2024年中考数学几何模型24专题专题13 圆之弧中点的应用含解析

2024年中考数学几何模型专题13圆之弧中点的应用一．方法突破与垂径定理相关若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．与圆周角定理相关若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．

垂径定理与圆周角定理结合如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．

二、中考真题演练（2019·达州）如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过点作直线．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，，求的长．

（2018·潍坊）如图，为外接圆的直径，且．（1）求证：与相切于点；（2）若，，，求的长．

（2018·大连）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，当，时，求的长．（2018·德阳）如图，在直角三角形中，，点是的内心，的延长线和三角形的外接圆相交于点，连结．（1）求证：；（2）过点作的平行线交、的延长线分别于点、，已知，圆的直径为5．①求证：为圆的切线；②求的长．

（2018·阿坝州）如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足．（1）求证：是的切线；（2）弦交于点，若，求的长．

（2018·宁夏）已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且，求⊙O的面积．（π取3.14）（2019·锦州）如图，，是以为直径的上的点，且，弦交于点，平分，于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．8.（2019·广东）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长．9.（2018·成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，，求DG的长，10.（2019·绵阳）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若，求的长．专题13圆之弧中点的应用一．方法突破与垂径定理相关若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．与圆周角定理相关若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．

垂径定理与圆周角定理结合如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．

二、中考真题演练（2019·达州）如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过点作直线．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，，求的长．【分析】（1）相切．∵AD平分∠BAC，∴点D是弧BC中点，连接OD，则OD⊥BC，又∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF是圆O的切线．（2）连接CD，易证△AEB∽△CED，∴，代入得：，解得：，∴故BD的长为．

（2018·潍坊）如图，为外接圆的直径，且．（1）求证：与相切于点；（2）若，，，求的长．【分析】（1）如图，连接OA交BC于点H，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=∠D=∠OAD，且∠OAD+∠OAB=90°，∴∠BAE+∠OAB=90°，∴∠OAE=90°，∴OA⊥AE，∴AE与圆O相切于点A．（2）∵AE∥BC，∴OA⊥BC，∴点A是弧BC中点，∴，，勾股定理得：，设半径为r，则OB=r，，在Rt△OHB中，，代入得：，解得：r=4，∴BD=2r=8，在Rt△ABD中，勾股定理可得：．故AD的长为．

（2018·大连）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，当，时，求的长．【分析】（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴BD是直径，∵∠BAC=∠BDC，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠BAC+∠CBD=90°，又∠DEC=∠BAC，∴∠DEC+∠CBD=90°，∴∠BDE=90°，即BD⊥DE，∴DE是圆O的切线．（2）∵BD⊥DE，AC∥DE，∴BD⊥AC，∴点D是弧AC中点，易证△BAD≌△BCD，∴AC=AB=8，记BD与AC交点为H，射影定理可得：，代入可得：，∴，易证△DHC∽△DCB，可得：，代入得：，解得：，∴．故AC的长为．（2018·德阳）如图，在直角三角形中，，点是的内心，的延长线和三角形的外接圆相交于点，连结．（1）求证：；（2）过点作的平行线交、的延长线分别于点、，已知，圆的直径为5．①求证：为圆的切线；②求的长．【分析】（1）连接BH，易证，∴∠BHD=45°，又∠BDH=90°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH=DB．（2）①连接OD，∵AD平分∠BAC，∴点D是弧BC中点，∴OD⊥BC，∵EF∥BC，∴OD⊥EF，∴EF是圆O的切线．②记BC与OD交点为M点，则DM=CE=1，∵AB=5，∴OD=OB=，∴OM=，BM=2，∴，∵BC∥EF，∴∠F=∠ABC，∴，∴，∴DF的长为．

（2018·阿坝州）如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足．（1）求证：是的切线；（2）弦交于点，若，求的长．【分析】（1）∵∠B=∠D，且∠ADC+∠CAD=90°，∴∠PAC+∠CAD=90°，即AD⊥AP，∴PA是圆O的切线．（2）易证△AFE∽△AEB，∴，即∴，又AC=AE，∴．

（2018·宁夏）已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且，求⊙O的面积．（π取3.14）【分析】（1）连接OC，则∠OAC=∠OCA，∵AC=CP，∴∠CAP=∠CPA，又CP是圆O的切线，则OC⊥CP，∴∠OAC+∠OCA+∠P=90°，∴∠P=30°．故∠P的度数是30°．（2）连接BC，易证△DEB∽△DBC，∴，即，∴，∴，，

（2019·锦州）如图，，是以为直径的上的点，且，弦交于点，平分，于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接OM，则OM=OB，∴∠OBM=∠OMB，∵MB平分∠ABD，∴∠OBM=∠FBM，∴∠OMB=∠FBM，∵∠BMF+∠FBM=90°，∴∠FMB+∠OMB=90°，即∠OMF=90°，∴MF是圆O的切线．（2）∵点N是弧AB中点，∴∠ABN=45°=∠BMN，易证△NCB∽△NBM，∴，代入得：，解得：，∴．故CM的长为．8.（2019·广东）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长．【分析】（1）易证∠EDC=∠ECD，∴ED=EC．（2）连接OA，则OA⊥BC，∵∠BAD=∠ADC，∴AB∥CD，又CF=AC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF是圆O的切线．（3）易证△BEA∽△BAC，∴，∴，连接AG，∠BAG=∠BAE+∠DAG，∠BGA=∠BCA+∠CAG，又∠BAE=∠BCA，∠DAG=∠CAG，∴∠BAG=∠BGA，∴BA=BG，∴BG=5．

9.（2018·成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，，求DG的长，【分析】（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是圆O的切线．（2）连接DF、EF，∠DFE=∠DAE=∠ODA，∴∠AFD=90°+∠DFE=90°+∠ODA=∠ADB，∴△AFD∽△ADB，∴，∴，∴．（3），解得：r=5，∴OA=OD=OE=5，AB=13+5=18，AC=，，∴，易证△OGD∽△FGA，∴，∴．故DG的长为．

10.（2019·绵阳）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若，求的长．【分析】（1）由题意可得：∠CDB=∠CFB，∠CGD=∠BGF，连接BC，∵点C是弧BD中点，∴CD=BC，又BC=BF，∴CD=BF，∴△BFG≌△CDG（AAS）．（2）考虑到，∴BD=CF，设半径为r，则，，，故，解得：r=1（舍）或3，，∴．专题14圆之切线的判定一、方法突破切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：，多用于几何证明．多为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．常见相切图（1）角平分线+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB．连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．角度的转换如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且．求证：直线与半圆相切；

二、典例精析【有交点证垂直，角分+等腰得平行】（2018·滨州）如图，为的直径，点在上，于点，且平分，求证：（1）直线是的切线；（2018·泰州）如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2018·锦州）如图，在中，，平分交于点，是上一点，经过，两点的交于点，连接，作的平分线交于点，连接．（1）求证：是的切线．【有交点，证垂直，全等证明夹角为直角】（2019·天水）如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．（1）求证：是的切线；5.（2016·郴州）如图，，是半径，过作的切线，交的平分线于点，连接，延长交于点，交的延长线于点（1）求证：直线是的切线；6.（2018·丹东）如图，直线经过上的点，为的内接三角形，并且．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；【有交点证垂直，证明夹角为直角】7.（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为．（2）求证：与相切．【无交点作垂直证半径】8.（2018·本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；9.（2018·江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；【圆中等腰三角形】10.（2018·鄂尔多斯）如图，是的外接圆，是直径，弦，，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；中考真题演练【有交点，连半径，证垂直】（1）角平分线+等腰=平行1．（2021•广安）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．（1）求证：是的切线；2．（2021•内江）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．（1）求证：是的切线；3．（2021•朝阳）如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，分别连接，、，交于点，交于点，的延长线交于点，连接，，且．（1）求证：是的切线；4．（2021•东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）求线段的长度．【无交点，作垂直，证半径】1.（2021•宜昌）如图，在菱形中，是对角线上一点，，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．（1）求证：是的切线；2．（2021•黄冈）如图，在中，，与，分别相切于点，，平分，连接．（1）求证：是的切线；3．（2021•扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）角度的转换1．（2021•兰州）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．2．（2021•西宁）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．（1）求证：是的切线；3．（2021•沈阳）如图，是的直径，与交于点，点是半径上一点（点不与点，重合）．连接交于点，连接，．若，．（1）求证：是的切线；4．如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，．（1）求证：为的切线；5．（2021•盘锦）如图，内接于，是的直径，过外一点作，交线段于点，交于点，交于点，连接，，．（1）求证：与相切；6．（2021•德阳）如图，已知：为的直径，交于点、，点为的延长线上一点，且．（1）求证：是的切线；（3）有交点，证垂直，全等证明夹角为直角1．（2021•黔东南州）如图，是以为直径的的切线，切点为，过点作，交于点．（1）求证：是的切线；2．（2021•雅安）如图，在中，是直径，是弦，，垂足为，过点的的切线与延长线交于点，连接．（1）求证：为的切线；【圆中等腰三角形】1．（2021•巴中）如图、内接于，且，其外角平分线与的延长线交于点．（1）求证：直线是的切线；专题14圆之切线的判定一、方法突破切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：，多用于几何证明．多为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．常见相切图（1）角平分线+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB．连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．角度的转换如图，在中，点是边上一点，以为直径的半圆经过点，点是弦上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点，且．求证：直线与半圆相切；证明：如图，连接．，，，，，，，，，，是半径，是的切线．

二、典例精析【有交点证垂直，角分+等腰得平行】（2018·滨州）如图，为的直径，点在上，于点，且平分，求证：（1）直线是的切线；【分析】（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，又AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴DC是圆O的切线．（2018·泰州）如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；【分析】（1）相切．连接OD，∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠EBD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠EBD=∠ODB，∴OD∥BE，∵DE⊥BE，∴OD⊥DE，∴DE与圆O相切．（2018·锦州）如图，在中，，平分交于点，是上一点，经过，两点的交于点，连接，作的平分线交于点，连接．（1）求证：是的切线．【分析】（1）连接EO，则OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵AC⊥BC，∴OE⊥BC，∴BC是圆O的切线．【有交点，证垂直，全等证明夹角为直角】（2019·天水）如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．（1）求证：是的切线；【分析】（1）连接OC，∵OP⊥AC，∴OP平分AC，∴OP是AC的垂直平分线，∴PA=PC，易证△POA≌△POC，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是圆O的切线．5.（2016·郴州）如图，，是半径，过作的切线，交的平分线于点，连接，延长交于点，交的延长线于点（1）求证：直线是的切线；【分析】（1）易证△COA≌△COD，∴∠ODC=∠OAC=90°，即OD⊥CD，∴CD是圆O的切线．6.（2018·丹东）如图，直线经过上的点，为的内接三角形，并且．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；【分析】（1）相切．连接AO并延长交圆O于点P，连接CP，则∠P=∠B，又∵∠B=∠CAD，∴∠P=∠CAD，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠CAD+∠PAC=90°，∴PA⊥AD，∴AD是圆O的切线．【有交点证垂直，证明夹角为直角】7.（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为．（2）求证：与相切．【分析】（2）连接NO，∵N、O分别是BC、CD中点，∴NO∥BD，∵NE⊥BD，∴NE⊥NO，∴NE与圆O相切．【无交点作垂直证半径】8.（2018·本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；【分析】（1）相切．连接OE，则OE⊥AC，∴点E是AC边中点，连接OF，过点O作OH⊥DF交DF于H点，∵DO∥AC，∴∠DOF=∠OFA，又DO=DF，∴∠DOF=∠DFO，∴∠OFA=∠OFD，易证△OFE≌△OFH，∴OH=OE，∴DF是圆O的切线．9.（2018·江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；【分析】（1）∵∠AOD+∠DAO=90°，∠ABD+∠BAD=90°，且∠AOD=∠BAD，∴∠DAO=∠ABD，又∠DAO=∠OBC，∴∠ABD=∠OBC，过点O作OH⊥AB交AB于H点，易证△BOH≌△BOC，∴OH=OC，∴AB是圆O的切线．【圆中等腰三角形】10.（2018·鄂尔多斯）如图，是的外接圆，是直径，弦，，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；【分析】（1）连接BO并延长，分别交AD、圆O于点H、Q，易证△BDQ≌△BAQ，∴DQ=AQ，又AB=DB，∴BQ是AD的垂直平分线，∴BQ⊥AD，∵AC是直径，∴∠ADC=90°，又∠E=90°，∴AD∥BE，∴BQ⊥BE，∴BE是圆O的切线．中考真题演练【有交点，连半径，证垂直】（1）角平分线+等腰=平行1．（2021•广安）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．（1）求证：是的切线；【解答】解：（1）连接，，，平分，，，，，，是的切线；2．（2021•内江）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．（1）求证：是的切线；【解答】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；3．（2021•朝阳）如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，分别连接，、，交于点，交于点，的延长线交于点，连接，，且．（1）求证：是的切线；【解答】解：（1），，，，，即，是的切线；4．（2021•东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）求线段的长度．【解答】（1）证明：连接，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，是的切线；【无交点，作垂直，证半径】1.（2021•宜昌）如图，在菱形中，是对角线上一点，，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．（1）求证：是的切线；【解答】解：（1）证明：如图1，过点作于点，是菱形的对角线，，，，，是的切线．2．（2021•黄冈）如图，在中，，与，分别相切于点，，平分，连接．（1）求证：是的切线；【解答】（1）证明：连接，，过点作于