2024年中考数学几何模型24专题专题11 将军饮马模型（二）含解析

2024年中考数学几何模型专题11将军饮马模型（二）【将军过桥】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．中考真题演练1．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，，为的费马点，则；若，，，为的费马点，则．2．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，，两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点的坐标为．3．（2020•贵港）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为A． B． C． D．4．（2020•恩施州）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为A．5 B．6 C．7 D．85．（2020•西宁）如图，等腰的底边，面积为120，点在边上，且，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为．6．（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为．7．（2019•聊城）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为A． B．， C．， D．8．（2018•滨州）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是A． B． C．6 D．39．（2018•泸州）如图，等腰的底边，面积为120，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为．10．（2017•南通）如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且，，则四边形周长的最小值为A． B． C． D．专题11将军饮马模型（二）【将军过桥】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．中考真题演练1．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，，为的费马点，则5；若，，，为的费马点，则．解：如图，过作，垂足为，过，分别作，则，为的费马点，，，，，，，，；②如图：，，，，，，，，，将绕点逆时针旋转，由旋转可得：△，，，，，是等边三角形，，为的费马点，即，，，四点共线时候，，，故答案为：5，．2．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，，两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点的坐标为．解：在上截取，作点关于轴的对称点，连接交于点，，，四边形是平行四边形，，点与点关于轴对称，，点坐标为，四边形的周长，四边形的周长，和是定值，当有最小值时，四边形的周长有最小值，当点，点，点共线时，有最小值，点，点，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，当时，，点，，故答案为：，．3．（2020•贵港）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为A． B． C． D．解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图：动点在边长为2的正方形内，且，点在以为直径的圆上，，正方形的边长为2，，，是的中点，，点与点关于对称，，，，在中，，线段的最小值为：．故选：．4．（2020•恩施州）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为A．5 B．6 C．7 D．8解：如图，连接交于一点，连接，四边形是正方形，点与点关于对称，，的周长，此时的周长最小，正方形的边长为4，，，点在上且，，，的周长，故选：．15．（2020•西宁）如图，等腰的底边，面积为120，点在边上，且，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为．解：如图，作于，连接，垂直平分线段，，，当、、共线时，的值最小，等腰的底边，面积为120，，，，，，的最小值为13，周长的最小值，故答案为18．6．（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为．解：点，点的纵坐标为1，轴，，，，，，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值，过作交的延长线于，则，，，最小周长的值，故答案为：．7．（2019•聊城）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为A． B．， C．， D．解：在中，，，，，，点为的中点，，，，，作关于直线的对称点，连接交于，则此时，四边形周长最小，，直线的解析式为，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，解得，，，，故选：．8．（2018•滨州）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是A． B． C．6 D．3解：作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，如图，则，，，，，，，此时周长最小，作于，则，，，，．故选：．9．（2018•泸州）如图，等腰的底边，面积为120，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为．解：如图作于，连接．垂直平分线段，，，当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，，，，，，，，，的最小值为13．周长的最小值为；故答案为18．10．（2017•南通）如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且，，则四边形周长的最小值为A． B． C． D．解：作点关于的对称点，连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图所示．，，，，，．故选：．专题12圆（基础知识）一、知识梳理一、圆的基本概念圆的定义（1）从画圆的角度：在一个平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另外一个端点A的轨迹形成的图形叫做圆．（2）从集合的角度：平面内到一个定点距离相等的所有的点组成的集合叫做圆．表示：若圆心为O，通常记为“”，线段OA叫做半径．相关概念：同圆、同心圆、等圆圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定了圆心和半径即确定了圆．圆心半径同圆相同相同同心圆相同不相同等圆不作要求相同三角形外接圆定理：过平面中不共线的三点，有且只能画一个圆．外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形外接圆．任意三角形都有且仅有一个外接圆．外心：外接圆的圆心叫外心．

弦和弧【与三角形、四边形相比，圆没有边也没有角，所以，得造出些边角．】（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．特别地，直径是最长的弦，但半径不是弦．（2）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称：弧．半圆：直径把圆分为两个完全相同的部分，每个部分都叫半圆，半圆也是弧；优弧：大于半圆的弧，为了区分，优弧AB可记为；劣弧：小于半圆的弧，通常指劣弧AB．【易错点】在同圆或等圆中，长度相等的弧叫等弧．判断题：长度相等的弧叫等弧（×）分析：等弧不仅强调长度相等，也要求形状一样，简单说，要能完全重合才叫等弧．圆心角、圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；（2）圆周角：顶点在圆上，且两边和圆相交的角叫做圆周角．【小结】考虑圆本身并无边、角，所以弧、弦、圆心角、圆周角将会是圆中重点研究的对象．

二、圆中三大基本定理垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）逆定理：平分弦（该弦非直径）的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．【逆定理里要排除掉一种情况：任意两条直径均互相平分，但并不一定互相垂直．】【小结】垂径定理与逆定理结合，可得的结果就是：直径与弦，垂直与平分可互推．（3）垂径定理应用如图，圆心和弦的距离称为“弦心距”，即图中的OE．△OED和△OEC都是直角三角形，可由勾股定理得等式：在这里可以给条件作变化，但终究还是利用勾股定理求得线段长度，若无直角三角形，无脑作垂直即可．【小结】关于求弦长：欲求弦长，先求弦长的一半．弧、弦、圆心角关系定理：（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．当∠AOB=∠COD时，则AB=CD，【圆的旋转对称性：当∠AOB=∠COD时，将△AOB绕O点旋转，可与△COD重合．】（2）推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量分别相等．圆周角定理（1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．证明：连接AO并延长交圆于D点，易证：,，∴，即．（2）推论：①同圆或等圆中，若两个圆周角相等，则它们所对的弧也相等．②直径所对的圆周角是直角．③圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角．即∠A+∠BCD=180°，∠A=∠DCE．

【补充】关于四点共圆（课内不作要求）：若A、B、C、D四点共圆，则有：（1）四边形对角互补；（2）∠1=∠7，∠2=∠4，∠3=∠6，∠5=∠8；（3）△PAB∽△PDC，△PAD∽△PBC；（4）托勒密定理：．如何判定四点共圆？以上三条中的任意一个条件都可判定“四点共圆”．即性质与判定可互推．

三、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系（1）点在圆上； （2）点在圆内； （3）点在圆外．【小结】具体的位置关系由圆的半径r和点到圆心的距离d的大小关系决定．直线与圆的位置关系（1）相离：直线与圆无公共点；（2）相切：直线与圆有且仅有一个公共点；（3）相交：直线与圆有两个公共点．r<d r=d r>d【小结】具体的位置关系由圆的半径r与圆心到直线的距离d的大小关系决定．切线（1）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．应用：连半径，得垂直．（2）推论：①经过圆心且垂直于切线的直线比经过切点．②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（3）切线的判定①定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【思考】如何选择距离法与判定定理？【策略】切线长（1）定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长度叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作圆的切线PA交圆于A点，则PA的长叫做P到圆O的切线长．（2）切线长定理①由圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等：PA=PB；②圆心与这个点的连线平分两条切线形成的夹角：∠OPA=∠OPB．弦切角（1）定义：顶点在圆上，一边和圆相切，另一边和圆相切的角叫弦切角．（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．（不能直接用）四、正多边形与圆正多边形（1）各条边相等，且各个内角也都相等的多边形叫正多边形．（2）正多边形相关概念①中心：正多边形外接圆的圆心；②半径：正多边形外接圆的半径；③中心角：正多边形每一条边所对的圆心角；边心距：中心到正多边形边的距离．（3）重新认识正三、四、六边形通过这里的特殊角，可以计算“边：边心距：半径”．（4）性质正多边形是轴对称图形，有n条对称轴正偶数边形是中心对称图形，但正奇数边形不是，所以正多边形也是旋转对称图形．

五、扇形与圆锥扇形（1）定义：一条弧和经过这两条弧的端点的两条半径所组成的图形．【扇形相当于圆的一个部分，圆就是圆心角为360°的扇形．】①圆心角（n）：∠AOB； ②半径（r）：OA、OB； ③弧（l）：（2）两个重要公式：①弧长：②面积：或（将用l替换掉，结果类似于三角形面积公式）圆锥（1）定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．（2）高（h）：圆锥的顶点和圆锥的底面圆心之间的距离；（3）母线（l）：底面圆周上任意一点到顶点的距离；（侧面展开形成扇形的半径）（4）侧面积（）：侧面展开（是个扇形）的面积；（5）表面积（S）：侧面展开扇形面积+底面圆面积（）【划重点】侧面展开扇形弧长=底面圆周长：→阴影部分面积（1）割补法：割割补补，哪里需要补哪里（2）拼凑法：拼拼凑凑，拼凑出新的图形（3）等积变形利用平行线间距离处处相等，可找到等面积三角形．

六、圆中的相似相交弦定理（1）定理：如图，弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PA·PB=PC·PD．（2）证明：连接AD、BC，根据有圆周角定理可得：∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，∴△APD∽△CPB，∴∴PA·PB=PC·PD

切割线定理（1）定理：如图，P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，求证：．（2）证明：连接AB、AC，根据弦切角定理，可得：∠PAB=∠C，又∠P是公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴．

割线定理（1）定理：如图，P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD．（2）证明：法一：连接AC、BD，根据圆内接四边形外角等于内对角，可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，∴△PAC∽△PDB，∴，∴．法二：连接AD、BC，根据圆周角定理，可得：∠B=∠D，又∠P是公共角，∴△PAD∽△PCB，∴∴．二、中考真题演练一、垂径定理1．（2020•滨州）在中，直径，弦于点，若，则的长为A．6 B．9 C．12 D．15【解答】解：如图所示：连接，直径，，，，，．故选：．2．（2021•长沙）如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为．【解答】解：，，，为等腰直角三角形，，故答案为：．3．（2021•自贡）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是A．9.6 B． C． D．10【解答】解：，，，，，，，，，，，，即：，，，．故选：．4．（2021•牡丹江）半径为的圆中，垂直平分半径的弦长为．【解答】解：如右图所示：设圆为，弦为，半径被垂直平分于点，连接，由题意可得：，，，，，在中，由勾股定理可得：，，故答案为：．5．（2021•凉山州）点是内一点，过点的最长弦的长为，最短弦的长为，则的长为A． B． C． D．【解答】解：如图所示，于点．根据题意，得：，．是直径，且，．根据勾股定理，得．故选：．6．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为．【解答】解：设直线交轴于，过作于，如图：在中，令得,,,在中令得,解得,,,中，,，中，，，，，故答案为：．7．（2020•武汉）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是A． B． C． D．【解答】解：连接，交于，是的中点，，，，，，，是直径，，在和中，，，，，，在中，，，故选：．8．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【解答】解：连接，，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：，化简得：，即，（寸．故选：．9．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端，量的弧的中心到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为4．【解答】解：点是的中点，，过圆心，，设圆心为，连接，如图，设的半径为，则，在中，，解得，所以圆形瓦片所在圆的半径为．故答案为4．10．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A．1米 B．米 C．2米 D．米【解答】解：连接交于，连接，点为运行轨道的最低点，，（米，在中，（米，点到弦所在直线的距离米，故选：．11．（2021•柳州）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为A． B． C． D．【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：，，，在中，，，即水的最大深度为，故选：．12．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为A．1.0厘米分 B．0.8厘米分 C．1.2厘米分 D．1.4厘米分【解答】解：设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，如图所示：厘米，（厘米），厘米，（厘米），海平线以下部分的高度（厘米），太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，“图上”太阳升起的速度（厘米分），故选：．13．（2020•广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为A． B． C． D．【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：，，的直径为，，在中，，，故选：．14．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为A． B． C． D．【解答】解：，，，在中，，设半径为得：，解得：，这段弯路的半径为25故选：．15．（2021•西宁）如图，是的直径，弦于点，，，则的半径．【解答】解：弦于点，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，故答案为：．16．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【解答】解：由题意可知，为半径，尺寸，设半径寸，，，则中，根据勾股定理可得：，解得：，木材直径为26寸；故答案为：26．二．弧、弦、圆心角的关系+圆周角定理1．（2021•鞍山）如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：连接，如图，为的直径，，，．故选：．2．（2021•阜新）如图，，，是上的三点，若，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：和都对，．故选：．3．（2021•牡丹江）如图，点，，为上的三点，，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，，是等边三角形，，，故选：．4．（2021•桂林）如图，是的直径，点是上一点，连接，，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：为的直径，，故选：．5．（2021•赤峰）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为A． B． C． D．【解答】解：连接，如图，四边形为的内接四边形，，，为直径，，，．故选：．6．（2021•常州）如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：，，，，故选：．7．（2021•黄石）如图，、是上的两点，，交于点，则等于A． B． C． D．【解答】解：，，，．故选：．8．（2021•吉林）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为A． B． C． D．【解答】解：四边形内接于，，，，为的外角，，只有满足题意．故选：．9．（2021•海南）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：四边形是的内接四边形，，，，，是的直径，，，故选：．10．（2021•宜昌）如图，，是上直径两侧的两点，设，则A． B． C． D．【解答】解：连接，如图，，，，．解法二：因为是直径，所以所以．故选：．11．（2021•聊城）如图，，，是半径为1的上的三个点，若，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，，，，，，，故选：．12．（2021•长沙）如图，点，，在上，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，，故选：．13．（2021•邵阳）如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为A． B． C． D．【解答】解：与所对弧为，由圆周角定理可知：，又，．故选：．14．（2021•嘉峪关）如图，点，，，，在上，，，则A． B． C． D．【解答】解：连接、，，，，．故选：．15．（2021•眉山）如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：是直径，，，，，，，，，点是的中点，，，，，，故选：．16．（2021•重庆）如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：是的直径，，，，故选：．17．（2021•重庆）如图，四边形内接于，若，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：四边形内接于，，，，故选：．二．填空题（共8小题）18．（2021•宁夏）如图，四边形是的内接四边形，，弦，则的半径等于．【解答】解：连接，，四边形是的内接四边形，，，，，，为等边三角形，，即的半径为2．故答案为：2．19．（2021•阿坝州）如图，，，是上的三个点，，则的度数为．【解答】解：，，，，，故答案为：．20．（2021•朝阳）已知的半径是7，是的弦，且的长为，则弦所对的圆周角的度数为．【解答】解：和为弦所对的圆周角，连接、，如图，过点作于，则，在中，，，，，，，，，即弦所对的圆周角的度数为或．故答案为或．21．（2021•淮安）如图，是的直径，是的弦，，则的度数是．【解答】解：是的直径，，，，．故答案为：．22．（2021•徐州）如图，是的直径，点、在上，若，则．【解答】解：是的直径，，，．故答案为32．23．（2021•黑龙江）如图，在中，是直径，弦的长为，点在圆上且，则的半径为．【解答】解：如图，连接．，，，，是等边三角形，，的半径为．故答案为：5．24．（2021•盐城）如图，在内接四边形中，若，则．【解答】解：四边形是的内接四边形，，．故答案为：80．25．（2021•常德）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则．【解答】解：为所对的圆周角且，，又四边形是圆的内接四边形，，，故答案为：．三、正多边形与圆+扇形面积弧长+圆锥一．正多边形和圆（共2小题）1．（2021•兴安盟）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是A．3 B．6 C．8 D．12【解答】解：正多边形的中心角和为，正多边形的中心角是，这个正多边形的边数．故选：．2．（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长．【解答】解：如图，连接、，过作于．，，是等边三角形，，，，，，，故答案为：．二．弧长的计算（共12小题）3．图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则的长为A． B． C． D．【解答】解：的长为，贴纸部分的宽为，，又和的夹角为，的长为：．故选：．4．（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为A． B． C． D．【解答】解：设弧所在圆的半径为，由题意得，，解得，．故选：．5．（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为，则此扇形的弧长是A． B． C． D．【解答】解：一个扇形的半径长为3，且圆心角为，此扇形的弧长为．故选：．6．（2021•台湾）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？A．30 B．60 C．105 D．210【解答】解：由题意可求得圆形的周长，其中一个扇形的弧长，则另一个扇形的弧长，设另一个扇形的圆心角度数为，根据弧长公式：，有：，解得，故选：．7．（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则．【解答】解：物品被传送的距离等于转动了的弧长，，解得：，故答案为：108．8．（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是．【解答】解：设扇形的半径为，由题意得，，解得，故答案为：10．9．（2021•长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度为米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留【解答】解：圆弧长是：（米．故答案是：．10．（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知，，，则．【解答】解：设．由题意，，，故答案为：100．11．（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为．【解答】解：如图，圆心为，连接，，，．，，的长．故答案为：．12．（2021•温州）若扇形的圆心角为，半径为17，则扇形的弧长为．【解答】解：根据弧长公式可得：．故答案为：．13．（2021•泰州）扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为．【解答】解：由题意得，扇形的半径为，圆心角为，故此扇形的弧长为：，故答案为：14．（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为．【解答】解：设弧所在圆的半径为，由题意得，，解得，．故应填40．三．扇形面积的计算（共3小题）15．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是A． B． C． D．【解答】解：扇形面积，故选：．16．（2021•青海）如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动）那么小羊在草地上的最大活动区域面积是A． B． C． D．【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积；小扇形的圆心角是，半径是，则面积，则小羊在草地上的最大活动区域面积．故选：．17．（2021•郴州）如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是（结果用含的式子表示）．【解答】解：这张扇形纸板的面积．故答案为．四．圆锥的计算（共21小题）18．（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为A． B． C． D．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：，设圆心角的度数是度，则，解得：．故选：．19．（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，满足，这样的圆锥的侧面积A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【解答】解：，，圆锥的侧面积，当时，有最大值．故选：．20．（2021•湖北）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为A． B． C． D．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得，解得．故选：．21．（2021•河池）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：，设圆心角的度数是度．则，解得：．故答案为：．22．（2021•西藏）已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6．则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是．【解答】解：设圆心角为，底面半径是2，母线长是6，则底面周长，解得：，故答案为：．23．（2021•兴安盟）将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥，则圆锥的母线长为．【解答】解：设圆锥的母线长为，根据题意得：解得．故答案为：．24．（2021•淮安）若圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长是．【解答】解：底面半径为3，则底面周长，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面积．解得：，故答案为：6．25．（2021•南通）圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为．【解答】解：圆锥的侧面积为：，故答案为：．26．（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为．【解答】解：扇形的圆心角为，母线长为，扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为，则，解得：，故答案为2．27．（2021•黔东南州）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是度．【解答】解：设圆锥的母线长为，扇形的圆心角为，圆锥的底面圆周长为，圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，由题意得：，解得：，则，解得，，即扇形的圆心角为，故答案为：150．28．（2021•黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为，底面圆的半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于．【解答】解：底面圆的半径为，底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，这个冰淇淋外壳的侧面积故答案为：．29．（2021•贵港）如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是（结果保留．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意得：，解得：，高为4，，解得：，母线长为，圆锥的侧面积为，故答案为：．30．（2021•大庆）一个圆柱形橡皮泥，底面积是，高是，如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为的圆锥，则这个圆锥的底面积是．【解答】解：设这个圆锥的底面积为，根据题意得，解得．故答案为18．31．（2021•永州）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为．【解答】解：设此圆锥的母线长为，根据题意得，解得，所以此圆锥的母线长为10．故答案为10．32．圆锥的底面半径为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的母线长为．【解答】解：圆锥的底面周长为：；圆锥侧面展开图的弧长为，设圆锥的母线长为，，解得．故答案为：9．33．（2021•无锡）用半径为50，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得，解得．故答案为：．34．（2021•黑龙江）若一个圆锥的底面半径为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为．【解答】解：设母线长为，则解得：．故答案为：4．35．（2021•盐城）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为．【解答】解：该圆锥的侧面积．故答案为．36．（2021•聊城）用一块弧长的扇形铁片，做一个高为的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为．【解答】解：扇形铁片的弧长，圆锥的底面周长为，圆锥的底面半径，由勾股定理得：圆锥的母线长，扇形铁片的面积故答案为：．37．（2021•宿迁）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的侧面展开图面积为．【解答】解：设圆锥的母线长为，圆锥的底面圆半径为4，圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，，解得：，圆锥的侧面展开图面积，故答案为：．38．（2021•衡阳）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为．（结果保留【解答】解：圆锥的侧面积．故答案为：．专题12圆（基础知识）一、知识梳理一、圆的基本概念圆的定义（1）从画圆的角度：在一个平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另外一个端点A的轨迹形成的图形叫做圆．（2）从集合的角度：平面内到一个定点距离相等的所有的点组成的集合叫做圆．表示：若圆心为O，通常记为“”，线段OA叫做半径．相关概念：同圆、同心圆、等圆圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定了圆心和半径即确定了圆．圆心半径同圆相同相同同心圆相同不相同等圆不作要求相同三角形外接圆定理：过平面中不共线的三点，有且只能画一个圆．外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形外接圆．任意三角形都有且仅有一个外接圆．外心：外接圆的圆心叫外心．

弦和弧【与三角形、四边形相比，圆没有边也没有角，所以，得造出些边角．】（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．特别地，直径是最长的弦，但半径不是弦．（2）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称：弧．半圆：直径把圆分为两个完全相同的部分，每个部分都叫半圆，半圆也是弧；优弧：大于半圆的弧，为了区分，优弧AB可记为；劣弧：小于半圆的弧，通常指劣弧AB．【易错点】在同圆或等圆中，长度相等的弧叫等弧．判断题：长度相等的弧叫等弧（×）分析：等弧不仅强调长度相等，也要求形状一样，简单说，要能完全重合才叫等弧．圆心角、圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；（2）圆周角：顶点在圆上，且两边和圆相交的角叫做圆周角．【小结】考虑圆本身并无边、角，所以弧、弦、圆心角、圆周角将会是圆中重点研究的对象．

二、圆中三大基本定理垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）逆定理：平分弦（该弦非直径）的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．【逆定理里要排除掉一种情况：任意两条直径均互相平分，但并不一定互相垂直．】【小结】垂径定理与逆定理结合，可得的结果就是：直径与弦，垂直与平分可互推．（3）垂径定理应用如图，圆心和弦的距离称为“弦心距”，即图中的OE．△OED和△OEC都是直角三角形，可由勾股定理得等式：在这里可以给条件作变化，但终究还是利用勾股定理求得线段长度，若无直角三角形，无脑作垂直即可．【小结】关于求弦长：欲求弦长，先求弦长的一半．弧、弦、圆心角关系定理：（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．当∠AOB=∠COD时，则AB=CD，【圆的旋转对称性：当∠AOB=∠COD时，将△AOB绕O点旋转，可与△COD重合．】（2）推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量分别相等．圆周角定理（1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．证明：连接AO并延长交圆于D点，易证：,，∴，即．（2）推论：①同圆或等圆中，若两个圆周角相等，则它们所对的弧也相等．②直径所对的圆周角是直角．③圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角．即∠A+∠BCD=180°，∠A=∠DCE．

【补充】关于四点共圆（课内不作要求）：若A、B、C、D四点共圆，则有：（1）四边形对角互补；（2）∠1=∠7，∠2=∠4，∠3=∠6，∠5=∠8；（3）△PAB∽△PDC，△PAD∽△PBC；（4）托勒密定理：．如何判定四点共圆？以上三条中的任意一个条件都可判定“四点共圆”．即性质与判定可互推．

三、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系（1）点在圆上； （2）点在圆内； （3）点在圆外．【小结】具体的位置关系由圆的半径r和点到圆心的距离d的大小关系决定．直线与圆的位置关系（1）相离：直线与圆无公共点；（2）相切：直线与圆有且仅有一个公共点；（3）相交：直线与圆有两个公共点．r<d r=d r>d【小结】具体的位置关系由圆的半径r与圆心到直线的距离d的大小关系决定．切线（1）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．应用：连半径，得垂直．（2）推论：①经过圆心且垂直于切线的直线比经过切点．②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（3）切线的判定①定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【思考】如何选择距离法与判定定理？【策略】切线长（1）定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长度叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作圆的切线PA交圆于A点，则PA的长叫做P到圆O的切线长．（2）切线长定理①由圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等：PA=PB；②圆心与这个点的连线平分两条切线形成的夹角：∠OPA=∠OPB．弦切角（1）定义：顶点在圆上，一边和圆相切，另一边和圆相切的角叫弦切角．（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．（不能直接用）四、正多边形与圆正多边形（1）各条边相等，且各个内角也都相等的多边形叫正多边形．（2）正多边形相关概念①中心：正多边形外接圆的圆心；②半径：正多边形外接圆的半径；③中心角：正多边形每一条边所对的圆心角；边心距：中心到正多边形边的距离．（3）重新认识正三、四、六边形通过这里的特殊角，可以计算“边：边心距：半径”．（4）性质正多边形是轴对称图形，有n条对称轴正偶数边形是中心对称图形，但正奇数边形不是，所以正多边形也是旋转对称图形．

五、扇形与圆锥扇形（1）定义：一条弧和经过这两条弧的端点的两条半径所组成的图形．【扇形相当于圆的一个部分，圆就是圆心角为360°的扇形．】①圆心角（n）：∠AOB； ②半径（r）：OA、OB； ③弧（l）：（2）两个重要公式：①弧长：②面积：或（将用l替换掉，结果类似于三角形面积公式）圆锥（1）定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．（2）高（h）：圆锥的顶点和圆锥的底面圆心之间的距离；（3）母线（l）：底面圆周上任意一点到顶点的距离；（侧面展开形成扇形的半径）（4）侧面积（）：侧面展开（是个扇形）的面积；（5）表面积（S）：侧面展开扇形面积+底面圆面积（）【划重点】侧面展开扇形弧长=底面圆周长：→阴影部分面积（1）割补法：割割补补，哪里需要补哪里（2）拼凑法：拼拼凑凑，拼凑出新的图形（3）等积变形利用平行线间距离处处相等，可找到等面积三角形．

六、圆中的相似相交弦定理（1）定理：如图，弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PA·PB=PC·PD．（2）证明：连接AD、BC，根据有圆周角定理可得：∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，∴△APD∽△CPB，∴∴PA·PB=PC·PD

切割线定理（1）定理：如图，P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，求证：．（2）证明：连接AB、AC，根据弦切角定理，可得：∠PAB=∠C，又∠P是公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴．

割线定理（1）定理：如图，P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD．（2）证明：法一：连接AC、BD，根据圆内接四边形外角等于内对角，可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，∴△PAC∽△PDB，∴，∴．法二：连接AD、BC，根据圆周角定理，可得：∠B=∠D，又∠P是公共角，∴△PAD∽△PCB，∴∴．二、中考真题演练一、垂径定理1．（2020•滨州）在中，直径，弦于点，若，则的长为A．6 B．9 C．12 D．152．（2021•长沙）如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为．3．（2021•自贡）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是A．9.6 B． C． D．104．（2021•牡丹江）半径为的圆中，垂直平分半径的弦长为．5．（2021•凉山州）点是内一点，过点的最长弦的长为，最短弦的长为，则的长为6．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为．7．（2020•武汉）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是A． B． C． D．8．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸9．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端，量的弧的中心到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为4．10．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A．1米 B．米 C．2米 D．米11．（2021•柳州）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为A． B． C． D．12．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为A．1.0厘米分 B．0.8厘米分 C．1.2厘米分 D．1.4厘米分13．（2020•广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为A． B． C． D．14．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为A． B． C． D．15．（2021•西宁）如图，是的直径，弦于点，，，则的半径．16．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．二．弧、弦、圆心角的关系+圆周角定理1．（2021•鞍山）如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为A． B． C． D．2．（2021•阜新）如图，，，是上的三点，若，则的度数是A． B． C． D．3．（2021•牡丹江）如图，点，，为上的三点，，，则的度数为A． B． C． D．4．（2021•桂林）如图，是的直径，点是上一点，连接，，则的度数是A． B． C． D．5．（2021•赤峰）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为A． B． C． D．6．（2021•常州）如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是A． B． C． D．7．（2021•黄石）如图，、是上的两点，，交于点，则等于A． B． C． D．8．（2021•吉林）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为A． B． C． D．9．（2021•海南）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是A． B． C． D．10．（2021•宜昌）如图，，是上直径两侧的两点，设，则A． B． C． D．11．（2021•聊城）如图，，，是半径为1的上的三个点，若，，则的度数为A． B． C． D．12．（2021•长沙）如图，点，，在上，，则的度数为A． B． C． D．13．（2021•邵阳）如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为A． B． C． D．14．（2021•嘉峪关）如图，点，，，，在上，，，则A． B． C． D．15．（2021•眉山）如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为A． B． C． D．16．（2021•重庆）如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为A． B． C． D．17．（2021•重庆）如图，四边形内接于，若，则的度数是A． B． C． D．二．填空题（共8小题）18．（2021•宁夏）如图，四边形是的内接四边形，，弦，则的半径等于．19．（2021•阿坝州）如图，，，是上的三个点，，则的度数为．20．（2021•朝阳）已知的半径是7，是的弦，且的长为，则弦所对的圆周角的度数为．21．（2021•淮安）如图，是的直径，是的弦，，则的度数是．22．（2021•徐州）如图，是的直径，点、在上，若，则．23．（2021•黑龙江）如图，在中，是直径，弦的长为，点在圆上且，则的半径为．24．（2021•盐城）如图，在内接四边形中，若，则．25．（2021•常德）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则．三、正多边形与圆+扇形面积弧长+圆锥一．正多边形和圆（共2小题）1．（2021•兴安盟）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是A．3 B．6 C．8 D．122．（2021•赤峰）如图，