数);若不成立,说明理由.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】分析:根据合并同类项,积的乘方,完全平方公式,同底数幂相除的性质,逐一计算判断即可.详解:根据同类项的定义,可知a4与a2不是同类项,不能计算,故不正确;根据积的乘方,等于个个因式分别乘方,可得(x2y)3=x6y3,故正确;根据完全平方公式,可得(m-n)2=m2-2mn+n2,故不正确;根据同底数幂的除法,可知b6÷b2=b4,不正确.故选B.点睛:此题主要考查了合并同类项,积的乘方,完全平方公式,同底数幂相除的性质,熟记并灵活运用是解题关键.2、C【解析】
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可.【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.∴∠DCE=∠ACB=20°,∠BCD=∠ACE=90°,AC=CE,∴∠ACD=90°-20°=70°,∵点A,D,E在同一条直线上,∴∠ADC+∠EDC=180°,∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°,∴∠ADC=∠E+20°,∵∠ACE=90°,AC=CE∴∠DAC+∠E=90°,∠E=∠DAC=45°在△ADC中,∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°,即45°+70°+∠ADC=180°,解得:∠ADC=65°,故选C.【点睛】此题考查旋转的性质,关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答.3、C【解析】
解:观察、分析表格中的数据可得:∵课外阅读时间为1小时的人数最多为11人,∴众数为1.∵将这组数据按照从小到大的顺序排列,第25个和第26个数据的均为2,∴中位数为2.故选C.【点睛】本题考查(1)众数是一组数据中出现次数最多的数;(2)中位数的确定要分两种情况:①当数据组中数据的总个数为奇数时,把所有数据按从小到大的顺序排列,中间的那个数就是中位数;②当数据组中数据的总个数为偶数时,把所有数据按从小到大的顺序排列,中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.4、A【解析】∵O的直径AB=2,∴∠C=90°,∵C是弧AB的中点,∴,∴AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°,∵AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,∴∠EAB=∠EBA=22.5°,∴∠AEB=180°−(∠BAC+∠CBA)=135°,连接EO,∵∠EAB=∠EBA,∴EA=EB,∵OA=OB,∴EO⊥AB,∴EO为Rt△ABC内切圆半径,∴S△ABC=(AB+AC+BC)⋅EO=AC⋅BC,∴EO=−1,∴AE2=AO2+EO2=12+(−1)2=4−2,∴扇形EAB的面积==,△ABE的面积=AB⋅EO=−1,∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积=,∴阴影部分的面积=O的面积−弓形AB的面积=−()=−4,故选:A.5、C【解析】
根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,求出2014年我省财政收入,再根据出2015年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元,即可得出a、b之间的关系式.【详解】∵2013年我省财政收入为a亿元,2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,∴2014年我省财政收入为a(1+8.9%)亿元,∵2015年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元,∴2015年我省财政收为b=a(1+8.9%)(1+9.5%);故选C.【点睛】此题考查了列代数式,关键是根据题意求出2014年我省财政的收入,是一道基础题.6、A【解析】
原式各项计算得到结果,即可做出判断.【详解】A、原式=,正确;
B、原式不能合并,错误;
C、原式=,错误;
D、原式=2,错误.
故选A.【点睛】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.7、D【解析】
A.由图可看出小林先到终点,A错误;B.全程路程一样,小林用时短,所以小林的平均速度大于小苏的平均速度,B错误;C.第15秒时,小苏距离起点较远,两人都在返回起点的过程中,据此可判断小林跑的路程大于小苏跑的路程,C错误;D.由图知两条线的交点是两人相遇的点,所以是相遇了两次,正确.故选D.8、A【解析】
将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.【详解】解:原方程可化为:(x﹣1)(x﹣1)=0,∴x1=1,x1=1.故选:A.【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,利用此方法解方程时首先将方程右边化为0,左边的多项式分解因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.9、A【解析】
根据只有符号不同的两数互为相反数,可直接判断.【详解】-2与2互为相反数,故正确;2与2相等,符号相同,故不是相反数;3与互为倒数,故不正确;3与3相同,故不是相反数.故选:A.【点睛】此题主要考查了相反数,关键是观察特点是否只有符号不同,比较简单.10、B【解析】试题分析:∵在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°.由旋转的性质可知:BC=B′C,∴∠B=∠BB′C=50°.又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′,∴∠ACB′=10°,∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°.故选B.考点:旋转的性质.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、x1=-4,x1=2【解析】解:∵x=﹣3,x=﹣1的函数值都是﹣5,相等,∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1.∵x=﹣4时,y=﹣1,∴x=2时,y=﹣1,∴方程ax1+bx+c=3的解是x1=﹣4,x1=2.故答案为x1=﹣4,x1=2.点睛:本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,读懂图表信息,求出对称轴解析式是解题的关键.12、1:2【解析】
△ABC与△DEF是位似三角形,则DF∥AC,EF∥BC,先证明△OAC∽△ODF,利用相似比求得AC=3DF,所以可求OE:OB=DF:AC=1:3,据此可得答案.【详解】解:∵△ABC与△DEF是位似三角形,∴DF∥AC,EF∥BC∴△OAC∽△ODF,OE:OB=OF:OC∴OF:OC=DF:AC∵AC=3DF∴OE:OB=DF:AC=1:3,则OE:EB=1:2故答案为:1:2【点睛】本题考查了位似的相关知识,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,位似图形的对应顶点的连线平行或共线.13、12【解析】
根据图象可知点P在BC上运动时,此时BP不断增大,而从C向A运动时,BP先变小后变大,从而可求出线段长度解答.【详解】根据题意观察图象可得BC=5,点P在AC上运动时,BPAC时,BP有最小值,观察图象可得,BP的最小值为4,即BPAC时BP=4,又勾股定理求得CP=3,因点P从点C运动到点A,根据函数的对称性可得CP=AP=3,所以的面积是=12.【点睛】本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是注意结合图象求出线段的长度,本题属于中等题型.14、20【解析】解:连接OB,∵⊙O的直径CD垂直于AB,∴=,∴∠BOC=∠AOC=40°,∴∠BDC=∠AOC=×40°=20°15、1≤a≤1【解析】
根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围.【详解】解:∵二次函数y=x1﹣4x+4=(x﹣1)1,∴该函数的顶点坐标为(1,0),对称轴为:x=﹣,把y=0代入解析式可得:x=1,把y=1代入解析式可得:x1=3,x1=1,所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时,自变量x的范围为1≤x≤3,故可得:1≤a≤1,故答案为:1≤a≤1.【点睛】此题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.16、10【解析】
解:因为正多边形的每个内角都相等,每个外角都相等,根据相邻两个内角和外角关系互补,可以求出这个多边形的每个外角等于36°,因为多边形的外角和是360°,所以这个多边形的边数等于360°÷36°=10,故答案为:1017、﹣2<x<0或x>1【解析】
根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标,即可得出不等式的解集.【详解】观察函数图象,发现:当﹣2<x<0或x>1时,一次函数图象在反比例函数图象的下方,∴不等式ax+b<的解集是﹣2<x<0或x>1.【点睛】本题主要考查一次函数图象与反比例函数图象,数形结合思想是关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】
(1)首先根据AB=BC,BE平分∠ABC,得到BE⊥AC,CE=AE,进一步得到∠ACD=∠DBF,结合CD=BD,即可证明出△ADC≌△FDB;(2)由△ADC≌△FDB得到AC=BF,结合CE=AE,即可证明出结论;(3)由点H是BC边的中点,得到GH垂直平分BC,即GC=GB,由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF,得∠ECO=45°,结合BE⊥AC,即可判断出△ECG的形状.【详解】解:(1)∵AB=BC,BE平分∠ABC∴BE⊥AC∵CD⊥AB∴∠ACD=∠ABE(同角的余角相等)又∵CD=BD∴△ADC≌△FDB(2)∵AB=BC,BE平分∠ABC∴AE=CE则CE=AC由(1)知:△ADC≌△FDB∴AC=BF∴CE=BF(3)△ECG为等腰直角三角形,理由如下:由点H是BC的中点,得GH垂直平分BC,从而有CG=BG,则∠EGC=2∠CBG=∠ABC=45°,又∵BE⊥AC,故△ECG为等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定,此题难度不是很大.19、证明见解析【解析】试题分析:(1)根据已知求得∠BDF=∠BCD,再根据∠BFD=∠DFC,证明△BFD∽△DFC,从而得BF:DF=DF:FC,进行变形即得;(2)由已知证明△AEG∽△ADC,得到∠AEG=∠ADC=90°,从而得EG∥BC,继而得,由(1)可得,从而得,问题得证.试题解析:(1)∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∵CD是Rt△ABC的高,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD,∵E是AC的中点,∴DE=AE=CE,∴∠A=∠EDA,∠ACD=∠EDC,∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°,∴∠BDF=∠BCD,又∵∠BFD=∠DFC,∴△BFD∽△DFC,∴BF:DF=DF:FC,∴DF2=BF·CF;(2)∵AE·AC=ED·DF,∴,又∵∠A=∠A,∴△AEG∽△ADC,∴∠AEG=∠ADC=90°,∴EG∥BC,∴,由(1)知△DFD∽△DFC,∴,∴,∴EG·CF=ED·DF.20、(1)见解析;(2)见解析.【解析】
(1)由∠DAC=∠DCA,对顶角∠AED=∠BEC,可证△BCE∽△ADE.(2)根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA,进而得出△BCE∽△BDA,利用相似三角形的性质解答即可.【详解】证明:(1)∵AD=DC,∴∠DAC=∠DCA,∵DC2=DE•DB,∴=,∵∠CDE=∠BDC,∴△CDE∽△BDC,∴∠DCE=∠DBC,∴∠DAE=∠EBC,∵∠AED=∠BEC,∴△BCE∽△ADE,(2)∵DC2=DE•DB,AD=DC∴AD2=DE•DB,同法可得△ADE∽△BDA,∴∠DAE=∠ABD=∠EBC,∵△BCE∽△ADE,∴∠ADE=∠BCE,∴△BCE∽△BDA,∴=,∴AB•BC=BD•BE.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质求解.21、(1)一台A型无人机售价800元,一台B型无人机的售价1000元;(2)①y=﹣200x+50000;②购进A型、B型无人机各16台、34台时,才能使总费用最少.【解析】
(1)根据3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元,4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题;(2)①根据题意可以得到y与x的函数关系式;②根据①中的函数关系式和B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍,可以求得购进A型、B型无人机各多少台,才能使总费用最少.【详解】解:(1)设一台型无人机售价元,一台型无人机的售价元,,解得,,答:一台型无人机售价元,一台型无人机的售价元;(2)①由题意可得,即y与x的函数关系式为;②∵B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍,,解得,,,∴当时,y取得最小值,此时,答:购进型、型无人机各台、台时,才能使总费用最少.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和方程的知识解答.22、(1)本次共抽查了八年级学生是150人;(2)条形统计图补充见解析;(3)108;(4)估计该市12000名七年级学生中日人均阅读时间在0.5~1.5小时的40000人.【解析】
(1)根据第一组的人数是30,占20%,即可求得总数,即样本容量;(2)利用总数减去另外两段的人数,即可求得0.5~1小时的人数,从而作出直方图;(3)利用360°乘以日人均阅读时间在1~1.5小时的所占的比例;(4)利用总人数12000乘以对应的比例即可.【详解】(1)本次共抽查了八年级学生是:30÷20%=150人;故答案为150;(2)日人均阅读时间在0.5~1小时的人数是:150﹣30﹣45=1.(3)人均阅读时间在1~1.5小时
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