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文档简介

2024届佳木斯市第一中学高三下学期联合考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.己知全集为实数集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},则等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)2.设函数的导函数,且满足,若在中,,则()A. B. C. D.3.已知若(1-ai)(3+2i)为纯虚数,则a的值为()A. B. C. D.4.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为()A. B. C. D.5.设集合,,若,则的取值范围是()A. B. C. D.6.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()A. B. C. D.7.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.20178.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知为虚数单位,实数满足,则()A.1 B. C. D.10.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.11.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()A. B. C. D.12.已知定义在上函数的图象关于原点对称,且,若,则()A.0 B.1 C.673 D.674二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________.14.记数列的前项和为,已知,且.若,则实数的取值范围为________.15.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.16.已知集合,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin.(1)求曲线C的普通方程;(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.18.(12分)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,焦距为2,且经过点,斜率为的直线经过点,与椭圆交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)在轴上是否存在点,使得以,为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围,如果不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数(),不等式的解集为.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.20.(12分)如图,在直三棱柱中,,点P,Q分别为,的中点.求证:(1)PQ平面;(2)平面.21.(12分)已知x,y,z均为正数.(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.22.(10分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简B,然后利用补集与交集的运算得答案.【详解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,

∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由log2x<1,x>0,得0<x<2,

∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},

则,

∴.

故选:D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算,考查了对数不等式,二次不等式的求法,是基础题.2、D【解析】

根据的结构形式,设,求导,则,在上是增函数,再根据在中,,得到,,利用余弦函数的单调性,得到,再利用的单调性求解.【详解】设,所以,因为当时,,即,所以,在上是增函数,在中,因为,所以,,因为,且,所以,即,所以,即故选:D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了运算求解的能力,属于中档题.3、A【解析】

根据复数的乘法运算法则化简可得,根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为,该复数为纯虚数,所以.故选:A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类,属基础题.4、A【解析】

将正四面体补成正方体,通过正方体的对角线与球的半径关系,求解即可.【详解】解:如图,将正四面体补形成一个正方体,正四面体的外接球与正方体的外接球相同,∵四面体所有棱长都是4,∴正方体的棱长为,设球的半径为,则,解得,所以,故选:A.【点睛】本题主要考查多面体外接球问题,解决本题的关键在于,巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线,从而将问题巧妙转化,属于中档题.5、C【解析】

由得出,利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】,且,,.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数,考查计算能力,属于基础题.6、B【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论.【详解】正方体的面对角线长为,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,属于基础题.7、D【解析】

依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.8、B【解析】

化简复数,由它是纯虚数,求得,从而确定对应的点的坐标.【详解】是纯虚数,则,,,对应点为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.9、D【解析】,则故选D.10、D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.11、A【解析】

先根据奇函数求出m的值,然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意,得,得,所以当时,.分析知,函数在上为增函数.又,所以.又,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.12、B【解析】

由题知为奇函数,且可得函数的周期为3,分别求出知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数,故;因为,故,可知函数的周期为3;在中,令,故,故函数在一个周期内的函数值和为0,故.故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为,根据抛物线的定义求得,并求出对应的,即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为,抛物线的准线方程为,由抛物线的定义得,解得,此时.因此,抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】

根据递推公式,以及之间的关系,即可容易求得,再根据数列的单调性,求得其最大值,则参数的范围可求.【详解】当时,,解得.所以.因为,则,两式相减,可得,即,则.两式相减,可得.所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,所以,则.令,则.当时,,数列单调递减,而,,,故,即实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,涉及数列单调性的判断,属综合困难题.15、【解析】

根据题意,利用扇形面积公式求出圆心角,再根据等腰三角形性质求出,利用向量的数量积公式求出.【详解】设角,则,,所以在等腰三角形中,,则.故答案为:.【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式,属于基础题.16、【解析】

直接根据集合和集合求交集即可.【详解】解:,,所以.故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(2,).【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.(2)先把两个方程均化为普通方程,求解公共点的直角坐标,然后化为极坐标即可.【详解】(1)∵曲线C的极坐标方程为,∴,则,即.(2),∴,联立可得,(舍)或,公共点(,3),化为极坐标(2,).【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解,熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键,交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化,侧重考查数学运算的核心素养.18、(1)(2)存在;实数的取值范围是【解析】

(1)根据椭圆定义计算,再根据,,的关系计算即可得出椭圆方程;(2)设直线方程为,与椭圆方程联立方程组,求出的范围,根据根与系数的关系求出的中点坐标,求出的中垂线与轴的交点横,得出关于的函数,利用基本不等式得出的范围.【详解】(1)由题意可知,,.又,,,椭圆的方程为:.(2)若存在点,使得以,为邻边的平行四边形是菱形,则为线段的中垂线与轴的交点.设直线的方程为:,,,,,联立方程组,消元得:,△,又,故.由根与系数的关系可得,设的中点为,,则,,线段的中垂线方程为:,令可得,即.,故,当且仅当即时取等号,,且.的取值范围是,.【点睛】本题主要考查了椭圆的性质,考查直线与椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1)(2)32【解析】

利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值.【详解】(1)∵,,所以不等式的解集为,即为不等式的解集为,∴的解集为,即不等式的解集为,化简可得,不等式的解集为,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,当且仅当,等号成立,即,,时,等号成立,∴的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式的灵活运用;其中利用构造出和为定值即为定值是求解本题的关键;基本不等式取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.20、(1)见解析(2)见解析【解析】

(1)取的中点D,连结,.根据线面平行的判定定理即得;(2)先证,,和都是平面内的直线且交于点,由(1)得,再结合线面垂直的判定定理即得.【详解】(1)取的中点D,连结,.在中,P,D分别为,中点,,且.在直三棱柱中,,.Q为棱的中点,,且.,.四边形为平行四边形,从而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D为中点,.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【点睛】本题考查线面平行的判定定理,以及线面垂直的判定定理,难度不大.21、(1)证明见解析;(2)最小值为1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根据0<xy<1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】(1)证明:∵x,y,z均为正数,∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,当且仅当x=y=z时取等号.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.22、(1)见解析;(2)【解析】

分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.详解:(1)当时,等价于.设函数,则.当时

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