2022-2023学年八年2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题7.10 平面图形的认识（二）章末题型过关卷（苏科版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列第7章平面图形的认识（二）章末题型过关卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）如图所示，下列说法中错误的是（

）A．∠2与∠B是内错角 B．∠A与∠1是内错角C．∠3与∠B是同旁内角 D．∠A与∠3是同位角2．（3分）（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）下列说法中不正确的是（

）A．三条直线a，b，c若a//b，b//c，则a//cB．在同一平面内，若直线a//b，c⊥a，则c⊥bC．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行3．（3分）（2022春·陕西商洛·八年级统考期末）将一副直角三角尺如图所示放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是（

）A．80° B．75° C．65° D．60°4．（3分）（2022秋·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A、B、C、D在l2上，且PB⊥A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度5．（3分）（2022秋·浙江宁波·七年级统考期末）如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长(a+b)，宽(a+c)的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且a>b>c，则阴影部分周长为（

）A．4a+2c B．4a+2b C．4a D．4a+2b+2c6．（3分）（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）若a、b、c是三角形的三边长，则化简a−b−c+b−a−c+A．a+b+c B．−3a+b+c C．−a−b−c D．3a−b−c7．（3分）（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=24cm2，则阴影部分△AEF的面积为（A．2 B．2.5 C．3 D．3.58．（3分）（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______A．180° B．270° C．360° D．540°9．（3分）（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（

）A．5° B．13° C．15° D．20°10．（3分）（2022春·湖北黄冈·八年级英山县实验中学校考期中）△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点AA．m22019 B．m22020 C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022春·广东珠海·八年级珠海市第四中学校考期中）世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是______.12．（3分）（2022秋·陕西榆林·七年级期末）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，点D为AC边上一点，过点D作DE//AB，交BC于点E，且DE=BE，连接BD，则∠BDC的度数是______．13．（3分）（2022春·八年级课时练习）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．14．（3分）（2022秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）15．（3分）（2022春·河北张家口·八年级校考阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应________（填“增加”或“减少”）________度．16．（3分）（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ:∠QFP=3:2，则三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·山东济南·七年级统考期末）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求解：∵EF∥AD，∴∠2=（）．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3（）．∴AB∥（）．∴∠BAC+=180°（）．∵∠BAC=70°，∴∠AGD=．18．（6分）（2022春·广东广州·八年级统考期中）己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？19．（8分）（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC平移后得到△A′B′C(1)画出△ABC的边AB上的中线CD；(2)画出△ABC的边BC上的高AE；(3)画出△A(4)△A20．（8分）（2022秋·北京·七年级校考期中）已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，Q且BE，DE所在的直线交于点E．(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=70°，∠ADC=60°，直接写出∠BED的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC=x，∠ABC=y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．21．（8分）（2022春·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角．试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系_____(即列出一个含有∠A，∠FDC，∠ECD的等式，直接写出答案即可)；探究二：已知：如图2，在△ADC中，DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD，求：∠P与∠A的数量关系；探究三：若将探究2中的△ADC改为任意四边形ABCD呢？即：如图3，在四边形ABCD中，DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．22．（8分）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：(1)已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，证明：过点A作EF∥(2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：______；(3)在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．23．（8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知，∠ATM+∠DRN=180°．(1)如图1，求证AB∥CD：(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段EF的长．第7章平面图形的认识（二）章末题型过关卷【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）如图所示，下列说法中错误的是（

）A．∠2与∠B是内错角 B．∠A与∠1是内错角C．∠3与∠B是同旁内角 D．∠A与∠3是同位角【答案】B【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别对选项进行分析，即可得出结果．【详解】解：A、∠2与∠B是内错角，故该选项正确；B、∠A与∠1不是内错角，故该选项错误；C、∠3与∠B是同旁内角，故该选项正确；D、∠A与∠3是同位角，故该选项正确．故选：B【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，解本题的关键在熟练掌握相关定义．同位角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线的同侧；内错角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线的内侧；同旁内角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线的内侧．2．（3分）（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）下列说法中不正确的是（

）A．三条直线a，b，c若a//b，b//c，则a//cB．在同一平面内，若直线a//b，c⊥a，则c⊥bC．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【分析】根据平行线的性质，垂线的性质和平行公理对各个说法分析判断后即可求解．【详解】A．三条直线a，b，c若a//b，b//c，则a//c，即平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；B．在同一平面内，若直线a//b，c⊥a，则c⊥b，根据平行线的性质可确定正确；C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可确定正确；D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的性质和平行公理，是基础知识，熟练掌握各定理或推论成立的条件是解题的关键．3．（3分）（2022春·陕西商洛·八年级统考期末）将一副直角三角尺如图所示放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是（

）A．80° B．75° C．65° D．60°【答案】B【分析】根据平行线的性质及三角形内角定理解答．【详解】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°,∠C=30°,∠BAC=∠ADE=90°．∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C=30°，∴∠DAF=∠EAD−∠EAC=45°−30°=15°．∴∠AFD=180°−∠ADE⋅∠DAF=180°−90°−15°=75°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．4．（3分）（2022秋·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A、B、C、D在l2上，且PB⊥A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度【答案】B【分析】根据平行线之间的距离定义解答即可．【详解】解：∵P在l1上，B在l2上，PB⊥l2∴l1与l2间的距离是线段故选：B．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，掌握两条平行线中，一条直线上的任意一个点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离是解题的关键．5．（3分）（2022秋·浙江宁波·七年级统考期末）如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长(a+b)，宽(a+c)的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且a>b>c，则阴影部分周长为（

）A．4a+2c B．4a+2b C．4a D．4a+2b+2c【答案】A【分析】根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和，再列式计算解答．【详解】解：将阴影部分水平的边通过平移可得水平边之和为：2（a＋b），将阴影部分竖直的边通过平移可得竖直边之和为：2（a＋c－b），∴阴影部分的周长为：2（a＋b）＋2（a＋c−b）＝2a＋2b＋2a＋2c−2b＝4a＋2c，故选：A．【点睛】此题主要考查了平移的性质，整式的加减，根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和是解题的关键．6．（3分）（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）若a、b、c是三角形的三边长，则化简a−b−c+b−a−c+A．a+b+c B．−3a+b+c C．−a−b−c D．3a−b−c【答案】A【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0．∴|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．7．（3分）（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=24cm2，则阴影部分△AEF的面积为（A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，由点D为BC的中点得到S△ADC=12S△ABC=12cm2，由点E为AD的中点得到S△AEC=【详解】解：∵点D为BC的中点，∴S△ADC=1∵点E为AD的中点，∴S△AEC=1∵点F为CE的中点，∴S△AEF=1故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积公式，三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．8．（3分）（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于360°，即可求解．【详解】解：∵∠E+∠F=∠ANM，∠ANM+∠A=BMD，又∵∠B+∠C+∠D+∠BMD=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故选C．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和等于360°，是解题的关键．9．（3分）（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（

）A．5° B．13° C．15° D．20°【答案】C【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．【详解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=15°.【点睛】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.10．（3分）（2022春·湖北黄冈·八年级英山县实验中学校考期中）△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点AA．m22019 B．m22020 C．【答案】D【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠A1【详解】∵BA1平分∠ABC，A1∴∠A1BD＝12∠ABC，∠A∴∠A1＝∠A1CD−∠A1BD＝12∠同理可得∠A2＝12∠A1∴∠A2022＝(1∵∠A＝∴∠A2022＝故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022春·广东珠海·八年级珠海市第四中学校考期中）世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是______.【答案】三角形的稳定性．【分析】利用三角形的稳定性求解即可．【详解】世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性．故答案为三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．12．（3分）（2022秋·陕西榆林·七年级期末）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，点D为AC边上一点，过点D作DE//AB，交BC于点E，且DE=BE，连接BD，则∠BDC的度数是______．【答案】110°##110度【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠BDE=∠ABD，由外角的性质得出∠BDC=∠ABD+∠A即可．【详解】解：在ΔABC中，∠A=70°，∠C=30°∴∠ABC=180°−∠A−∠C=80°，∵DE=BE，∴∠DBE=∠BDE，∵DE//AB，∴∠BDE=∠ABD，∴∠ABD=∠DBE=1∴∠BDC=∠ABD+∠A=40°+70°=110°，故答案为：110°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．13．（3分）（2022春·八年级课时练习）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得(n−2)×变形为n−2=180∘×16+(【详解】设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得(n−2)×∴n−2=180∵n是正整数，0∘∴x=60∘∴这个多边形的内角和为3060∘故答案为：3060∘【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．14．（3分）（2022秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）【答案】①④【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD=30°．故答案为：①④．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．15．（3分）（2022春·河北张家口·八年级校考阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应________（填“增加”或“减少”）________度．【答案】

减少

10【分析】连接CF，并延长至点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠ACB的度数，结合对顶角相等，可得出∠DCE的度数，利用三角形外角的性质，可得出∠DFM=∠DCF+∠D，∠EFM=∠ECF+∠E，二者相加后，可求出∠D的度数，再结合∠D的原度数，即可得出结论．【详解】解：连接CF，并延长至点M，如图所示．在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−50°−60°=70°，∴∠DCE=∠ACB=70°．∵∠DFM=∠DCF+∠D，∠EFM=∠ECF+∠E，∴∠EFD=∠DCF+∠ECF+∠D+∠E=∠DCE+∠D+∠E，即110°=70°+∠D+30°，∴∠D=10°，∴20°−10°=10°，∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出∠EFD与∠D之间的关系是解题的关键．16．（3分）（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ:∠QFP=3:2，则【答案】30度##30°【分析】根据AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠PEF+∠EFP=12∠EFD+∠BEF=90°，即可得∠EGH=90°=∠EPF，则有FP∥HG，进而可得∠EHG=∠QFP，∠FPH=∠PHK，∠FPH=∠HPK，即有∠EPK=∠EPF+∠FPH+∠HPK=90°+2∠FPH，结合【详解】∵AB∥∴∠BEF+∠EFD=180°，∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠PEF=12∠BEF∴∠PEF+∠EFP=1∴∠EPF=90°，∵GH⊥EG，∴∠EGH=90°=∠EPF，∴FP∥∴∠EHG=∠QFP，∠FPH=∠PHK，∵∠PHK=∠HPK，∴∠FPH=∠HPK，∴∠EPK=∠EPF+∠FPH+∠HPK=90°+2∠FPH，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=1∴∠QPH=∠QPK−∠HPK=45°+∠FPH−∠FPH=45°，∵∠HPQ:∠QFP=3:2，∴∠QFP=30°，∴∠EHG=∠QFP=30°，故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，证明FP∥三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·山东济南·七年级统考期末）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求解：∵EF∥AD，∴∠2=（）．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3（）．∴AB∥（）．∴∠BAC+=180°（）．∵∠BAC=70°，∴∠AGD=．【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°【分析】根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA=180°即可．【详解】解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等．）又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC=70°，∴∠AGD=110°．故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．18．（6分）（2022春·广东广州·八年级统考期中）己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)2<a<12(2)当a=11时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知7−5<a<7+5，即2<a<12，∴a的取值范围是2<a<12；（2）解：由（1）知，a的取值范围是2<a<12，a是整数，∴当a=11时，三角形的周长最大，此时周长为：5+7+11=23，∴周长的最大值是23．【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．19．（8分）（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC平移后得到△A′B′C(1)画出△ABC的边AB上的中线CD；(2)画出△ABC的边BC上的高AE；(3)画出△A(4)△A【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)8．【分析】（1）利用格线的特点，取AB的中点，利用中线的定义得出答案；（2）直接利用高线的作法，结合格线的特点得出答案；（3）直接利用得出平移后对应点位置进而得出答案；（4）直接利用三角形面积求法得出答案．【详解】（1）如图所示：CD即为所求；（2）如图所示：AE即为所求；（3）如图所示：△A（4）△A′B【点睛】此题考查了平移作图，三角形面积求法，以及三角形中线、高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．20．（8分）（2022秋·北京·七年级校考期中）已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，Q且BE，DE所在的直线交于点E．(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=70°，∠ADC=60°，直接写出∠BED的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC=x，∠ABC=y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．【答案】(1)65°(2)180°−【分析】（1）过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，结合平行线的判定与性质，由题中角平分线的定义得到∠EBA=12∠ABC=30°（2）过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ADC=x，∠ABC=y，参照（1）中解决问题的方法即可求【详解】（1）解：过点E作EF∥AB，如图则有∠BEF=∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC，∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC，即∠BED=∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=12∠ABC=30°∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°；（2）过点E作EF∥AB，如图则∠BEF+∠EBA=180°，∴∠BEF=180°−∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC，∴∠BEF+∠FED=180°−∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°−∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EDC=12∠ADC=∴∠BED=180°−∠EBA+∠EDC=180°−1【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．21．（8分）（2022春·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角．试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系_____(即列出一个含有∠A，∠FDC，∠ECD的等式，直接写出答案即可)；探究二：已知：如图2，在△ADC中，DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD，求：∠P与∠A的数量关系；探究三：若将探究2中的△ADC改为任意四边形ABCD呢？即：如图3，在四边形ABCD中，DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．【答案】探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∠P=90°+12【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．【详解】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；故答案为：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∴∠PDC=12∠ADC∴∠P=180°−∠PDC−∠PCD＝=180°−=180°−=90°+1探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∴∠PDC=12∠ADC∴∠P=180°−∠PDC−∠PCD=180°−=180°−=180°−=1【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题．22．（8分）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：(1)已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，证明：过点A作EF∥(2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：______；(3)在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠A+∠D=∠B+∠C(3)2∠P=∠D+∠B，理由见解析【分析】（1）过点A作EF∥BC，即可得出∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，即可得出：∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠EAB+∠FAC=∠EAF，根据平角的定义和等量代换即可得出：（2）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论；（3）将∠D+∠1=∠P+∠3和∠B+∠4=∠P+∠2相加，即可得出：∠D+∠1+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，再根据平分线的性质即可得出结论．（1）证明：过点A作EF∥∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC（两直线平行，内错角相等），∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠EAB+∠FAC=∠EAF（等量代换），∵E、A、F三点共线（已知），∴∠EAF=180°（平角定义）．∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）．（2）∵在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，在△COB中，∠C+∠B+∠COB=180°，∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠A+∠D=∠B+∠C．故答案为：∠A+∠D=∠B+∠C．（3）数量关系：2∠P=∠D+∠B．理由：如图3，由（2），得：∠D+∠1=∠P+∠3①，∠B+∠4=∠P+∠2②，①＋②，得：∠D+∠1+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P．∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴2∠P=∠D+∠B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键．23．（8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知，∠ATM+∠DRN=180°．(1)如图1，求证AB∥CD：(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段EF的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)EF=10【分析】（1）根据同角的补角相等，得出∠ATR=∠DRN，再根据平行线的判定即可得出答案；（2）过点E作EF∥AB，根据AB∥CD得出AB∥（3）先根据三角形内角和定理及已知角度之间的关系，得出∠FEH=90°，再根据平行线的性质得出∠BGH=∠FBH=90°，从而得出BG⊥EC，EF⊥EC，根据三角形的面积公式得出BG+EF=18，结合已知条件EF−BG=2，即可求出结果．【详解】（1）证明：∵∠ATM+∠DRN=180°，∠ATM+∠ATR=180°，∴∠ATR=∠DRN，∴AB∥（2）证明：过点E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠B+∠C．（3）解：∵∠BEF+∠EFB+∠EBF=180°，∴∠FEH+∠HEB+∠EFB+∠EBF=180°，∵∠EFB=∠EBF，∠BEH=2∠ABE，∴∠FEH+2∠ABE+2∠EBF=180°，即∠FEH=180°−2∠ABE+∠EBF∵∠ABE+∠EBH=∠ABF=45°，∴∠FEH=180°−2×45°=90°，∵BG∥EF，∴∠BGH=∠FBH=90°，∴BG⊥EC，EF⊥EC，∴S===2BG+EF∵△BEF的面积为36，∴36=2BG+EF∴BG+EF=18①，∵EF−BG=2②，①+②得：∴EF=10．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理，三角形内角和定理的应用，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明BG⊥EC，EF⊥EC．专题9.1整式的乘法【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1整式乘法中的求值问题】 1【题型2整式乘法中的不含某项问题】 2【题型3整式乘法中的错看问题】 2【题型4整式乘法中的遮挡问题】 2【题型5整式乘法的计算】 3【题型6整式乘法的应用】 3【题型7整式除法的运算与求值】 4【题型8整式除法的应用】 5【题型9整式乘法中的新定义】 6【题型10整式乘法中的规律探究】 7【知识点1整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．单项式×多项式：乘法分配律．多项式×多项式：乘法分配律．【题型1整式乘法中的求值问题】【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是（）A．7 B．﹣7 C．8 D．﹣9【变式1-1】（2022春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（）A．98 B．49 C．14 D．7【变式1-2】（2022春•诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（）A．−73 B．−23 C．【变式1-3】（2022春•江都区期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可取的值共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【题型2整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2022秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于（）A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14【变式2-1】（2022春•双流区校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．【变式2-2】（2022秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．【变式2-3】（2022春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足（）A．a＝0且b＝0 B．a＝2b C．ab＝0 D．a=【题型3整式乘法中的错看问题】【例3】（2022春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（）A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【变式3-1】（2022春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？【变式3-2】（2022秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【变式3-3】（2022春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【题型4整式乘法中的遮挡问题】【例4】（2022秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（）A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x【变式4-1】（2022秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy【变式4-2】（2022春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写．【变式4-3】（2022秋•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【题型5整式乘法的计算】【例5】（2022春•冠县期中）计算：（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．【变式5-1】（2022春•西城区校级期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．【变式5-2】（2022秋•长宁区校级期中）12x(4−2x)−2（3﹣2x）（4【变式5-3】（2022春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【题型6整式乘法的应用】【例6】（2022春•杭州期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7【变式6-1】（2022春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定【变式6-2】（2022秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求通道的宽度是多少米？【变式6-3】（2022春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【知识点2整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．多项式÷单项式：除法性质．多项式÷多项式：大除法．【题型7整式除法的运算与求值】【例7】（2022•襄都区校级开学）先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=1【变式7-1】（2022春•秀洲区校级月考）若等式（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）成立，则a的值为．【变式7-2】（2022春•萧山区月考）若A与−12ab的积为−4A．﹣8a2b2+6ab﹣1 B．−2aC．8a2b2﹣6ab+1 D．2【变式7-3】（2022·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．【题型8整式除法的应用】【例8】（2022秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a、2a、32a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【变式8-1】（2022春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b【变式8-2】（2022春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【变式8-3】（2022秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5．（1）计算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式为，余式为；（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．【题型9整式乘法中的新定义】【例9】（2022秋•夏津县期中）阅读并解决其后的问题：我们将四个有理数a，b，c，d写成abcd|的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为：abcd|=（1）计算17−5（2）计算2x−3x+2【变式9-1】（2022秋•兰陵县期中）定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．（1）3与是关于1的单位数，x﹣3与是关于1的单位数．（填一个含x的式子）（2）若A＝3x（x+2）﹣1，B=2(32x2+3x−1)【变式9-2】（2022•顺平县二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：ω（23）＝．（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则“跟斗数”b＝．（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，则ω（m）+ω（n）＝．【变式9-3】（2022•渝中区校级模拟）阅读以下材料：材料一：如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数ba，dc，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”．例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一对“有缘数对”，材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．例如：计算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8＝x4+6x3﹣27x+8解决如下问题：（1）①请任写一对“有缘数对”和．②并探究“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程．（2）若两个两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，请求出这两个两位数．【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2022春•江都区期中）探究规律，并回答问题：（1）运用多项式乘法，计算下列各题：①（x+2）（x+3）＝；②（x+2）（x﹣3）＝；③（x﹣3）（x﹣1）＝；（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝，q＝；（3）根据此规律，直接写出以下结果：①（x+5）（x+7）＝；②（t+2）（t﹣1）＝．【变式10-1】（2022春•永丰县期末）探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．阅读解答：比较20182019×20182016与20182017×20182018的大小．解：设20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝a2+a．因为a2+a﹣2a2+a（填＜＞、或＝），所以20182019×2018201620182017×20182018（填＜、＞、或＝）．问题解决：化简求代数式的值．（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．【变式10-2】（2022春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【变式10-3】（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝．（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．专题9.1整式的乘法【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1整式乘法中的求值问题】 1【题型2整式乘法中的不含某项问题】 3【题型3整式乘法中的错看问题】 4【题型4整式乘法中的遮挡问题】 6【题型5整式乘法的计算】 7【题型6整式乘法的应用】 8【题型7整式除法的运算与求值】 11【题型8整式除法的应用】 13【题型9整式乘法中的新定义】 16【题型10整式乘法中的规律探究】 20【知识点1整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．单项式×多项式：乘法分配律．多项式×多项式：乘法分配律．【题型1整式乘法中的求值问题】【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是（）A．7 B．﹣7 C．8 D．﹣9【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd解决此题．【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2﹣nx+mx﹣mn＝x2+（m﹣n）x﹣mn．∵（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），∴m﹣n＝a，﹣mn＝7．∴m＝1，n＝﹣7或m＝﹣1，n＝7或m＝7，n＝﹣1或m＝﹣7，n＝1．∴a＝m﹣n＝8或﹣8．故选：C．【变式1-1】（2022春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（）A．98 B．49 C．14 D．7【分析】根据多项式乘多项式的法则把等式的左边进行计算后，与等式的右边对比，即可求出k和p的值，进而即可得出答案．【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，∴15x﹣5x2+6﹣2x＝﹣5x2+kx+p，∴﹣5x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p，∴k＝13，p＝6，∴（k﹣p）2＝（13﹣6）2＝72＝49，故选：B．【变式1-2】（2022春•诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（）A．−73 B．−23 C．【分析】利用给出的定义进行整式的相关运算，求出k的值．【解答】解：由题意可令（x﹣3）（x+a）＝x2+kx﹣7，∴x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2+kx﹣7，∴﹣3a＝﹣7，a=7a﹣3＝k，k=73−故选：B．【变式1-3】（2022春•江都区期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可取的值共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12，∴当a＝1，b＝﹣12时，m＝﹣11；当a＝﹣1，b＝12时，m＝11；当a＝2，b＝﹣6时，m＝﹣4；当a＝﹣2，b＝6时，m＝4；当a＝3，b＝﹣4时，m＝﹣1；当a＝﹣3，b＝4时，m＝1；故m的值共6个．故选：C．【题型2整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2022秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于（）A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次项的系数为0即可．【解答】解：（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）＝2x4﹣ax3﹣4x2﹣2x3+ax2+4x+10x2﹣5ax﹣20＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，∵展开式中不含x2项，∴a+6＝0，∴a＝﹣6，故选：A．【变式2-1】（2022春•双流区校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有x2项和常数项求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．∵化简后不含有x2项和常数项，∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．∴a＝2，m＝3．∵an+mn＝﹣5，∴2n+3n＝﹣5．∴n＝﹣1．∴﹣4n2+3m＝﹣4×（﹣1）2+3×3＝﹣4×1+9＝﹣4+9＝5．【变式2-2】（2022秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：M•N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5）＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5＝（10+a）x﹣2a+5，由题意得，10+a＝0，解得，a＝﹣10．【变式2-3】（2022春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足（）A．a＝0且b＝0 B．a＝2b C．ab＝0 D．a=【分析】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可．【解答】解：x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4＝x2﹣x2﹣2bx+ax+2ab+4＝（a﹣2b）x+2ab+4，∵多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，∴a﹣2b＝0，即a＝2b，故选：B．【题型3整式乘法中的错看问题】【例3】（2022春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（）A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故选：C．【变式3-1】（2022春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？【分析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．【变式3-2】（2022秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【变式3-3】（2022春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴−2a+b=−7a+b=2解得：a=3b=−1∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．【题型4整式乘法中的遮挡问题】【例4】（2022秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（）A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，故选：B．【变式4-1】（2022秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故选：A．【变式4-2】（2022春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写﹣3x3y3．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，∴横线上应填写﹣3x3y2，故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【变式4-3】（2022秋•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【题型5整式乘法的计算】【例5】（2022春•冠县期中）计算：（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣x+2y+4y2＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣x+2y；（2）原式＝a2b（a2b4+8a3b3+3a2）＝a4b5+8a5b4+3a4b．【变式5-1】（2022春•西城区校级期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则把要求的式子进行整理，然后代值计算即可．【解答】解：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2﹣x﹣1﹣2（x2﹣3x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19，把x＝﹣2代入原式得：原式＝5×（﹣2）+19＝﹣10+19＝9．【变式5-2】（2022秋•长宁区校级期中）12x(4−2x)−2（3﹣2x）（4【分析】利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，先算乘方，再加减．【解答】解：原式=12x•4−12x•2x﹣2（3•4x+3•1﹣2x•4＝2x﹣x2﹣2（12x+3﹣8x2﹣2x）＝2x﹣x2﹣24x﹣6+16x2+4x＝15x2﹣18x﹣6．【变式5-3】（2022春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【题型6整式乘法的应用】【例6】（2022春•杭州期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7【分析】由（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，得A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，因此需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．【解答】解：长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．故选：D．【变式6-1】（2022春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定【分析】原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10），又a＞b，通过计算可知租地面积变小了．【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米），第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米，∵a＞b，∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab，∴面积变小了，故选：A．【变式6-2】（2022秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求通道的宽度是多少米？【分析】（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可；（2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积，求得剩余草坪的面积