2024年高考考前信息必刷卷三（新高考新题型）数学及答案

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）03数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023年的对于三视图的考察也将近有尾声，留意的是立体几何中对圆锥的考察（侧面积的计算也会成其他的题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。应特别注意新高考函数位于第一大题的位置，其难度有所下降，函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存在问题，新高考概率位于第二大题的位置，概率中多研究条件概率、古典概率问题，同时注重圆锥曲线常规联立及二级结论（推导）第I卷（选择题）8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：学生的编号i数学成绩x12345100105908580地理成绩y75■686462y0.45x27.6现已知其线性回归方程为A．76，则“■”代表该生的地理成绩为（）B．74.85C．73D．72.52．已知点P是ABC的重心，则AP（）1162316131A．APABACB．D．APABAC4241C．APACBCAPABBC3310a571216，则（3．在等比数列a中，a2a479）nA．-4B．8C．-16D．164．下列说法中正确的是（）A．没有公共点的两条直线是异面直线B．若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则a//bC．若平面α，β，γ满足，，则D．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若a，b，ab，则5．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（）A．480B．270C．240D．606．已知函数fx2x2，若不等式fax1fx0在xa上恒成立，则实数的取值范围是（）22e,B．,D．,A．C．e7．已知x1x1501xa2x23x3ax4ax5ax，则6a+a的值为（13）456A．1B．1C．4D．2x22y228F,F分别是椭圆C:ab0)2作x轴的垂线与椭圆C在第一象限12ab的交点为P，若1的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（）231333-551A．B．C．D．22223小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．π9“五点法”作函数fxAsinxφB（A00，，2yfx描述正确的是（了部分数据，下列有关函数）π3πx0π2π22π5πxabc36fx131d1A．函数fx的最小正周期是ππB．函数fx的图象关于点,0对称6πC．函数fx的图象关于直线x对称3πD．函数fx与gx2cos2x1表示同一函数3i202310．若复数z，则（）12i5A．z的共轭复数zC．复数z的虚部为B．|z|5515iD．复数z在复平面内对应的点在第四象限13R11．已知函数fx与其导函数gx的定义域均为，且fx1和g2x1都是奇函数，且g0，则下列说法正确的有（）B．fx关于1,0对称A．gx关于x=1对称i1ig(2i)4C．gx是周期函数D．12第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．32xx2xR与集合B{x|xxB12．已知集合Ax|，求集合ABFAF4的焦点为，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，13．已知抛物线y22pxp0FAB42.若线段AB中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.14．如图，在棱长为2的正方体ABCD中，E,F,G,H,P均为所在棱的中点，则下列结论正确的1111序号是．①棱AB上一定存在点，使得QQCQ；②三棱锥F的外接球的表面积为8π；E,F,G作正方体的截面，则截面面积为33③过点；223④设点M在平面BBCC内，且AM平面AGHAM，则1与AB所成角的余弦值的最大值为．111四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．115．（13分）已知函数fx32mxn在x1时取得极值．x2x3m(1)求实数的值；(2)若对于任意的xfxn24，n恒成立，求实数的取值范围．16．（15分）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，11该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为2322概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记55为.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；(2)求离散型随机变量的分布列与期望.17．（15分）如图，直四棱柱ABCD的底面为平行四边形，M,NAB,DD分别为的中点.11111ABN；1(1)证明：DM平面105(2)若底面ABCD为矩形，AB2AD4，异面直线DM与1N所成角的余弦值为1BN，求到平面B1的距离.x22y226PP0,2在椭圆C的两条直线1817分）已知椭圆C:ab0)的离心率为ab3PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足0kPAkPB4kABkAB(1)求椭圆C的方程；(2)证明直线AB过定点；．F1F2FAFB，求凸四边形面积的取值范围．12(3)椭圆C的焦点分别为，19．（17分）已知a，a，…，a是由（nN）个整数1，2，…，按任意次序排列而成的数列，数n*n12nb}nbn1a（kkk,n.列满足）（1）当n3时，写出数列a}b}和ab，使得.22nna}.nnabk,n（）的数列（2）证明：当为正偶数时，不存在满足kkk,nn（3）若c1，c2，…，cn12…c是，，，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（k），n并用含的式子表示c2cnc.12n161222n2n(nn.）（参考：绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）03数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023年的对于三视图的考察也将近有尾声，留意的是立体几何中对圆锥的考察（侧面积的计算也会成其他的题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。应特别注意新高考函数位于第一大题的位置，其难度有所下降，函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存在问题，新高考概率位于第二大题的位置，概率中多研究条件概率、古典概率问题，同时注重圆锥曲线常规联立及二级结论（推导）第I卷（选择题）8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：学生的编号i数学成绩x地理成绩y1234510010590858075■686462y0.45x27.6现已知其线性回归方程为，则“■”代表该生的地理成绩为（）A．76B．74.85C．73D．72.5【答案】A100105908580【解析】xy0.459227.669，55y(75686462)76所以■．故选：A2．已知点P是ABC的重心，则AP（）162316131141A．APABACB．D．APABAC423C．APACBCAPABBC3【答案】D【解析】设BC的中点为D，连接AD，点P是ABC的重心，则P在AD上，2321123132ABBC且APADABACABBC32131232(ACCB)BCACBC，333由此可知A，B，C错误，D正确，故选：D10a5712（3．在等比数列a中，a2a47916，则）nA．-4B．8C．-16D．16【答案】Cq的公比为，则a24aq1q5516q516，即，aa79【解析】设等比数列n5aq7510a12q16.557故选:C.4．下列说法中正确的是（）A．没有公共点的两条直线是异面直线57B．若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则a//bC．若平面α，β，γ满足，，则D．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若a，b，ab，则【答案】D【解析】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A错误；对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；a，，则α，γ不一定垂直，故C错误；对C，若平面α，β，γ满足对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D正确.故选：D.5．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有212人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（A．480）B．270C．240D．60【答案】C【解析】方法一：先在12人中挑选同姓的2人，方法有C166C110AC1840然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有22所以不同的挑选方法的种数是640240.方法二：先在12人中挑选同姓的2人，方法有C166C2140然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有5所以不同的挑选方法的种数是640240.故选；C6．已知函数fx2x2，若不等式fax1fx0在上恒成立，则实数的取值范围是xa（）2e2e,B．,D．,A．C．【答案】D【解析】由于函数fx2x2xfx2x2xfx，定义域为R，满足，fx得是奇函数，且在上为减函数.Rfax1fx在上恒成立，faxfxfx在0上恒成立，x1ax1x在a上恒成立，在上恒成立.xx1x令gx,x，则gx，2xxgxx1gx0，当0x1时，0，当时，上单调递减，在上单调递增，gx故在gxg1a1的取值范围为,，，即a故选：D.7．已知x1x1501xa2x23x3ax4ax5ax，则6a+a的值为（13）456A．1B．1C．4D．2【答案】C【解析】在x1x1501xa2x2ax3ax4ax5ax中，34566而x1x15xx15x1，55Cx(，r55rr由二项式定理知x1展开式的通项为Tr1令5-r=2，解得r3，令5r3，r2，aC335(3C52(0，2故同理令5r1，解得r4，令5r0，解得，r=5aC54(4C55(，故134.5故1故选：C8F,F分别是椭圆C:x22y22ab0)2作x轴的垂线与椭圆C在第一象限12ab的交点为P，若1的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（）231333-551A．B．C．D．2222【答案】D【解析】2bF(c,0)2xcP，设，将代入椭圆方程，易得ab2b2则2,PF12a．aab2bB(0,b)b(ab)记椭圆C的下顶点为，则PB的斜率xb，，akPBcacb(ab)y∴直线PB的方程为acacab令y0得直线PB与轴的交点为xT,0，acabacab则TFc,2c，11PFPTsinFPTSTSTPFTF121111又，22PFPTsinFPT222b2acabac2aca，即a2b5120，b2caba2babab10，得a2a2b2abba51e2．a2a22故选：D.3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．π9“五点法”作函数fxAsinxφB（A00，，2yfx描述正确的是（了部分数据，下列有关函数）π3πx0a1πb12πc22π5πx36fx3d1A．函数fx的最小正周期是ππB．函数fx的图象关于点,0对称6πC．函数fx的图象关于直线x对称3π3D．函数fx与gx2cos2x1表示同一函数【答案】ACDππ2B1π6323πfx2sin2x1，【解析】根据表格可知π，且A2，则5π6622πfx由正弦函数的周期性可知的最小正周期为T，故正确；πA由已知结合正弦函数的对称性可知：5π5ππ3πxfx2sin212sin11，66625π6的图象不关于点fxfx,0fxπB显然此时取得最小值，所以对称，故错误；由已知结合正弦函数的对称性可知：πππ6πxfx2sin212sin13，此时取得最大值，332πfx所以的图象关于直线x对称，故C正确；3π3πgx12sin2x1fxD，故正确2cos2x.由诱导公式可知32故选：ACDi202310．若复数z，则（）12i5A．z的共轭复数zC．复数z的虚部为B．|z|5515iD．复数z在复平面内对应的点在第四象限【答案】ABDi12iiii(12i)25i2i【解析】∵z∴z，则z，故A正确；12i12i2i)(12i)552215215|z，故正确；复数z的虚部为B，故错误；C55521，在第四象限，故D正确.复数z在复平面内对应的点为55故选：ABD13R11．已知函数fx与其导函数gx的定义域均为，且fx1和g2x1都是奇函数，且g0，则下列说法正确的有（）A．gx关于x=1对称B．fx关于1,0对称i1ig(2i)4C．gx是周期函数D．12【答案】ACDfx1fx1fx1，【解析】因为为奇函数，所以x1x1gx1，ffgx1所以所以因为，即gxx=1的图象关于直线对称.故A正确；fx10对称，为奇函数，则其图象关于fx向左平移一个单位后得到的图象，fx0对称，故错误；则的图象关于Bg2x1g2x1g2x1，因为则有所以为奇函数，则gx1x1g，gxx2g①,gx1gx1，又则gxgx2②,gx2g(x2)由①②，gx2g(x2)则则则，gxg(x4)gx4g(x，，gxg(x，gx所以8是函数的一个周期.，gx是周期函数，故C正确；1因为g0gxgx2，gxg(x4)，313所以g2g22g0，11g4g0,g6g2，33i113所以ig(2i)(123456789101112)4，12故D正确，故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．32xx212．已知集合Ax|xR与集合B{x|xx，求集合AB1【答案】32xx23Ax|xRx|xxRB{x|xx，A，所以B1.【解析】由题意21.故答案为：13．已知抛物线AB42.若线段AB中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为8xy22pxp0FBFAF4的焦点为，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，.【答案】y2Ax,y,Bx,y【解析】设，1122BFAF4因为，pxp2x24xx4，所以，21所以12又因为AB1k2ABxx42，所以k2AB1，12,B都在第一象限，所以kAB1，因为y2y1y2y1212p1y2kAB1y22yyy428又因为21且，122p2p2p8p428x，所以故答案为：14．如图，在棱长为2的正方体ABCD中，，所以，所以抛物线方程为yy8x.2E,F,G,H,P均为所在棱的中点，则下列结论正确的1111序号是．①棱AB上一定存在点，使得QQCQ；②三棱锥F的外接球的表面积为8π；E,F,G作正方体的截面，则截面面积为33③过点；22AM1M在平面BBCC内，且AM平面AGH，则与AB所成角的余弦值的最大值为④设点．1113【答案】②③④【解析】对于①，以D为原点，DA，，C2,0DD所在直线分别为轴，轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，xy1则由已知，，D0,0,2，1y002,2y0,0，DQy,2，0设棱AB上一点QCQQy,02，则QC0142y0y00，若，则QCDQ1y202y40，即y1230，无实数解，y整理得000∴棱AB上不存在点，使得QQCQ，故①错误；对于②，如图，分别取棱AB，BC，C，AD的中点N，H，P1E，，1111111EPHNEPHF由已知，EPPHHN=EN2，易知棱柱为长方体，22，外接球表面积S4πREPHNEPHF111222228π，F的外接球，其外接球的直径为2R1H22∵三棱锥F的顶点均在长方体的外接球上，故该球也是三棱锥111∴三棱锥F的外接球的表面积为8π，故②正确；E,F,G对于③作正方体的截面是边长为221π的等边三角形，面积S622sin33，故③正确；23A0G2,1H2,0A2,0,2B2,0，，对于④，由①中所建立空间直角坐标系，，，，1AH2,0nx,y,z，设平面AGH的一个法向量为，111AG2,1，210nAG211z12，则，令12，则y11，2，∴nnAHx2y011xz2，BBCCMx,2,z，则AM1设平面内一点11AM∵平面AGH，∴AMn2x2122z20，即z3x，11又∵AB2,0，AMAB4AMAB1cosAM,AB所成角的余弦值为1∴与，1AMAB12422x2z223121其中，x222x223x222x26x52xz2，22cosAM,AB42231，∴124232223即当且仅当x时，AM与AB所成角的余弦值的最大值为1，故④正确.故答案为：②③④.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11513分）已知函数fx32mxn在x1时取得极值．x2x3m(1)求实数的值；(2)若对于任意的xfxn24，n恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)3(2)1）易知fxx24xm，f1241m0，解得m3依题意，fxx24x3xx3此时，f(x)>0x0，当x1或x3时，；当1x3时，ffx3上单调递减，(，)即函数在上单调递增，在x1fx时取得极值，因此函数在所以m3．2,3上单调递减，在4上单调递增；（2）由（1）得函数fx在1所以fxf3332333nn，2min3由题意可得nn2，解得0n1，n所以的取值范围为．16152023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽121车在碰撞测试中结果为优秀的概率为2352率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.5(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；(2)求离散型随机变量的分布列与期望.310615【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为101）记事件为该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分A“ii1,3,5)”，i1213121316则P5，P3，P11.Bi“i1,3,5)”记事件为该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i分，2525252515则P5，P3，P11.记事件C为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，PAB3PC)PABPABPAB则5131151121511351625123，65103则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.10（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，16151P2)，3011122P4)P6)P，35651512121525161252123，35101，351312P10)，255则离散型随机变量的分布列为2468101231315P30151012311510615所以数学期望E()102468.30151031715分）如图，直四棱柱ABCD的底面为平行四边形，M,NAB,DD分别为的中点.11111ABN；1(1)证明：DM平面105(2)若底面ABCD为矩形，AB2AD4，异面直线DM与1N所成角的余弦值为BABN，求到平面11的距离.26【答案】(1)证明见解析(2).31）连接AB，交AB1ENE,ME于点，连接，1则E为AB1的中点，12AA因为M为AB的中点，所以MEDD，且MEAA1，11AA1,DNAA因为N为的中点，所以，112所以ME，且MEDN，所以四边形EMDN为平行四边形，所以ENDM，又因为DM平面ABN,EN1ABN平面，1ABN.1所以DM平面（2）由题意（1）及几何知识得，ABCDAB2AD4在直四棱柱中，，1111,,A,,所在直线为x轴､轴､z轴建立如图所示的空间直y11角坐标系.资料来源：微信公众号智慧学库AA1tt0)B4,0,0,D2,0A2t,M2,0,0,Nt，设，则，1.2,0,ANtB2t,DM11设异面直线DM与AN1所成角为，则coscosDM,ANDMAN421051，1DMAN22t24t222221解得：t1，1A0,0,2,N2,1,B4,0,2故，1则AB2,AN,BB0,0,2111nx,y,z，ABN1设平面的一个法向量为B1ABN1的距离为d.到平面ABn4x2z1所以即2yz取z2，ANn1n2.得BBn01012242631所以d，n2212261263B1ABN的距离为1即到平面.x22y26P1817C:ab0)的离心率为P0,2在椭圆C的两条直线PA，ab23PAkPB4kABPB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kkAB0．(1)求椭圆C的方程；(2)证明直线AB过定点；F1F2FAFB，求凸四边形面积的取值范围．12(3)椭圆C的焦点分别为，246x2y2【答案】(1)1(2)证明见解析(3)b2,8212411c61）由题设得，解得a212，aa322bc2x2y2所以C的方程为1；124Bx,y，2（2）由题意可设yml:ym(m2)，设Ax,y，AB1121k，整理得x6kmxm120由x22222，y1124m2m40Δ36k2m241k2121212k22．6mkm212由韦达定理得xx，12，21221k1k12y22kkPB4kAB4k由得，PA121m22m24k，即12k，2mk(m2)24m2整理得因为k0，得m2m20，解得m2或m1，m2时，直线AB过定点P(0,2)，不合题意，舍去；Δ364k210m1时，满足，(0,所以直线AB过定点．1（32）得直线l:y1，所以x(y，ABk1x(yk由，x2y211241211k3y2y120Δ36，40，2整理得k2k2k214312k由题意得SFFyy22yy122，FAFB12121212212k1181kk208，因为，所以，所以2222k1令t4，t(2,23)，2kt11S122122所以FAFB21，在t(2,23)上单调递减，tt12t246S,82所以的范围是．FAFB12111917分）已知a，a，…，a是由（nN）个整数1，2，…，按任意次序排列而成的数列，数n*n12nb}nbn1a（kkk,n）.列满足（1）当n3时，写出数列a}b}和ab，使得.22nna}.nnabk,n（）的数列（2）证明：当为正偶数时，不存在满足kkk,nn（3c1，c2，…，cn12…c是，，，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（kn含的式子表示c2cnc.12n161222n2n(nn.）（参考：a2a3a1b2b1b3a1a3a2b3b1，1），，；，，或，，；，21231231231132.cn(kk,nn(nn2)（2）证明见解析（）3（k6a2a3a1b2b1b3.【解析】[解]（1），，；，，12312311a3a2b3b1b2.，，；，，23123n1[证明]（2）若kk（k,nan1a，于是kkak.2n1n当为正偶数时，n1为大于1的正奇数，故不为正整数.2a1a2…anab（kkk,nan}.）的数列因为，，，均为正整数，所以不存在满足[解]（3）ckn(k（k,n）.因为ck(nk，于是c2cnc(n1n2][(nn]12n2n)(n2n1)2221216n(n2n(n1)(2nn(nn2).62024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）03数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678ADCDCDCD3618分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。91011ACDABDACD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．113．y28x14．②③④四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）1）易知fxx24xm，f1241m0，解得m3，2分）依题意fxx24x3xx3此时f(x)>0x0，当x1或x3时，；当1x3时，ffx3分）(，)5即函数在上单调递增，在x1fx在因此函数时取得极值，所以m3分）62,3上单调递减，在4上单调递增；（2）由（1）得函数fx在1所以fxf3332333nn10分）2min32，解得0n1，由题意可得nnn所以的取值范围为13分）1615分）1）记事件为该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分A“ii1,3,5)”，i1213121316则P5，P3，P11.（2分）Bi“i1,3,5)”记事件为该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i分，2525252515则P5，P3，P11.（4分）记事件C为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，PAB3PC)PABPABPAB则51311511111121225356565103，3则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.（7分）10（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，111P2)P4)P6)PP10)8分）6530111229分）356515111212310分）25653510121225351311分）121512分）25则离散型随机变量的分布列为2468101231315P30151012313110615所以数学期望E()1715分）102468.（15分）30151051）连接AB，交AB1于点，连接ENE,ME2分）1则E为AB的中点，因为M为AB的中点，所以MEDD112AA，且MEAA1，11AA1,DNAA因为N为的中点，所以，11