2024年中考数学几何模型24专题专题01 手拉手模型含解析

中考数学几何模型24专题专题01手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：→△ACD≌△BCE（SAS）（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N：结论二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD证明：→△ACN≌△BCM（SAS）；→△MCE≌△NCD（ASA）（3）连接MN：结论三：△MNC是等边三角形．证明：→△MCN是等边三角形．（4）记AD、BE交点为P，连接PC：结论四：PC平分∠BPD证明：△BCE≌△ACD→CG=CH→PC平分∠BPD．

（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．（6）连接AE：结论六：P点是△ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）正方形手拉手如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG：结论一：△BCE≌△DCG证明：→△BCE≌△DCG（SAS）结论二：BE=DG，BE⊥DG证明：△BCE≌△DCG→BE=DG；∠CBE＝∠CDG→∠DHB=∠BCD=90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样；设计二：如果题目已知△ABC≌△ADE外，则还可得△ABD和△ACE均为等腰三角形，且有△ABD∽△ACE，．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形的边长为4，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4例二：如图，点在等边的内部，且，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为．例三：如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为．例四：如图，等边三角形内有一点，分別连结、、，若，，．则．例五：如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为A． B． C． D．例六：在Rt△ABC中，AB=AC，点P是三角形内一点且∠APB=135°，，AC的最大值为_________．三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①；②直线与所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为．2．（2021•贵港）已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到，连接，．（1）如图1，当且时，则与满足的数量关系是；（2）如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长到点，使，连接，当，时，求的长．3．（2021•黑龙江）在等腰中，，是直角三角形，，，连接、，点是的中点，连接．（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：；（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点落在边上时，如图②所示，当，点在边上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．4．（2021•通辽）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如图1，连接，，求证：；（2）将绕点顺时针旋转．①如图2，当点恰好在边上时，求证：；②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．5．（2021•十堰）已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连．（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点、在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点、分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．6．（2020•沈阳）在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．（1）如图1，当时，①求证：；②求的度数；（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系．（3）当时，若，，请直接写出点到的距离为或．专题01手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：→△ACD≌△BCE（SAS）（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N：结论二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD证明：→△ACN≌△BCM（SAS）；→△MCE≌△NCD（ASA）（3）连接MN：结论三：△MNC是等边三角形．证明：→△MCN是等边三角形．（4）记AD、BE交点为P，连接PC：结论四：PC平分∠BPD证明：△BCE≌△ACD→CG=CH→PC平分∠BPD．

（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．（6）连接AE：结论六：P点是△ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）正方形手拉手如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG：结论一：△BCE≌△DCG证明：→△BCE≌△DCG（SAS）结论二：BE=DG，BE⊥DG证明：△BCE≌△DCG→BE=DG；∠CBE＝∠CDG→∠DHB=∠BCD=90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样；设计二：如果题目已知△ABC≌△ADE外，则还可得△ABD和△ACE均为等腰三角形，且有△ABD∽△ACE，．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形的边长为4，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】等边三角形中的旋转型全等连接OB、OC，易证△OBD≌△OCE，∴OD=OE，结论①正确；考虑∠FOG是可以旋转的，△ODE面积和△BDE面积并非始终相等，故结论②错误；∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积等于△OBC的面积，，故结论③正确；考虑BD=CE，∴BD+BE=CE+BE=4，只要DE最小，△BDE周长就最小，△ODE是顶角为120°的等腰三角形，故OD最小，DE便最小，当OD⊥AB时，OD取到最小值，此时，∴周长最小值为6，故结论④正确．综上，选C，正确的有①③④．【小结】所谓全等，实际就是将△ODB绕点O旋转到△OEC的位置．等等，好像和某个图有点神似，如下：当然这个图形还可以简化一下，毕竟和D点及F点并没有什么关系．结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转．例二：如图，点在等边的内部，且，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为．【分析】连接，则是等边三角形，故，易证△CPB≌，∴，又AP=8，∴是直角三角形，∴．例三：如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为．【分析】分四边形为三角形．连接PQ，易证△APQ是等边三角形，△BPQ是直角三角形，，，∴四边形APBQ的面积为．例四：如图，等边三角形内有一点，分別连结、、，若，，．则．【分析】构造旋转．如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，可得△AEP是直角三角形，△BEP是等边三角形，,所以本题答案为．搭配一：若，则可任意旋转，得等边+直角．且两条较短边夹角（∠APB）为150°．搭配二：若∠APB=150°，则有．例五：如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为A． B． C． D．【分析】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．法一：如图，将三个小三角形面积分别考虑到△ABC是等边三角形，可将△APB旋转到△ADC位置，可得：，同理可得：，，∴，∴，故选A．法二：如图，易证∠APB=150°，过点A作BP的垂线交BP延长线于点H，则，，，．【思考】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？作旋转之后，可得△AEP是等腰直角三角形，若使△PEB也为直角三角形，则原∠APD=135°，而线段PA、PB、PD之间的关系为：．搭配一：若∠APD=135°，则；搭配二：若，则∠APD=135°．另外，其实这个图和点C并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形．大概如下图：抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式．例六：在Rt△ABC中，AB=AC，点P是三角形内一点且∠APB=135°，，AC的最大值为_________．【分析】显然根据∠APB=135，构造旋转．可得：△APQ是等腰直角三角形，△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，另外还有条件．重新梳理下条件，（1）有一条线段，（2）∠PQC=90°，则Q点轨迹是个圆弧，（3）以PQ为斜边在PC异侧作等腰直角三角形，点A是直角顶点．∴A点轨迹是什么？瓜豆原理啦，也是个圆弧：∴AC的最大值为．三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①；②直线与所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为．【解答】解：（1）如图1，，，，，如图2，设与交于点，与交于点，绕点按逆时针方向旋转，，，，，又，，直线与所夹锐角的度数为，故答案为：，；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设与交于点，与交于点，将绕点按逆时针方向旋转，，又，，，，又，，直线与所夹锐角的度数为．拓展延伸：如图4，当点在的上方时，过点作于，，，点是边的中点，，，，，，，，、、三点共线，，，，，由（2）可得：，，，的面积；如图5，当点在的下方时，过点作，交的延长线于，同理可求：的面积；故答案为：或．2．（2021•贵港）已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到，连接，．（1）如图1，当且时，则与满足的数量关系是；（2）如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长到点，使，连接，当，时，求的长．【解答】解：（1）结论：．理由：如图1中，，，，，，，，，，，．（2）结论成立．理由：如图2中，，，，，，，，，．（3）如图3中，由旋转的性质可知，，，，，，，，，，，，，．3．（2021•黑龙江）在等腰中，，是直角三角形，，，连接、，点是的中点，连接．（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：；（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点落在边上时，如图②所示，当，点在边上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图①中，，，，，，，，，，，，垂直平分线段，，．（2）解：如图②中，结论：．理由：取的中点，连接，，，交于点．，，，，垂直平分线段，，，，，，，，，，，，，，，，，．如图③中，结论：．理由：取的中点，连接，．，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．4．（2021•通辽）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如图1，连接，，求证：；（2）将绕点顺时针旋转．①如图2，当点恰好在边上时，求证：；②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．【解答】（1）证明：，，即，和都是等腰直角三角形，，，，；（2）①证明：连接，，，即，和都是等腰直角三角形，，，，，，，，都是等腰直角三角形，，；②解：如图3，当点在线段上时，连接，设，由（1）可知，可得且，在中，，和都是等腰直角三角形，，，，，，解得：，，如图4，当点在线段上时，连接，设，由（1）可知，可得且，在中，，和都是等腰直角三角形，，，，，，解得：，，综上所述，线段的长为或．5．（2021•十堰）已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连．（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点、在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点、分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．【解答】解：（1）在等边中，，，由旋转可得，，，，，即，，．（2）在等边中，，，由旋转可得，，，，，即，，，；，，，，，，，，，即平分，且点是的中点，即直线垂直平分线段．（3）①当点在直线上方时，如图所示，延长交于点，过点作于点，由题意可得，，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，，即，解得或．即的长为或．②当点在直线下方时，如图所示，设交于点，过点作于点，由题意可得，，，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，，即，解得负值舍去）．综上可得，的长为：或或．6．（2020•沈阳）在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．（1）如图1，当时，①求证：；②求的度数；（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系．（3）当时，若，，请直接写出点到的距离为．【解答】（1）①证明：如图1中，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，，，，，，是等边三角形，，，，，，．②解：如图1中，设交于点．，，，，即．（2）解：结论：．理由：如图2中，，，，，，，，，，，．（3）过点作于，过点作交的延长线于．如图中，当是钝角三角形时，在中，，，，，，，，由（2）可知，，，，，如图中，当是锐角三角形时，同法可得，，，综上所述，满足条件的的值为或．故答案为或．专题02半角模型一、方法突破90°+45°模型．如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°连接EF．【两个基本结论】结论1：EF=BE+DF．证明：延长CD至点G使得DG=BE【截长】易证：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易证：△AFE≌△AFG（SAS）→EF=GF综上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．若E、F分别在CB、DC延长线上时，结论变为：EF=DF-BE．

证明：在DC上取点G使得DG=BE【补短】易证：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易证：△AEF≌△AGF（SAS）→EF=GF综上：EF=GF=DF-DG=DF-BE【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角．此处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补．正方形可满足一切你所想．结论2：连接BD，与AE、AF分别交于M、N，则：．证明：构造△ADM’≌△ABM→AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’易证：△AMN≌△AM’N（SAS）→MN=M’N易证：△M’DN是直角三角形→→．

【其他结论】结论3：若，则点F是CD边中点．反之亦然．结论4：过点A作AH⊥EF交EF于H点，则△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF．另外还可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE．结论5：A、B、E、N四点共圆，A、D、F、M四点共圆．证明：∠EAN=∠EBN=45°，∴A、B、E、N四点共圆．同理可证A、D、F、M四点共圆．另外还可得：连接EN、MF，可得△AEN、△AMF是等腰直角三角形．结论6：M、N、F、E四点共圆．证明：∵∠MEF=∠MFN，∴M、N、F、E四点共圆．结论7：△AMN∽△AFE．且．由构图3可得∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE．可得△AMN∽△AFE．结论8：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA．结论9：连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且．【思考】对于以上9个结论，在正方形中，有哪些作为条件能推出∠EAF=45°的？【小结】从结论5开始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作为题型出现，了解下图形的更多性质有时候能帮上大忙．在这里除了给的∠EAF=45°外，正方形对角线也会形成其他45°角，多组相等角总能撞出些火花．

120°+60°模型（1）如图，△ABC是等边三角形，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直线AB、AC上且∠EDF=60°结论：EF=BE+CF证明：延长AC至点G使得CG=BE，易证：△DBE≌△DCG（SAS）→DE=DG，∠FDG=∠FDE=60°易证：△DFE≌△DFG（SAS）→EF=GF综上：EF=GF=GC+CF=BE+CF（2）若点F在AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系？二、典例精析例一：如图，正方形的边长为2，点，分别在边，上，若，则的周长等于．例二：已知如图，在正方形中，，，分别是，上的一点，且，，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点作，交于点，则以下结论：①，②，③，④中正确的是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④例三：如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为；④若CF=FG，则；⑤．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）三、中考真题演练1．如图，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长到点，使，连接；（2）证明：．2．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系；（2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇与指挥中心之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离；（4）能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点、在边上，且，若，，试求出的长．3．小明、小亮在共同学习的过程中经常会遇到一类几何问题：两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点，他们称之“半角问题”；常见的半角模型是含，含．问题背景：（1）如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小明的探究思路是：延长到，使，连接，先证明，再证明．小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种变换的过程可以由绕点逆时针旋转得到．（不需要证明）拓展研究：（2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系？写出证明过程．（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于．4．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．5．【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角存在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”．【模型探究】（1）如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形中，，，，且，，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于13．（4）如图4，正方形中，的顶点、分别在、边上，，且，连接分别交、于点，若，，，求、的长．（5）如图5，在菱形中，，点、分别是边、上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边、交于、，当时，求证：．6．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．拓展如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是．请证明你的结论．实际应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离是海里（直接写出答案）．7．已知如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论““，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．专题02半角模型一、方法突破90°+45°模型．如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°连接EF．【两个基本结论】结论1：EF=BE+DF．证明：延长CD至点G使得DG=BE【截长】易证：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易证：△AFE≌△AFG（SAS）→EF=GF综上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．若E、F分别在CB、DC延长线上时，结论变为：EF=DF-BE．

证明：在DC上取点G使得DG=BE【补短】易证：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易证：△AEF≌△AGF（SAS）→EF=GF综上：EF=GF=DF-DG=DF-BE【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角．此处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补．正方形可满足一切你所想．结论2：连接BD，与AE、AF分别交于M、N，则：．证明：构造△ADM’≌△ABM→AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’易证：△AMN≌△AM’N（SAS）→MN=M’N易证：△M’DN是直角三角形→→．

【其他结论】结论3：若，则点F是CD边中点．反之亦然．结论4：过点A作AH⊥EF交EF于H点，则△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF．另外还可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE．结论5：A、B、E、N四点共圆，A、D、F、M四点共圆．证明：∠EAN=∠EBN=45°，∴A、B、E、N四点共圆．同理可证A、D、F、M四点共圆．另外还可得：连接EN、MF，可得△AEN、△AMF是等腰直角三角形．结论6：M、N、F、E四点共圆．证明：∵∠MEF=∠MFN，∴M、N、F、E四点共圆．结论7：△AMN∽△AFE．且．由构图3可得∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE．可得△AMN∽△AFE．结论8：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA．结论9：连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且．【思考】对于以上9个结论，在正方形中，有哪些作为条件能推出∠EAF=45°的？【小结】从结论5开始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作为题型出现，了解下图形的更多性质有时候能帮上大忙．在这里除了给的∠EAF=45°外，正方形对角线也会形成其他45°角，多组相等角总能撞出些火花．

120°+60°模型（1）如图，△ABC是等边三角形，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直线AB、AC上且∠EDF=60°结论：EF=BE+CF证明：延长AC至点G使得CG=BE，易证：△DBE≌△DCG（SAS）→DE=DG，∠FDG=∠FDE=60°易证：△DFE≌△DFG（SAS）→EF=GF综上：EF=GF=GC+CF=BE+CF（2）若点F在AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系？二、典例精析例一：如图，正方形的边长为2，点，分别在边，上，若，则的周长等于．【分析】半角模型．根据半角模型结论可知EF=AE+CF，∴△EDF的周长等于DA+DC=4，故△EDF的周长为4．例二：已知如图，在正方形中，，，分别是，上的一点，且，，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点作，交于点，则以下结论：①，②，③，④中正确的是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【分析】半角模型结论①显然正确；设BF=x，则EF=3+x，CF=4-x，勾股定理得：，解得：，故结论②正确；，故结论③错误；∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，且，，∴，故结论④正确；综上所述，选D．例三：如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为；④若CF=FG，则；⑤．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）【分析】半角模型．结论①正确，易证△ADE≌△AFE，△AFG≌△ABG，∴．结论②正确，若，则G是BC中点，GC=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∠CFG+∠GFC=∠FGB，∴∠GFC=∠FGA，∴AG∥CF．结论③错误，∠FGB=2∠FGA，∴∠FGC=∠FGA，∴AG∥CF．若E为CD中点，则，，有，∴．结论④正确，若GF=FC，则DE=BG，不妨设DE=BG=x，则GE=2x，，由△ECG是等腰直角三角形，可得：，解得：．结论⑤正确，正方形面积是，是五边形ABGED的面积，故证明△GEC面积为即可．设BG=m，DE=n，则EG=m+n，CG=a-m，CE=a-n，根据勾股定理可得：，化简得：，∴．综上所述，正确的是①②④⑤．三、中考真题演练1．如图，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长到点，使，连接；（2）证明：．【解答】解：（1）与可以看作绕点旋转的关系．延长到点，使，连接，故答案为：；（2）证明：由（1）得，，，，，，四边形为正方形，，，，，在和中，，，，，．2．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系；（2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇与指挥中心之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离；（4）能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点、在边上，且，若，，试求出的长．【解答】解：（1）如图1，，理由如下：在和中，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即．理由：延长到点．使．连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）如图3，连接，延长、相交于点，，，，，，符合探索延伸中的条件，结论成立，即（海里）．此时两舰艇之间的距离为210海里．（4）能力提高如图4，作，使，连接，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，在中，，．3．小明、小亮在共同学习的过程中经常会遇到一类几何问题：两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点，他们称之“半角问题”；常见的半角模型是含，含．问题背景：（1）如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小明的探究思路是：延长到，使，连接，先证明，再证明．小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种变换的过程可以由绕点逆时针旋转得到．（不需要证明）拓展研究：（2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系？写出证明过程．（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于．【解答】解：（1）从图形看，可以由绕点逆时针旋转得到，故答案为：可以由绕点逆时针旋转得到；（2）结论：，理由是：如图2，延长到，使，连接．，，，在与中，，，，，．．又，，．．；（3）在上截取，，，，，，；，，；是与的公共边，，；，．的周长，故答案为：13．4．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：由旋转可得，，，四边形为正方形，，，，，在和中，，，；（2）解：，证明如