黄金卷（试卷含解析）-备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要2，则A（B是()2]2．已知复数z满足z(3-4i)=4-2i，则z=())//4．已知角a,β满足sina=-,cos(a+β)sinβ=，则sin(a+2β)的值为()5．第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有A．360种B．480种C．620种D．720种6．已知直线l:x+ky-3k-1=0，若无论k取何值，直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点，则r的取值范围是()388．如图，已知F1，F2是双曲线C：x2yx2a2b2=1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足F1P//F2Q，且F2Q=2F2P=5F1P，则双曲线C的离心率为() 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则()A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220022CA 1AA1=λ(λ>0)，记平面EFG与平面A1B1CD的交线为l，则()A．存在λe(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B．当λ=时，三棱锥B-EFG体积为C．当λ=时，三棱锥A1-EFG的外接球表面积为34π D．当λ=时，直线l与平面ABCD所成的角的正弦值为12．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g,(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g,(x)=1，f(x)-g,(4-x)=3，若g(x)为奇函数，则()第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。5的展开式中x3的系数为20，则a的值为.14．设动点P在抛物线y=x2上，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是(2,0)，则PA+PM的最小值是.f(x)的一个对称中心为,0，一条对称轴为16．若函数f(x)=〈ln(2x-1),x>在x=1处的切线与f(x)的图像有三个公共点，则a的取值范-x2-2x+a,x<四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。1710分）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1，且S1,S2,S4+8成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式：1812分）（1）求B；（2）已知BD为AC边上的中线，cosC=，BD=，求ΔABC的面积.1912分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=1，PB=BD=2，AB=，经（1）若BE//平面PAD，证明：点E为棱PC的中点；（2）已知二面角P-AB-D的大小为60。，求：平面PBD和平面PCD夹角的余弦值.2012分）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090（1）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；（2）以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为f(p)．求当p为何值时，f(p)最大？附：X2=00.10.050.010k02.7063.8416.6352112分）（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点F且斜率为k(k士0)的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使AF.BT=BF.AT恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由.2212分）已知关于x的方程ex-1=有两个不同实根x1，x2.（1）求实数a的取值范围；（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678CABDCADB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9ABDABDBDABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。1710分）n+1【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d>0，24又因为S1,S2,S4+8成等比数列，可得S=S1(S4+8)，123nn，234n23n(4n3)2n+1，1812分）CtanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinB3sinAcosB所以sinB=cosB，即tanB=，由于Be(0,π)，所以B=.（2）在‘ABC中，由cosC11cos2C 2由B=，得sin 2cosB= 1.22所以‘ABC的面积S=acsinB=x3x4x=3.1912分）【答案】（1）证明见解析2）35【解析】（1）证明因为AB2+AD2=BD2，AB2+PA2=PB2，所以，AB」AD，AB」PA，在直角三角形BAD中，经BDA=60，又因为经BDC=60，BD为经ADC的平分线，延长CB、DA交于点F，连接PF，在ΔCDF中，BD」BC，所以，ΔCD所以，点B是CF的中点，因为直线BE//平面PAD，过BE的平面PFC与平面PAD的交线为PF，则BE//PF，因为B是CF的中点，所以，E是PC的中点.（2）在ΔABD中，AD=2，BD=4，AB=2，则经BAD=90，即BA」AD，由已知得经BDC=经BDA=60，CD=8，又平面PAD」平面ABCD，BA一平面ABCD，所以BA」平面PAD，因为PA一平面PAD，即BA」PA，又PA=AD=2，所以ΔPAD为正三角形，取AD的中点为O，连OP，则OP」AD，OP」平面ABCD，以点O为坐标原点，OA、OP所在直线分别为x、z轴，平面ABCD内垂直于直线AD的直线为y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，)，2,y2,z2)分别为平面PBD和平面PCD的法向量，-所以-m.n2所以-m.n则平面PBD2012分）【答案】（1）没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关3）当p=时，f(p3）当X2X22依题意有=故假设不成立，=（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为设随机抽取的4人中至多有1人感染病毒为事件A，则0(1)0(3)41(1)1(3)381108189PA=C4|则0(1)0(3)41(1)1(3)381108189（3）记事件B为：检测了2名成员确定为“感染高危家庭”；事件C为：检测了3名成员确定为“感染高危家庭”； p1=3_3,p2p1=3_3,p2随着p的变化，f(p),f，(p)的变化如下表：pp1f+0_f(p)递增极大值递减综上，当p=时，f(p)最大.2112分）【答案】（1）+=12）存在；点T(4,0)（2）根据题意，直线l的斜率显然不为零，令=m，由椭圆右焦点F(1,0)，故可设直线l的方程为x=my+1，2-422设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且y1+y2=,y1y2=，设存在点T，设T点坐标为(t,0)，由AFBT=BFAT，可得=，AFSΔTFAFTATsin经ATFATBFSΔTFBFTBTsin经BTFBTsin经BTF所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有kAT+kBT=0，则kAT+kBT=+=0，所以y1(x2-t)+y2(x符合题意，即存在点T(4,0)满足题意.2212分）【解析】（1）方程ex-1=常xex-x=lnx+a常ex+lnx-(x+，：:方程f(x)=在x=(0,+伪)有两根x1,x2，令p(t)=ett，则p,(t)=et1：p(t)在te(伪,0)为减函数，在te(0,+伪)为增函数，由t2222222x2（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。，则A（B是()]【答案】C{yy2．已知复数z满足z(3-4i)=4-2i，则z=()【答案】B【解析】因为复数z满足z(3-4i)=4-2i，所以z=--=--=+i，((4)2(2)2【答案】A4．已知角a,β满足sina=-,cos(a+β)sinβ=，则sin(a+2β)的值为()【答案】D【解析】由sina=sin[(a+β)-β]=sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ,可得sin(a+β)cosβ-=-，所以sin(a+β)cosβ=，sin(a+2β)=sin[(a+β)+β]=sin(a+β)cosβ+cos(a+β)sinβ= +=.故选：D.5．第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有A．360种B．480种C．620种D．720种【答案】C【解析】由题意按甲、乙是否被选中分为三种情况：①若甲、乙都未被选中，则不同的安排方案有A=120（种②若甲、乙2人中只有1人被选中，则不同的安排方案有CCCA=360（种③若甲、乙都被选中，则先安排甲，再安排乙，若甲去了网球中心，则不同的安排方案有CA=60（种若甲没有去网球中心，则不同的安排方案有CCCA=80（种）.所以当甲、乙都被选中时，不同的安排方案有60+80=140（种）.由分类加法计数原理可得共有120+360+140=620（种）不同的安排方案.故选：C.6．已知直线l:x+ky-3k-1=0，若无论k取何值，直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点，则r的取值范围是()【答案】A【解析】将直线l:x+ky-3k-1=0化为(x-1)+k(y-3)=0，故直线l恒过定点A(1,3)，又直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点，ABCD【答案】D【解析】：等差数列{an}、{bn}中的前n项和分别为Sn,Tn,=，2aa 2aa :22x2yx2a2b2=1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足F1P//F2Q，且F2Q=2F2P=5F1P，则双曲线C的离心率为()【答案】B【解析】延长QF2与双曲线交于点P因为F1P//F2P,，根据对称性知F1P=F2P,，可得F2P_F1P=3t=2a，即t=a，即P,Q2+FP,2在‘P,F1F2中，由勾股定理得F22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则()A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200【答案】ABD【解析】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600；由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位数为12600，故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，A正确；7这一星期内乙的日步数的平均数为：(11800+12200+12400+12600+7由图知，甲的波动程度较大，故方差较大，故C错误；,乙一星期内的步数从小到大的排列为：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，7x0.25=1.75，故这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200，故D正确；故选：ABD.22【答案】ABD【解析】：l1」l2,:1xb+(a-2)x1=0,:a+b=2，且a>0,b>0，1，当且仅当a=b时等号成立，故A正确；a2222故选：ABD.BCDADCA 1AA1=λ(λ>0)，记平面EFG与平面A1B1CD的交线为l，则()A．存在λE(0,1)使得平面EFG截正方体所得截面图形为四边形B．当λ=时，三棱锥B一EFG体积为C．当λ=时，三棱锥A1一EFG的外接球表面积为34π D．当λ=时，直线l与平面ABCD所成的角的正弦值为【答案】BD【解析】设正方体的棱长为4，以D为原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：对于A选项，λ=1时，G在A点，==，由EF//A1C1可知EF//AC，所以截面EFG即为四边形EFCA；λE(0,1)由图形知，截面EFG为五边形或六边形．故A错误.nn对于B选项，当λ=时，==，所以EG//D1A//C1B，所以C1B//平面EFG，VB_EFG=VC_EFG=VG_CEF，三棱锥B_EFG体积为，故B正确.对于C选项，当λ=时，A1G=A1E且A1B1」平面A1EG，所以根据球的性质容易判断，三棱锥A1_EFG的外接球的球心在过线段EG的中点，所以EG的中点M,0,，可记球心O,t,，F(0,1,4)，52+，解得t=52所以三棱锥A1_EFG的外接球表面积为43π,故C错误. r=，211记平面EFG与平面A1B1CD的交线l的一个方向向量为=(x2,y2,z2)，22=_4x222=_4x2mn12．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g,(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g,(x)=1，f(x)-g,(4-x)=3，若g(x)为奇函数，则()【答案】ABD【解析】已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，因为f(x)+g,(x)=1，f(x)-g,(4-x)=3，可得g,(x)+g,(4-x)=-2，又因为g(x)为奇函数，则g(x)=-g(-x)，可得g,(x)=g,(-x)，即g,(x)为偶函数，所以g,(x)=g,(x+8)，可知g,(x)的周期为8.对于选项A：因为g,(x)+g,(4-x)=-2，f(x)+g,(x)=1令x=2，则g,(2)+g,(2)=-2，f(2)+g,(2)=1，可得g,(2)=-1，f(2)=2，故A正确；对于选项B：因为g,(x)+g,(4-x)=-2，令x=0，可得g,(0)+g,(4)=-2，故B正确；对于选项C：因为g,(x)+g,(4-x)=-2，且g,(x)为偶函数，则g,(-x)+g,(4+x)=-2，令x=-1，可得g,(1)+g,(3)=-2，可得f(-1)+f(3)+g,(-1)+g,(3)=2，可得f(-1)+f(3)=4，但由题设条件无法推出f(-1)=f(-3)，故C错误；对于选项D：因为g,(x)的周期为8，故g,(-4)=g,(4)，故D正确；故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。5的展开式中x3的系数为20，则a的值为.【答案】45可知其展开式的通项为Tr+1=Cx5-r(ax-1)r=Carx5-2r，0<r<5，r=N，又x3的系数为20，即5a=20，a=4.414．设动点P在抛物线y=1x2上，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是(2,0)，则PA+PM的最4小值是.【答案】-1【解析】抛物线x2=4y的焦点F(0,1)，准线方程为y=-1，延长PM交准线于N，连PF，显然PN垂直于抛物线的准线，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，而|AF|=，所以|PA|+|PM|的最小值为-1.f(x)的一个对称中心为,0，一条对称轴为πx=，则负π4【答案】9【解析】因为,0为f(x)的一个对称中心，x=为f(x)的一条对称轴，:16．若函数f(x)=〈-(2在x=1处的切线与f(x)的图像有三个公共点，则a的取值范(1](1]【解析】当x=1时，f(1)=0，所以切点的坐标为(1,0)，所以切线的斜率k=f,(1)=2，所以切线l的方程为：y=2x一2当切线l过点,a一时，切线与l函数f(x)的图象有三个公共点，+a(|（x<相切时，切线l与数f(x)的图象只有两个公点，设切线l：y=2x2与f(x)=x22x+a0处相切，所以k=f,(x0)=一2x02=2，得x0=2，f(四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。1710分）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1，且S1,S2,S4+8成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式：n+1【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d>0，=n+n(n=n+2n(n1)d224又因为S1,S2,S4+8成等比数列，可得S=S1(S4+8)，n1n，+4x22n(4n3)2n+1，所以Tn=(4n7)2n+1+14.1812分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，+=.（1）求B；（2）已知BD为AC边上的中线，cosC=，BD=，求ABC的面积.tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinBsinAcosB所以sinB=cosB，即tanB=，由于BE(0,π)，所以B=. csinC24在ΔBCD中，由余弦定理得，BD2=2所以ΔABC的面积S=acsinB=x3x4x=3.1912分）（1）若BE//平面PAD，证明：点E为棱PC的中点；（2）已知二面角P一AB一D的大小为60。，求：平面PBD和平面PCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析2）【解析】（1）证明因为AB2+AD2=BD2，AB2在直角三角形BAD中，经BDA=60。，又因为经BDC=60。，BD为经ADC的平分线，延长CB、DA交于点F，连接PF，在ΔCDF中，BD」BC，所以，ΔCDF是等腰三角形，所以，点B是CF的中点，因为直线BE//平面PAD，过BE的平面PFC与平面PAD的交线为PF，则BE//PF，因为B是CF的中点，所以，E是PC的中点.（2）在ΔABD中，AD=2，BD=4，AB=2，则经BAD=90。，即BA」AD，由已知得经BDC=经BDA=60。，CD=8，又平面PAD」平面ABCD，BA一平面ABCD，所以BA」平面PAD，因为PA一平面PAD，即BA」PA，又PA=AD=2，所以ΔPAD为正三角形，取AD的中点为O，连OP，则OP」AD，OP」平面ABCD，以点O为坐标原点，OA、OP所在直线分别为x、z轴，平面ABCD内垂直于直线AD的直线为y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以,y2,z2)分别为平面PBD和平面PCD的法向量，则则2y1-所以-m.n所以-m.n则平面PBD2012分）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090（1）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；（2）以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立．记：该家庭至少检测了2