高中数学：含参“一元二次不等式”的解法

含参“一元二次不等式”的解法

【高考地位】

解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问

题的一个难点.在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.

【方法点评】

类型一根据二次项系数的符号分类

使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项

解题模板：第一步直接讨论参数大于0、小于0或者等于0;

第二步分别求出其对应的不等式的解集；

第三步得出结论.

例1已知关于x的不等式依2-3x+2>03wR).

(1)若不等式o?一3x+2>0的解集为｛x|x<l或x>。｝,求。，人的值.

(2)求不等式ar?-3x+2>5-ar(awR)的解集

33

【答案】(1)a=l,b=2(2)①当。>0时，｛x[x>—或％<-1｝②当一3va<0时，｛x[—③当

。=一3时，。④当"一3时，—⑤当a=0时，原不等式解集为｛布<-1｝

【解析】(。将x=l代入"?-3x+2=0,则a=l,二不等式为/-3X+2>0即(x-l)(x-2)>0

不等式解集为何x>2或x<1｝二b=2.

(2)第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0：

不等式为办2+(Q_3)龙一3>0,即(ax—3)(x+1)>0

第二步，分别求出其对应的不等式的解集：

当a=0时…原不等式的解集为｛x|x<—1｝：

当awO时，方程(ac—3)(x+l)=0的根为％=-,x2=-l；

所以当a>0时，—或x<—11；

33

②当一3<a<0时，一<一1,二.(x[—<x<-1｝

aa

3.

③当a=—3时，—=-1,..0

a

④当a<—3时，—>—1,.•｛x|—l<x<—｝

aa

第三步，得出结论：

综上所述，原不等式解集为①当a>0时，｛巾;或x<—l｝；②当一3<。<0时，｛n二<%<-1｝

aa

③当a=—3时，0；④当。<一3时，]乂一l<x<3｝；⑤当a=()时，原不等式解集为｛小<—1｝.

考点：一元二次不等式的解法.

【点评】(1)本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知以2—3x+2=0的

两根为x=l或r=8,ILa>0,根据根与系数的关系，即可求出a力的值.(2)本题考察的是解含参一元

二次不“等式，根据题目所给条件和因式分解化为(ax-3)(x+l)>0,然后通过对参数。进行分类讨论，即

可求出不等式的解集.

【变式演练1】【河南省平顶山市2017-2018学年期末调研考试高二理科数学】若不等式

ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是()

A.(-2,2)B.<-oo,-2)U(2,+oo)C.(一2,2]D.(-oo,2]

【答案】C

【变式演练2】已知〃：*和々是方程1一小一2=0的两个实根，不等式片-54-3mxi-々I对任意

实数〃ze[—1,11恒成立；q：不等式⑪2+2x-l>0有解，若p为真，4为假，求a的取值范围.

【答案】a<-\

••△=4+4tz>0,；.-1<<2<0,

二不等式《%2+2x—1>0有解时a>-l,

•••q假时a的范围为。<一1，②

由①②可得a的取值范围为aW—1.

考点：命题真假性的应用

类型二根据二次不等式所对应方程的根的大小分类

使用情景：一元二次不等式可因式分解类型

解题模板：第一步将所给的一元二次不等式进行因式分解；

第二步比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；

第三步.得出结论.

例2解关于x的不等式a/—(a+i)龙+1>。为常数且a。。)..

【答案】a<0时-不等式的解集为(工,1)；0<。<1时不等式的解集为(一8,1)11(工,+8)：a=l时不等式

aa

的解集为(-00,1)U(l,+oo).a>\时不等式的解集为(-00,1)U(l,+oo)..

a

若。>1,0<-<1,不等式的解集为(—8,1)U(l,+8)

aa

试题分析：ar，-(a+l)x+l>0=a(x-')(x-l)>0,先讨论a<0时不等式的解集：当a>0时，讨论1

a

与1的大小，即分0<a<l,a=l,a>1分别写出不等式的解集即可.

a

考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.

【变式演练3】已知a<0,解关于x的不等式依2一3一2)X—2<0.

【答案】当a<-2时，｛x|xV-2或x>l｝；当。=一2时，当-2<a<0时，愧|*<1或*>-2｝.

a1;a

考点：一元二次不等式.

【变式演练4】【2018重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知0<b<l+a,若关于x的不等式(x-b)2>

(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()

A.—l<a<0B.0<a<lC.l<a<3D.3<a<6

【答案】C

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【解析】由(x—8)2>(or)2,整理可得(1—标)x-2bx+Z>>0,由于该不等式的解集中的整数恰有3

个，则有1—，<0,此时标>1,而0<b<l+a,故a>l,

由不等式(足—。^^法一从④解得

一匕即卫<x<_2_<i要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么一

2(a2T2(6-1)a-1a+\

3<——<—2,由一v—2得一b<—2(a—1),则有av^+1,BPa<—+1<+1,解得a<3,由一3<——

Q—1ci—1222a—1

得3a—3>b>0,解得a>l,则l<a<3

类型三根据判别式的符号分类

使用情景：一般一元二次不等式类型

解题模板：第一步首先求出不等式所对应方程的判别式；

第二步讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；

第三步得出结论.

例3设集合A={#t2+3人232X-1)},B={xpv2-(2x-l))l+)l2>0},且AqB,试求后的取值范围.

【答案】k>O^-\<k<Q.

【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式A=4女2一4(%2+6=一4攵，

(1)当D时,△<0,xe7?.

(2)当k>0时，KO,xwR.

(3)当％<0时，A>0,xW%—2左+J—k.

第三步.，得出结论：

综上所述，k的取值范围是：k>0^-l<k<0.

【点评】解含参的•元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对△进行分类，或利

用二次函数图像求解X寸于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式△的符号分类.

【变式演练5]在区间错误!未找到引用源。上,不等式错误!未找到引用源。有解，则错误!未找到引用源。

的取值范围为()

A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!

未找到引用源。

【答案】C

考点：一元二次不等式定区间定轴问题.

[变式演练6X2018湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学(文)试卷】若存在％G[-2,3],使不等式2%-->a

成立，则实数a的取值范围是()

A.(—00,11B.(—co,—8]C.「1,+8)D.[-8,+8)

【答案】A

【解析】

试题分析：设/(幻=2彳一，=_(彳_1)2+1工1，因为存在1Y卜2月，使不等式2x——\a成立，可知

aWf(x)H，所以awl，故选A.

考点：不等式恒成立问题.

【高考再现】

1.不等式2j<4的解集为.

【答案】(-1,2).

【解析】由题意得：X2-X<2=>-1<X<2,解集为(—1,2).

【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式

【名师点晴】指数不等式按指数与I的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程

厩2+版+。=0(。>0)的解集，先研究△=〃_4<Zc，按照△>()，△=()，,△<()三种情况分别处理，

具体可结合二次函数图像直观写出解集.

2.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.

.【答案】(0,8)

【解析】试题分析：因为不等式xJax+2a>0在R上恒成立.

，△=(-a)2-8a<0,解得0VaV8

故答案为：(0,8)

考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题

3.X2+X+a--+㈤=0有实根，则a的取值范围是____________。

A

【答案】0,1

【解析】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于X的二次方程有实根，那么

：+同40即2a--4,，解得

A=1-4a+时,而。一,从而

444

4.下列不等式中，与不等式,人°<2解集相同的是().

X2+2X+3

A.(x+8)(厂+2x+3)<2B,x+8<2(x?+2x+3)

12+2x+31

C.-：--------<-----D.---------->一

x~+2,x+3x+8x+82

【答案】B

【考点定位】同解不等式的判断.

【名师点睛】求解本题的关键是判断出/+2X+3=(X+1)2+2N2>0.本题也可以解出各个不等式，再

比较解集.此法计算量较大.

【反馈练习】

1.已知函数/'(x)=，+ax+b，集合4={x|/(x)40},集合B={x|/•(/■(>))±|},若A=B手。,则实数a的取

值范围是()

A.[75,5]B.[-1,5]C.[75,3]D.[-1,3]

【答案】A

点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合

B==/(x)<n},根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合4=B70,

4

得出6和m=-a,即可求出实数a的取值范围.

1*3—4Y

2.设p：-----<0,q：x2-（2m+l）x+m2+m<0,若p是4的必要不充分条件，则实数m的

2x

取值范围为（）

A.[-2,1]B.[-3,1]C.[-2,0）u（0,l]D.[-2,-l）u（O,l]

【答案】D

元3-4Y

【解析】设P：------<0的解集为A,所以A={x卜2SXV0或O<XS2},设q：x2-（2/w+l）x+m2+m<0

2x

的解集为B,所以B={x|mSxWm+l},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有

m>0口"2+1<0

=0<根<1或｛—2<m<—1.

m+1<2m>-2

综合得mc[-2,—l)D(0,l],故选D.

3.已知集合M={x[—l<x<2},N={x|%2—阻<（）},若MCN={X|（）<X<1},则〃?的值为（）

A.1B.-1C.±1D.2

【答案】A

【解析】山M={x|-l<x<2},N={x|f一如<o},且McN={x[O<x<l},得

N={x[O<x<l},又由V-〃zx<0,则必有力>0，且0<x<〃2,所以〃2=1.故选A.

4.若关于x的方程(1%-融)/“=，存在三个不等实根，则实数。的取值范围是

,11、，11、11

A.(一8,丁一一)B.(万一-/0)C.(-oo--e)D.(―e,0)

eeeeee

【答案】C

•关于1的方程(，nx-ax)lnx=，存在三个不等实根，

1

；・方程[2-戊-1二0有两个根，且一正一负，且正根在区间(0,-)内.

e

令=t2-at—1=0»

g(0)=-1<0

则有9(3=2'-1>0，解得

2

eee”

二实数a的取值范围是(-82-e).选C.

e

点睛：

解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根

的分布情况再转化成不等式的问题解决.对于本题中的=。根的情况，还要根据数形结合根据两函

数图象交点的个数来判断.

5.若"0<x<l”是"(X—。)卬-(。+2)]40"的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是()

A.[-1,0]B.(-1,0)

C.(—oo,0]U[1,+oo)D.(-00,-1)U(0,4-co)

【答案】A

【解析】试题分析：依题意0<x<l=>asxsa+2,,1£aS0.

<a+z>1

考点：充分必要条件.

11

6.不等式渥+版+2>0的解集是（一］号），则a+b的值是（）

A.10B..-10C.-14D.14

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，由于不等式ax2+bx+，2>0的解集是（一捻，那么说明了一!」是ax2+bx+2=0的

两个根，然后利用韦达定理可知一」-=2二a=-12.-L+L=?二b=-2则a+b的值是-14,故选C.

23a23a

考点：一元二次不等式的解集

点评：主要是考查了二次不等式的解集的运用，属于基础题。

7.已知a>从二次三项式。,+钛+人.对于一切实数可亘成立，又吟WR,使QXo2+4%o+b=O成立，则

火他的最小值为__________.

a-b

【答案】4*

【解析】分析：/+钛+人0对于一切实数为恒成立，可得ab24；再由孙€/?,使。蜻+位。+b=0成立,

216

22。+~~

可得成44,所以可得ab=4,可化为——匕，平方后换元，利用基本不等式可得结果.

a-b4

a—

a

点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求

最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是,

其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要

注意两点，-是相等时参数否在定义域内，二是多次用2或W时等号能否同时成立）.

8\若4=卜|。工2一球+1«o,xeR}=。，则a的取值范围是.

【答案】［0,4）

【解析】当a=0时，显然成立；

当a>0时，△=a2-4a<0，得0<a<4；

综上，a的取值范围是［0,4）。

12.12.不等式》2一2依—3。2<0（。>0）的解集为.

【答案】3-"<x<3a}

【解析】x2-2ar-3a2<0<^（x-3a）（x+a）<0,因为a>0,-a<3a,不等式的解集为

{x|-a<x<3a},故答案为{x|-a<x<3a}.

9.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式hx2-5x+a>0的解集

为.

【答案】{x|x<—g或x>；}

【解析