2024届河北省武邑中学高三上学期三调考试数学及答案

数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷:选择题（60分）一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置．x3Bx0Axx2ðx1，则AB1.已知全集UR，集合，（）Ux2x1x2x1x2x1x2xA.B.C.D.1iai32a2.已知a为实数，若（i（）13122A.1B.C.D.3.已知锐角满足2cos21sin，则tan（）112A.B.C.2D.334.已知向量a,b,x,y满足axyabab0xy，且，则等于（）b2xy32535A.2B.C.D.75.已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（）17737217A.B.C.D.76.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值为(ꢀꢀ)217235714A.B.C.D.227.设a2，bsina，ce0.2，则（）：A.abcB.acbC.bcaD.cabx22pyp0与双曲线Cx23y2有一个公共焦点F，过CP35,4上一点8.抛物线1：22AFBF向1作两条切线，切点分别为A、B，则A.49B.68（）C.32D.52二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置．的前项和为SnN其中为常数）aSn2ana(9.已知数列na)nn一定是等比数列数列可能是等差数列anaA.数列C.数列B.D.n可能是等比数列数列可能是等差数列SnSn10.以下四个命题表述正确的是（）A.直线3mx4y3m0xR恒过定点2,3；B.圆x2y24上有且仅有3个点到直线xy20的距离都等于1y2x0与曲线C：xy4x8ym0C：x2222恰有三条公切线，则m4C.曲线1x22y22ab0)的一条渐近线被圆xy26x0截得的弦长为25，则双曲线的2D.若双曲线ab35离心率为．5的11.如图，棱长为1正方体ABCDAB中，P为线段11111确的是（）πA.直线B.平面1P与AC所成的角可能是6DAPAAP1平面111C.三棱锥的体积为定值APDD.平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形1fxe,gxx，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（12.已知函数x）yfxegx的极值点为1A.函数x,fxgx2B.P,Qyfxygx和PQ上的动点.则的最小值为2C.若分别是曲线1efaxgx1axD.若对任意的xa恒成立，则的最小值为第Ⅱ卷:非选择题（90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为23，则a＝______．14.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为m.如果池底每m2的造价为150元，池壁每m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m.在圆：x2y2r2（r0）内，过点的直线被圆截得的弦长最小M15.已知点值为8，则CMCr______．2px(p0)的焦点到准线的距离为2，O为坐标原点，点P在抛物线上，平面上16.已知抛物线C:y2一点M满足PM9，则直线OM斜率的最大值为_______.四、解答题（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分）nn2的前项和a,nN．17.已知数列nSnn2（1）求数列的通项公式；an（2）设bnna，求数列b的前2n项和．2nnn61122f(x)sinxsinx2x18.已知函数.（1）求函数f（x）的单调递减区间；B23,b3，求（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f2acosB﹣bcosC的取值范围.19.已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T．（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝22，求直线l的方程；（2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．20.如图，四棱锥P的底面是等腰梯形，//，BC2AB2AD2，PC3，PC底面ABCD，M为棱AP上的一点．ABCM（1）证明：；17（2）若二面角AM的余弦值为，求的值．17F(2,0)F(2,0)的直线l与曲线C交21.已知曲线C上任意一点到点的距离比它到y轴的距离大2，过点于A，B两点．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在A，B处的切线交于点M，求面积的最小值．fxex,kR222.已知函数.fx时，求函数在2上的值域；k0（1）当（2）若函数在fx上仅有两个零点，求实数的取值范围.k数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷:选择题（60分）一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置．x3Bx0Axx2ðx1，则AB1.已知全集UR，集合，（）Ux2x1x2x1x2x1x2xD.A.B.C.【答案】D【解析】U)BðAU【分析】先分别求出集合A，B，从而求出，由此能求出．【详解】全集UR，集合x，A{x|x2{x|x2或x3B{x|„{x|„x，x1UA{x|„„，U)B{x|„x．故选：D．1iai32a2.已知a为实数，若（i（）13122A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】1iaiai，整理为复数的一般形式，根据题中条件计算即可得出结论.把分子分母同时乘以1ii)(ai)a22a1【详解】解：i，ai(ai)(ai)a21a122a121aa23,a21212a.故选：D【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算，属于基础题.3.已知锐角满足2cos21sin，则tan（）112A.B.C.2D.33【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数tan关系求得的值.【详解】∵1sin2，∴2cos2sin2(sincos)2，2cossinsincos(sincos)即2，又∵为锐角，∴sincos0，∴2cossinsincos，13cos3sin即，∴.故选：A4.已知向量a,b,x,y满足axyabab0xy，且，则等于（）b2xy32535A.2B.C.D.7【答案】B【解析】【分析】根据方程组求出x，，再分别求它们的模，相加即可.yaxyxab【详解】由得：，b2xyy2abab1又，b0，22xababa22bb1012，∴2y2ab2ab4a24bb4015.2xy25所以故选：B5.已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为.（）17737217A.B.C.D.7【答案】A【解析】【分析】根据柱体外接球的特点可知，该正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处，再根据勾股定理即可求出外接球的半径；由正三棱柱的性质可知，当球半径r是底面正三角形内切圆的半径时，该内切球的半径最大，由此即可求出该内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求出结果.-ABC-ABC的两底面中心O，O，1111【详解】设正三棱柱，取三棱柱111连结，取的中点D，连结BD，则BD为正三棱柱外接球的半径．11∵是边长为2的正三角形，O是的中心，2233∴BO3．3121AA11又∵，1273213BD22∴．-ABC外接球的表面积11BD2∴正三棱柱．13根据题意可知，当球半径r是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即13r3，33-ABC内半径最大的球表面积为11r2所以正三棱柱，1313=所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为.73故选：A.【点睛】方法点睛：①一般地，柱体的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处；②柱体的内切球的半径为其中截面内切圆的半径.6.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值为(ꢀꢀ)217235714A.B.C.D.22【答案】D【解析】BC理求得sinACBACBsinsin(30ACB)，根据正弦函数的两角和公式，则可得，进而利用解决.ABCAC＝10AB＝20∠CAB＝120°.由余弦定理可得BC＝10.又由正弦定理可得⇒sin∠ACB＝.故sinθ＝sin×＝＝⇒＝＝×＋.【点睛】该题考查的是利用正余弦定理解决海上救援的问题，在解题的过程中，注意正确分析题中的条件，熟练掌握正余弦定理，将所涉及到的量代入对应的式子正确求解即可.7.设a2，bsina，ce0.2，则（）A.abc【答案】D【解析】B.acbC.bcaD.cabfxexx1，【分析】首先判断这三个数与1的大小，确定bac最小；对、先开方，再利用函数的单调性判断他们的大小x0【详解】∵a1.1.1，bsinace0.2e，01，∴b21.10最小.设fxexx1x0fxex，则，因为x0，所以，所以在上1fx0fx为增函数.又f00，即f0.102e0.10.110e0.1e0.11.12e0.22，，所以即ca所以.cab.综上可得：故选：Dfxexx1x0的单调性比较是难点ac1）先把，开方，利用函数.aca2ln1.1，c0.2（2）也可以先把，取自然对数：，然后利用函数的单调性来比较它们的大小gxx1x,x02pyp0与双曲线C.8.抛物线1：x2：x23y2有一个公共焦点F，过CP35,4上一点22AFBF向1作两条切线，切点分别为A、B，则（）A.49B.68C.32D.52【答案】A【解析】【分析】将P坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数p,利用导数几何意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，表示为A,B的纵坐标的关系式，求得|AF||BF|关于A,B纵坐标的表达式.2353423【详解】由P在双曲线上，将P点坐标代入双曲线的方程，，x2b2∴c2b4,∴双曲线的方程为y21，双曲线的焦点在y轴上，a22a23p2c2,双曲线的焦点坐标为2,抛物线2x2py的焦点坐标为,∴p∵抛物线与双曲线的焦点重合，∴2，∴抛物线的准线为y=2，p4，21x28y,即yx2,抛物线的方程为81141Ax,y,Bx,yyxx,x,切线方程分别为12,设,切线PA,PB的斜率分别为11224411y1xxx,yyxxx,2211244181将P的坐标及1x21,y2x22代入，并整理得x21651320,22652320,8可得x,x为方程x265x320的两个实数根，由韦达定理得12xxxx65,12121818112y2y2x212x222xx2x21x224AFBF112644111142x221x43265=2x122232449,xx12264464故选:A.【点睛】本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦达定理的灵活运用.二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置．的前项和为SnN其中为常数）aSn2ana(9.已知数列na)nn一定是等比数列数列可能是等差数列anaA.数列C.数列B.D.n可能是等比数列数列可能是等差数列SnSn【答案】BD【解析】Sana2aa2a，，分类讨论a是否为0，判断选项正误.n1n1【分析】由和的关系求得nS2(aa)n1时，Sa2(aa)a2a，得，1【详解】因为，当nn111将n1代入，得S2(an1a)，aSn1Sn2(an1a)2(ana)，n1n1an12a，n即当a0时，a0n，不是等比数列，是等差数列，aSn0，S也是等差数列；nn2a2)na0aSn2a(2不是等比数列；n当时，是以2a为首项，为公比的等比数列，2n12故答案为：BD.10.以下四个命题表述正确的是（）A.直线3mx4y3m0xR恒过定点2,3；B.圆x2y24上有且仅有3个点到直线xy20的距离都等于1y2x0与曲线C：xy4x8ym0C：x2222恰有三条公切线，则m4C.曲线1x22y22ab0)的一条渐近线被圆xy26x0截得的弦长为25，则双曲线的2D.若双曲线ab35离心率为．5【答案】BCD【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆m6x0所截心距等于半径和列式求得判断C；求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆x2y2得的弦长为25，结合弦心距和勾股定理，即可求出双曲线的离心率，即可判断选项D是否正确．x30【详解】由3mx4y3m0xR，得3x4y3mx3，0，联立3x4y30x3y33mx4y3m0xR3恒过定点，故A错误；解得，∴直线0,0l:xy20的距离等于，∵圆心到直线1∴直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线l:xy20的距离等于1，故B正确；x12y21，曲线C：x12y22x0两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式x22y4220m0，圆心距为2:x2y24x8ym0化为标准式2122451m420m，解得，故C正确；x2y22ab0)的一条渐近线方程为0，双曲线a2bbb0的圆心(0)圆x2y26x到双曲线的渐近线的距离为：，a222b2c2a2c2b2524545953又圆的半径为，所以9=，解得，所以，即，所以离a2a2a2a2b235心率为e，故D正确．5故选：BCD.【点睛】方法点睛：与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距离公式求解，而是应用几何方法去求解．122方法是：直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2d2，即l2rd2，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．2ABCDAB111.如图，棱长为1的正方体确的是（）中，P为线段1111πA.直线B.平面1P与AC所成的角可能是6DAPAAP1平面111C.三棱锥的体积为定值APDD.平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形1【答案】BCD【解析】【分析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法42,1求出直线D1P与AC所成的角为；对于B，由A1D1AA，ADAB，得A1D1平面A1AP，从1116VP而平面DAP平面AAP；对于C，三棱锥D﹣CDP的体积为定值；对于D，当111111AP延长线交BB1的中点时，可以得到等腰梯形的截面．【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，，设D0,1,A1,0,0,C0Pa,b0a1,0b110DPa,b1,1DPACa1DP,AC101DPAC11ab222当a1时，DP,；12当ab1时，DP,AC，14a1120a1,0b1,∴,221a2b22DP,AC1,2442,∴直线D1P与AC所成的角为，故A错误；1对于B，正方体ABCD﹣ABCD中，ADAA，ADAB，11111111∵AA1ABAD1A1AP，1＝A，∴平面11∵A1D1平面DAP，∴平面DAP平面A1AP，故B正确；11112对于CS，P到平面CDD1的距离BC＝1，1121∴三棱锥D1﹣CDP的体积：11161P1为定值，故C正确；321APD对于D，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面与直线BC交于点F,111APDAPD因为平面ADDA∥平面BCCB,平面∩平面ADDA=AD,平面∩平面BCCB=EF,所以11111111111EF∥AD,∴F为BC的中点，∴截面ADFE为等腰梯形的截面，故D正确；1111故选：BCD．fxe,gxx，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（12.已知函数x）yfxegx的极值点为1A.函数x,fxgx2B.P,Qyfxygx和PQ上的动点.则的最小值为2C.若分别是曲线1efaxgx1axD.若对任意的xa恒成立，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设hxfxgx，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲yxyx的最小距离dPQ，然后再求的最小值；对于线yex与曲线互为反函数，可先求点P到xuxD，利用同构把恒成立问题转化为axx，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可.xeeexyfxxexx．所以yex【详解】，xx0，当0x1时，y0，当x1时，yexx在上单调递减，在上单调递增，yfxegx所以所以y的极值点为1，故A正确；1hxfxgxe设xxhxex，则，xhx由单调性的性质知在上单调递增．111e1x,1h0e00，heee<0,h1e又，则存在．使得00e1e00xxxhx0xhx0时．．x,即，，所以当时．，当0000所以在0上单调递减．在上单调递增.hxx,011e1h(x)hxe0ln0x0x，又0,102，所以，则000x,fxgx2所以，故B错误；因为函数fxexgxxyx对称，与函数互为反函数，其图象关于yxfxexyxb，设点P到的最小距离为d，设函数上斜率为1的切线为012fxex，即b1，所以d，由ex1得x0，所以切点坐标为，22PQ2，故C正确；所以的最小值为2dfaxgx1ax若对任意的x恒成立，恒成立，则eaxaxxxexx对任意的x令FxxexFx1ex0Fx在上单调递增，则axx，，则．所以x1xxuxux，所以即a，令，xxx2xeuxux单调递减，当0xe时，uxux单调递增，当时，lnee1e11uea，所以所以u(x)，即的最小值为，故D正确.aee故选：ACD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.第Ⅱ卷:非选择题（90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为23，则a＝______．【答案】1或3【解析】【分析】根据几何关系及点到直线的距离公式求解.【详解】过C作CDAB，123在Rt△故CDADC中，∠ADC90°＝，，AC2AD2431，因为C(a,0)，a8131，解得a＝1或．a即32423故答案为：1或.314.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为m.如果池底每m2的造价为150元，池壁每m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m.【答案】160【解析】4800，然后fx，由题意可得水池总造价m【分析】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为3x利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长．4800m，【详解】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为3x4800348003x由题意可得水池总造价fx15012023x231600240000720x，x0x16001600240000则fx720x2400007202xxx720240240000297600有最小值297600，fx时，xx当且仅当，即x480040m此时另一边的长度为，3x因此，当水池的底面周长为160m时，水池的总造价最低，最低总造价是元，故答案为160．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．在圆：x2y2r2（r0）内，过点的直线被圆截得的弦长最小M15.已知点值为8，则CMCr______．【答案】26【解析】【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.【详解】由点在圆C：Mxy222r内，且所以3122r，又r0，解得r22231CM过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为又CCM222CM22r8，解得r262所以82r故答案为：2616.已知抛物线C:y2px(p0)的焦点到准线的距离为2，O为坐标原点，点P在抛物线上，平面上2一点M满足PM9，则直线OM斜率的最大值为_______.1【答案】【解析】3p【分析】根据抛物线方程中的几何意义，结合共线向量的坐标表示公式、直线斜率的公式、基本不等式进行求解即可.【详解】因为抛物线C:y2px(p0)的焦点到准线的距离为2，2p2，，因此该抛物线的方程为y24x，F1,0所以204y,y,Mx,y，设P0因为PM9，y0109204yy20491xyxx,yy91x,y所以有，0y20y09yx1040设直线OM斜率为k，yx40360ky0，要想直线OM斜率有最大值，一定有，0则2y4436y013k36xy0，2y0y036y6舍去，y06y，0当且仅当时取等号，即0y01故答案为：3【点睛】关键点睛：对直线斜率的表达式进行变形，利用基本不等式是解题的关键.四、解答题（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分）n2n的前项和a,nN．17.已知数列nSnn2（1）求数列的通项公式；an（2）设bna，求数列b的前2n项和．nnn2nann【答案】（1）2）22n1n2.【解析】1,n1an求得数列的通项公式.a1）利用SS,n2nnn1（2）利用分组求和法求得数列的前项和.bn2n1）当n1时，aS1；11n2n(n2(n当n2时，aSnSn1n1时，上式也符合.n，当n22故数列的通项公式为an．nanb2nnn的前项和为b2n（2）由（1）知，，记数列2n，nnT212222n12342n则记．2nA212222n，B1234n，22122n则A22n12，12Bnnn12．34212故数列的前项和2nTAB22n1n2．2nbn61122f(x)sinxsinx2x18.已知函数.（1）求函数f（x）的单调递减区间；B23,b3，求（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f2acosB﹣bcosC的取值范围.411,k,kkZ）【答案】（1），2422【解析】1）先利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，再利用整体代换解不等式的方法求函数的单调递减区间即可；fxB（2）先根据f3B求得，再利用正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换等知识将2236aBbCAA化简为，最后结合角的范围求解即可.61122f(x)sinxsinx2x1）由题意312126sinxsinxx2x231cos2x131sin2xcos2xsin2x444413sin2x．242k2x2k，kZ，令22kxk解得，kZ，444故函数的单调递减区间为k,kfxkZ；，4B21333（2）由（1）知fsinB，解得sinB，2422BB因为，所以．23acb332由正弦定理可知sinAsinCsinB，2则a2sinA，c2sinC，a3aBbC3CsinA3A所以2333sinA3AsinAAsinA22316AsinAA22AC3AA0A在锐角中，易知，得，22620C611A,因此，则．3632211aBbC的取值范围为,故．22【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，在第（2）题中关键6A是利用正弦定理将所求式转化为，结合题中条件求出A的范围，从而得解.19.已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T．（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝22，求直线l的方程；（2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．131【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝02，）2020【解析】1）首先判断l斜率不存在时，符合题意.当l斜率存在时，设出直线l的方程，利用弦长列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线方程.PTPM2x6y10，（2）设出P点的坐标，根据切线长以及列方程，化简后求得P的轨迹方程PT2x6y102x6y10的距离，求得垂直直线时直线的方将最小转化为M到直线2x6y10程，和联立求得P点坐标.1）圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝3．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，此时|AB|＝22，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x+1kx﹣y+k﹣1＝0．∵|AB|＝22，321．∴圆心C到直线l的距离dk31．∴dk2143解得k，则直线l的方程为4x﹣3y+1＝0．∴所求直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）设P（x，y|PT|||23，0002(02)3(0(02，22∵|PT|＝|PM|，∴化简得2x+6y+1＝0，00∴点P（x，y）在直线2x+6y+1＝0．00当|PT|取得最小值时，即|PM|取得最小值，即为点M（﹣1，﹣1）到直线2x+6y+1＝0的距离，此时直线PM垂直于直线2x+6y+1＝0，∴直线PM的方程为6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．13201x2x6y10由，解得，3xy20y20131∴点P的坐标为（，2020【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查与圆有关的弦长问题，考查最值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20.如图，四棱锥P的底面是等腰梯形，//，BC2AB2AD2，PC3，PC底面ABCD，M为棱AP上的一点．ABCM（1）证明：；17（2）若二面角AM的余弦值为，求的值．17【答案】（1）证明见解析1（2）3【解析】1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证；（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出，利用空间向量的性质表示出二面角AM的余弦值，求得即可.【小问1详解】ANBC证明：过点A作，垂足为N，1∥BC,BC2AB2AD2，所以BN,ABC60ABCD在等腰梯形中，因为．2．AB2BC22ABBCABC3，则AB2AC2BC2在中，AC2，则因为底面ABCD，AB底面ABCD，所以．ACPCC因为，所以平面．又平面，以ABCM．【小问2详解】解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令01，则，31C(0,0),(3,0,0),D,,0,M(,0,3)，2231,,0,(,3)则．223xy22x1令，得设平面CDM的法向量为m(x,y,z)，则x3zm3,．1由图可知，n(0,是平面ADC的一个法向量．|mn|11717|m,n|因为二面角AM的余弦值为，所以，解得|mn|217174)21．317PM13故当二面角AM的余弦值为时，．17PAF(2,0)F(2,0)的直线l与曲线C交21.已知曲线C上任意一点到点的距离比它到y轴的距离大2，过点于A，B两点．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在A，B处的切线交于点M，求面积的最小值．2y8x(x0)或y0(x0)【答案】（1）（2）16【解析】的1）设曲线C上任意一点P坐标为(x,y)，根据题意得到(x2)2y|x|2，然后分类化2简；x2（2）由题意设l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得|m2)，设切线MA的方程为yyk(xx)(k0)，与抛物线方程联立，利用判别式等于11414y1(xx)1零求得，得到切线MA的方程为，同理写出切线MB的方程，解方程组求得M13的坐标，进而求得点