2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题22 网格中求正弦三方法含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题22网格中求正弦三方法【法一讲解】转移角后求正弦如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（

）A． B． C． D．解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，则，，，∵，，∴，∴，在中，，由题意知，，∴，∴，∴，故选：【法二讲解】等面积法求正弦如图，在网格中，小正方形的边长为1，点都在格点上，则的值为（

）A． B． C． D．解：过点B作于点D，连接BC，如下图，∵小正方形的边长为1，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【法三讲解】构造直角三角形求正弦如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（

）A． B． C． D．解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，则，∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又∴sin∠A=＝故选：C【综合演练】1．正方形网格中，如图放置，则的值为（）A． B． C．1 D．2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（

）A．1 B． C． D．3．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则是（

）A． B． C． D．4．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，则的值为（

）A． B． C． D．5．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sinB的值为（

）A． B． C． D．6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则（

）A． B． C． D．7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是（

）A． B． C． D．8．在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠BAC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共0分)9．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝_______．10．如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则__________．11．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__．12．如图的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为_________．13．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为_________．14．如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为______．15．如图是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，直线AB经过格点P，并把图形分成上下两个面积相等的两部分，则sin∠BAC=_________．16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为______．17．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是_______．专题22网格中求正弦三方法【法一讲解】转移角后求正弦如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（

）A． B． C． D．解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，则，，，∵，，∴，∴，在中，，由题意知，，∴，∴，∴，故选：【法二讲解】等面积法求正弦如图，在网格中，小正方形的边长为1，点都在格点上，则的值为（

）A． B． C． D．解：过点B作于点D，连接BC，如下图，∵小正方形的边长为1，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【法三讲解】构造直角三角形求正弦如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（

）A． B． C． D．解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，则，∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又∴sin∠A=＝故选：C【综合演练】1．正方形网格中，如图放置，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】连接根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．【详解】如图，连接，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到：，，在中，由等腰三角形三线合一得：，则，∴，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，根据网格的特点证明是等腰直角三角形，进而即可求解．【详解】，，，，是等腰直角三角形，，，sin∠ADC，故选D．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理与网格，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将∠ADC转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可．【详解】延长CD交正方形的另一个顶点为E，连接BE，如下图所示：由题意可知：∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，根据正方形小格的边长及勾股定理可得：BE=，BD=，∴在Rt△BDE中，，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到角所在的直角三角形，利用正弦函数值的定义进行求解，是解决本题的关键．4．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，过点A作于点D，在中求出即可．【详解】解：如图，过点A作于点D，，，，设，则在中，，AB=5，在，‘，即：解得，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在网格中利用勾股定理求线段的长，求角的正弦值，作BC上的高是解决本题的关键．5．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sinB的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用面积法求得AB上的高CD的长，根据三角形函数的定义求解．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，AB=2，BC=，∵S△ADC=×3×2=×2×CD，∴CD=，∴sinB=，故选：B．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理，关键是利用面积法求得AB上的高CD的长．6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点A作AF⊥CD于F，根据勾股定理求出AB、CD的长度，由等积法求出AF，由△CEA∽△DEB求出AE，根据正弦的定义求出即可．【详解】解：如图，过点A作AF⊥CD于F，在Rt△ADB中，BD＝3，AD＝3，由勾股定理得：AB＝在Rt△CAD中，AC＝1，AD＝3，由勾股定理得：CD＝，∵，∴解得：AF＝∵ACBD，∴∠ACE＝∠BDE，∠CAE＝∠DBE∴△CEA∽△DEB，∴∴∴AE＝∴sin∠AEC＝故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接AO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股定理求出AD，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，∵AD是⊙O的直径∴∠ADB＝90°由勾股定理得：AD＝，∵∠ACB＝∠ADB，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、圆周角定理、解直角三角形，正确作出辅助线、根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB是解题的关键．8．在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠BAC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出△ABC的面积，以及利用勾股定理求出，，利用面积法求出，进而求解即可．【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，由题意得：，，，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造直角三角形．9．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝_______．【答案】##【分析】构造直角三角形BCE，使顶点E在格点上，一个锐角∠CBE正好等于∠AOB，求出sin∠CBE即可.【详解】解：如图，由图可知，，，∴，而，，，，∴，∴，故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键构造格点直角三角形.10．如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则__________．【答案】【分析】在网格中找到格点M，证明CM平分∠ACB，再求∠ACM的正弦值即可．【详解】解：如图：连接格点MA，由图可知，∠MAC=90°，作MN⊥BC，垂足为N，连接BM，，，，，∵，∴，∴MN=，∴MN=AM，∴∠ACM=，；故答案为：【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值，勾股定理，解题关键是找到恰当的网格点，平分∠ACB，并且能够构建直角三角形，求三角函数值．11．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__．【答案】．【分析】连接BC,构造直角三角形ABC,由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质,得出∠BCD=α=30°,∠ABC=90°,从而α+β=∠ACB,分别求出△ABC的边长，【详解】如图,连接BC,∵上图是由10个小正三角形构造成的网格图,∴任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形,∴∠BCD＝α＝30°,∠ABC＝90°,∴α+β＝∠ACB,∵每个小正三角形的边长均为1,∴AB＝2,在Rt△DBC中,,∴BC＝,∴在Rt△ABC中,AC＝,∴sin（α+β）＝sin∠ACB＝,故答案为:．【点睛】本题考查了构造直角三角形求三角函数值,解决本题的关键是要正确作出辅助线,明确正弦函数的定义.12．如图的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为_________．【答案】【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，求出AC，再利用面积法求出AH，再利用正弦的定义计算即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．由图可知：AB=2，BC==5，AC=，∴S△ABC=，∴AH=，∴sin∠ACB===，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为_________．【答案】##【分析】如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，可得∠C=∠AEC=，设小正方形的边长为1，然后根据勾股定理逆定理可得△CDF是等腰直角三角形，从而得到∠C=45°，即可求解．【详解】如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，∵CF∥AB，∴∠C==∠AEC=，设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得，，，,∴，DF=CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∴，∴夹角的正弦值为，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，根据题意作适当辅助线构造出直角三角形是解题的关键．14．如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为______．【答案】##0.6【分析】根据圆周角定理得出∠BCD=∠BAD，在网格中利用勾股定理可得AB，利用等角的正弦值相同即可得出结果．【详解】解：由图可得∠BCD=∠BAD，在∆ABD中，AD=4，BD=3，∴AB=，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理、解三角形及正弦的定义，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点求解．15．如图是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，直线AB经过格点P，并把图形分成上下两个面积相等的两部分，则sin∠BAC=_________．【答案】【分析】如图，设AQ＝x，BJ＝y，设小正方形的边长为1．构建方程组，求出x，y，再利用勾股定理求出AB，可得结论．【详解】解：如图，设AQ＝x，BJ＝y，设小正方形的边长为1．∵PJ∥AC，∴∵∴∴＝，∴＝①，又∵•（y+1）•（3+x）＝②，由①②，可得y＝，x＝，∴AC＝3+＝，BC＝1+＝，∴AB＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为______．【答案】【分析】如图，过点B向AO作垂线交点为C，勾股定理求出，的值，求出的长，求出值即可．【详解】解：如图，过点B向AO作垂线交点为C，O到AB的距离为h∵，，，∴故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理．解题的关键是表示出所需线段长．17．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是_______．【答案】##【分析】根据题意过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义即可求出∠ABC的正弦值．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．，∵AC•BD=AB•CE，即×2×3=×3•CE，∴CE=，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．专题23网格中求正切【法一】构造直角三角形求如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则________．【详解】解：连接BC，由勾股定理可知：，，，∵，∴，∴为直角三角形，∴，故答案为：2．【法二】转移角后再求如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（

）A．3 B．2 C．2 D．【详解】：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故选：A．【法三】等面积法求如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则的值是______．解：作交于点C，由图可知：，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：【综合演练】1．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（

）A． B．1 C． D．2．如图，格点A、B在圆心也在格点上的圆上，则tanC的值为（）A． B．1 C．2 D．3．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（

）A． B． C．2 D．4．如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（

）A． B． C． D．15．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值为（

）A．3 B． C．2 D．6．如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（

）A． B． C． D．7．如图，点、、在正方形网格的格点上，则（

）A．1 B． C． D．8．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是_____．9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______．

10．如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为______．11．如图为两个边长为1的正方形组成的格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则_________．12．如图所示，在的网格中，每个小正方形的边长为l，线段AB、CD的端点均为格点．若AB与CD所夹锐角为，则______．13．在如图所示的正方形网格中，点A，B，P是网格线交点上，则________．14．如图是一个5×6的正方形网格，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值为________．15．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为一边的等腰△ABC，点C在小正方形的顶点上，且满足；(2)在方格纸中画出□ABDE，使点D和点E均在小正方形的顶点上，且面积为7．连接CD，请直接写出线段CD的长．16．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图．(1)如图①中，找格点C，使得AB＝BC，∠ABC＝90°；(2)在图②中找点D作∠DAB使得tan∠DAB＝．17．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB，CD的端点均在小正方形的顶点上．(1)在此方格纸中画出以AB为边的正方形ABMN，该正方形的周长为______；(2)在此方格纸中画出以CD为腰的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，且，此时，______．专题23网格中求正切【法一】构造直角三角形求如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则________．【详解】解：连接BC，由勾股定理可知：，，，∵，∴，∴为直角三角形，∴，故答案为：2．【法二】转移角后再求如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（

）A．3 B．2 C．2 D．【详解】：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故选：A．【法三】等面积法求如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则的值是______．解：作交于点C，由图可知：，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：【综合演练】1．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】如图所示，过点C作于H，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作于H，设网格小正方形边长为1，由题意得，∴，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了求正切，勾股定理，三角形面积，正确求出的长是解题的关键．2．如图，格点A、B在圆心也在格点上的圆上，则tanC的值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，根据圆周角定理知∠ACB=∠ADB，再由勾股定理知AD=AB=，继而得∠ACB=∠ADB=45°，即可得出答案．【详解】解：如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，则∠ACB＝∠ADB，∠DAB＝90°，∵AD＝AB＝，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴的值为1，故选：B．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定．3．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．【详解】解：如图，取网格点D，连接BD，由网格图，可得：，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．4．如图，的顶点在正方形网格的格点处，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求CD、BD、BC，再根据三角函数的意义可求出tanC的值．【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．5．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】连接格点EF、FG，得到AB∥EF和Rt△EFG．先利用直角三角形的边角间关系求出∠FEG的正切，再得到∠BOD的正切值．【详解】解：如图，连接格点EF、FG，EF=，FG=，EG=，∵，∴，则△EFG是直角三角形．∵AB∥EF，∴∠FEG=∠DOB．在Rt△EFG中，∵EG=，FG=，∴tan∠DOB=tan∠FEG=3．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，连接格点EF、FG，利用平行线的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．6．如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取格点D，连接BD，可得BD⊥AC，根据格点和勾股定理先求出AD、BD，最后求出∠BAC的正切．【详解】解：如图，取格点D，连接BD，由格点图可以得出，BD⊥AC，由格点三角形可得：，，∴，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．7．如图，点、、在正方形网格的格点上，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据网格所示信息，求出△ABC的三边，判断出∠BCA为直角，利用三角函数的定义解答．【详解】解：由图可知：AB=，AC=，BC=，满足AC2+BC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴tan∠ABC==1，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正切为对边比邻边．8．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是_____．【答案】【分析】设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，过C作CF⊥BD于F，根据三角形的面积得出，求出CF，根据勾股定理求出EF，再解直角三角形求出答案即可．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，∵，∴∴，由勾股定理得：，，，则，，过C作CF⊥BD于F，∵△BCD的面积，∴△DCE的面积为，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______．

【答案】1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．【详解】解：连接AB，由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，∴AB＝AO，，∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，∴，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．10．如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为______．【答案】【分析】根据平行线的性质，证明，继而求得，的长，勾股定理求得的长，根据，根据正切的定义即可求解．【详解】如图，过点作，交于点，中，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，格点与勾股定理，求正切，构造直角三角形求正切是解题的关键．11．如图为两个边长为1的正方形组成的格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则_________．【答案】3【分析】如图，过点D作DH⊥BP于点H，根据勾股定理计算CD、AB的值，再根据三角形面积公式计算出DH的长，由BC∥AD可得△APD∽△BPC，利用相似比可得PD=2PC，根据CD的长计算PD的长，在Rt△PHD中，根据勾股定理计算PH的长，最后利用正切的定义求解．【详解】解：如图，过点D作DH⊥BP于点H，∵正方形边长为1，∴AD=2，在Rt△BCD中，，在Rt△ABD中，，∵，∴，∵BC∥AD，，∴△APD∽△BPC，∴，∴DP=2PC，∴，在Rt△PHD中，，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理和锐角三角函数求值，解题的关键是做出辅助线，注意转化思想和数形结合思想．12．如图所示，在的网格中，每个小正方形的边长为l，线段AB、CD的端点均为格点．若AB与CD所夹锐角为，则______．【答案】【分析】找一格点E，使得CE∥AB，再过点E作EF⊥CD于点G，使另一格点为F，由△DEG∽△FED的比例线段求得EG、DG，进而得CG，再计算∠ECG的正切值，便是的值．【详解】取一格点E，使得CE∥AB，再过点E作EF⊥CD于点G，使另一格点为F，如图所示，∵∠EDF=∠EGD=90°，∠GED=∠FED,∴△DEG∽△FED,∴,即，∴,∴,∴,∵CE∥AB,∴,∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，关键是正确构造直角三角形．13．在如图所示的正方形网格中，点A，B，P是网格线交点上，则________．【答案】1【分析】取网格上的点C、D、E，连接CP、BC；利用全等三角形的性质和平行线性质求得∠CPB=∠PAB+∠PBA；再利用勾股定理及其逆定理求得∠PCB=90°，便可解答；【详解】解：如图，点C、D、E是网格线交点，连接CP、BC，由图可得△APE≌△PCD（SSS），∴∠CPD=∠PAE，PDAB，∴∠DPB=∠PBA，∴∠CPB=∠PAB+∠PBA；设小网格的边长为a，由勾股定理可得：PC==BC，PB=，∵，∴∠PCB=90°，∴tan（∠PAB+∠PBA）=tan∠CPB==1，故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，正切三角函数；结合图形构造直角三角形是解题关键．14．如图是一个5×6的正方形网格，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值为________．【答案】##4【分析】取格点F，连接CF，通过说明△CGF∽△FHB，能够得到∠CFP＝90°；设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理求得线段BE，CF，BF的长；由DEBC得出△PED∽△PBC，利用对应边成比例求得线段PB，进而得到线段PF，在Rt△CFP中，结论可求．【详解】解：取格点F，连接CF，如图，∵，，∴∵∠CGF＝∠FHB＝9