成果总结-把非线性前沿引入物理本科教学研究

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上一世纪初确立的量子力学和相对论，证明由牛顿创立的经典力学并不始终是正确的。在物质微观尺度上应当由量子力学取代，当物体的速度接近于光速时，则相对论是正确的。因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推动到超越经典的领域，因而量子力学和相对论被公认是物理学的或更准确地说是科学上的两次革命。非线性科学是在三十多年前刚进展起来的一个科学新分支。它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典打算论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析，进一步宣布了牛顿的经典打算论的局限性。在过去三十多年内，非线性始终是全部学科中进展最为快速的学科之一，并且其一系列新的讨论结果、结论、思索方式快速地渗透到了各个学科领域，从而引起在更大范围内的变革。因而，非线性科学的诞生和进展更有资格被称为科学上的一场革命。

面对科学上的进展形势，适应教学现代化的要求，我们快速地作出了反应。从上世纪90年月初开头，通过开设“非线性物理”选修课，准时地开展“把非线性科学的前沿进展引入本科物理教学”的课题讨论，并于1999年被列为省训练厅的重点教学科研课题。经过十多年的努力我们获得了本成果。

一、在教学实践中建立课程体系

本课题讨论的目标是力求为高等师范物理系及一般理工科高校设计一门关于非线性的选修课。盼望通过本课教学，使同学对近三十多年进展起来的非线性科学的基本讨论领域及基本理论有一个比较全面的整体熟悉，对非线性科学中的一些基本概念有比较正确的理解，学会用非线性的眼光去观看与分析事物。

然而，非线性科学是一门涵盖了各个学科内容的综合性学科。它不仅包括了数、理、化、生、天、地等自然科学，而且还扩展到水文、气象、医学、交通、农业，甚至金融、股市等经济与社会科学领域。因此如何将非线性科学引入到教学中乃是一个需要深化探讨的问题。我们留意到物理学在各自然科学中的基础学科地位，而且在非线性科学中，不论是它的进展历史，还是目前所讨论的内容，物理学中的一些非线性问题始终具有举足轻重的重量。而且物理学中的非线性问题和其它学科中的非线性问题是紧密相联系的，很多相邻学科的非线性讨论往往要借助肯定的物理模型来进行，因此我们认为通过讨论以物理学中的非线性问题为主来反映非线性学科内容相对来说合适的。为此我们将这门课程定名为“非线性物理”。

如何在一门教学课程内反映涉及面深广的非线性科学呢?经过本课题在省训练厅立项前的教学实践与立项后的反复深化探讨，我们遴选了非线性学科中有代表性的非线性动力学、分形与孤立子三个部分内容。就这三部分我们分成五章，以前三章系统地讲非线性动力学为主，在第四、五章中分别相对简要地叙述分形与孤立波的基本概念与分析方法。

在什么样的深度上叙述这门全新的非线性物理课呢?依据选修课在整个教学体系中的地位，依据一般理工科同学的学问基础，以及同学把握学问的熟悉规律，我们将课程的深度上限定在一般理工科同学的数学水平与一般物理学问上。使本门课程有机地与整体的教学方案连接起来。

二、编出有特色的教材

教材是进行教学的主要依据之一，但是国内没有一本适合我们进行教学的教材。而非线性学科内容包罗万象，它的很多重要结论来则自于非线性方程的数值计算，并且非线性体系中的一些现象与概念出乎人们原有的观念，隐含着浅显的数理理论，一般不易理解。由此打算了它缺乏适合教学上的严密系统性，教学上的难度很大，因此也迫切需要有一本系统性强的教材将各部分内容统一起来。我们在讨论工作中也着力抓了教材的编写工作。通过一段时间教学实践与教学阅历的积累，摸索到以典型的物理学问题或试验实例、数学方程、电子电路等为教学上的切入点，以同学能接受的深度，逐步深化地引入非线性物理学的各个新概念的教学方法，一般不对定理、定律去进行严格的数学论证，在此基础上解决与同学其他学问的连接，及教学内容的系统性问题。总之，在教学实践的基础上不断地修改与完善教材，力求使本教材达到重点突出，系统性强，深化浅出，与同学的学问水平相连接起来。

依据上述教学思路，我们确定从非线性振动基础讲起，然后绽开到数学分岔与惊奇吸引子、耗散系统与保守系统的混沌道路，再建立分形的概念与它的基本学问，接着举例说明动力学体系的分形特性与混沌和分形的关系，最终叙述孤立波。详细支配为第一章讲非线性振动初步，介绍非线性振动的基础学问与分析方法，这是非线性动力学的引论。第二章在简要介绍几个简洁数学分岔之后，以平方映射和洛伦兹方程为例，叙述微分方程解的分岔及其稳定性，接着在分析对初值敏感性的基础上，引入李雅普诺夫指数与惊奇吸引子。第三章讲混沌道路，先讲三种常见的混沌道路，即倍周期分岔、阵发混沌与准周期道路，并以单摆为例，比较具体地分析受驱阻尼单摆的各种简单运动形式。保守系统中的不规章运动被认为是非线性动力学中的精髓，我们从作用-角度变量入手，扼要地分析了保守系统中各种不规章运动。接着讲电子电路中的混沌，因为很多动力学试验可以用电子电路来模拟，微分方程中的混沌问题也可以采纳电子电路来实现，混沌通信则要通过电子电路来完成。第四章的分形内容分三节介绍，在简要介绍不同分形维数的定义及其应用对象，分形生长后，着重介绍了分形在分析动力学体系中的应用，使同学看到非线性动力学中的惊奇吸引子、吸引域边界、魔梯等等均具有分形体特征。熟悉到混沌是分形的，混沌与分形是密不行分的。孤立波被人们看作为自然界里的一种相干结构，要让同学建立这样一种观点，即混沌是非线系统中高度无序状态，而相干结构则是非线性系统中的惊人有序性，混沌与孤立波两者相互对立、又有内在联系，这是第五章的内容。这章用三节分别介绍有代表性的三种孤立波方程，即：KdV方程、正弦高登方程与非线性薛定谔方程。在对非线性薛定谔方程介绍中，加进了具有奇妙应用前景的光学孤立波通信内容，使同学从一个侧面了解孤立波讨论的实际意义及重要的应用价值。

三、几项相关讨论工作

1.开展适当学术讨论工作

为把学科进展的前沿引入课堂教学，老师自身必需要对非线性科学的理论有足够深的了解。但是面对非线性科学非常快速进展，文献资料浩如烟海，单纯从阅读资料着手困难重重。我们就在阅读文献资料的同时开展肯定的非线性讨论工作，以此来充实自身在理论上的、试验上的与感性上的学问。

讨论工作分两类：一类为基础性的讨论。我们主要讨论了冷却原子在电磁场中运动的混沌行为，属量子混沌。共完成论文四篇，它们分别在《原子与分子物理学报》(1999年No.5，2000年No.1)与《安徽师范高校学报》(2000年No.4，2022年No.1)等刊物上发表。

另一类为教学型讨论。我们分别用电子电路与计算机模拟的方法，讨论弹性小球在运动桌面上的弹跳运动和弱非线性单摆的摇摆等讨论。其讨论成果分别在《高校物理》(1998年No.8)与《安徽师范高校学报》(1997年No.3)等刊物上发表。

通过讨论不仅加深了对于非线性前沿进展的了解，而且对非线性学科中的一些基本概念、定律有了更深刻的理解。其中部分讨论成果编进了教材，从而丰富了教学内容。

2.编写计算机教学演示程序

如上所述，计算技术的进展为非线性科学的进展起了重要的推动作用，非线性讨论中的一些重要结论也有赖于计算的结果。为了显示其中的一些典型结果，编制了五个Qbasic计算机运行程序。这些程序可以教学中演示，同学也可在课后依据所给程序在可感爱好的参数范围内运行，既有利于提高学习爱好，有利于培育同学计算技术的综合运用力量，加深对基本概念的理解。五个计算机程序为

①平方映射分岔程序;

②单摇摆力学分岔程序;

③平方映射的李雅普诺夫指数计算程序;

④埃侬映射的李雅普诺夫指数计算程序;

⑤曼德布罗特集计算程序。

3.运用多媒体进行教学

在确立课程体系的同时，进行教学方法探讨。除一般课堂外，还制作全部课程的电子课件，进行多媒体教学。由于很多重要结果与概念来自对非线性系统的烦琐数学推导，而推导过程并不是最重要的，重要的是计算所得到的结果。采纳电子课件讲课既可呈现计算过程，又便于突现计算结果，建立概念，主次分明。

此外，用电子课件的画面图像，它们的颜色以及动感，可增加课堂教学的直观性与趣味性，也有利于对问题的理解。尤其是利用计算机演示分岔、分形图像等计算程序时，在屏幕上的显示出其动态变化过程，并可当时演示出计算结果，同学特别信服，教学效果更好。

四、成果推广与巩固

1.巩固讨论成果

从立项前的工作算起，我们的“非线性物理课”开设已有十年的历史。十年来，我们在教学实践中不断探究前进，建设起一门比较成熟的能反映非线性这门新学科进展的选修课程。现在，我校物理与电子信息学院已将“非线性物理课”列为必选课程，并将长期地开设下去。而且，年轻的崔执凤教授(学院副院长)，将接替这门课程的连续教学与讨论，保证了今后本门课程在教学实践中进一步进展与完善。

2.成果推广

1996年，我们曾在物理学核心期刊《高校物理》杂志上发表了一篇“谈谈非线性物理课的开设”的文章，文章发表