黄金卷（试卷含解析）-备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=()A．60B．652226．定义在R上的奇函数f(x)，对任意0<x1<x2都有<1，若f(1)=1，则不等式f(x)-x>0的解集是()7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点P为椭圆上的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，则点P处的切线平分人F1PF2外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆C:+=1，O为坐标原点，l是点P(2,)处的切线，过左焦点F1作l的垂线，垂足为M，则OM为()8．已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则.的最小值为()二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。B.3函数f(x)的图象关于,0对称函数f(x)在,的值域为[-2,] 14个单位要得到函数g(x)=Acos(负x+Q)的图象，只需将函数f(x) 14个单位10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，经ADC=60。，ΔPAD为正三角形，O为AD的中点，且平面PAD」平面ABCD,M是线段PC上的一点，则以下说法正确的是()A．OM」PDC．若点M为线段PC的中点，则直线OM//平面PABD．若=，则直线AM与平面PAB所成角的余弦值为11．下列式子中最小值为4的是()B．2x+22-xD．4ln12．已知拋物线E:x2=2py(p>0)，过其准线上的点A(-1,-1)作E的两条切线，切点分别为B,C，则下列说法正确的是()A．抛物线E的方程为x2=2yB．AB」ACC．直线BC的斜率为-D．直线BC的方程为x+2y-2=0第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm-1在区间(0,+m)上单调递减，则m=.14．已知圆M的圆心在直线y=-x-3上，且过(1,-2)，(-1,0)，则圆M的方程为.n)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为.16．已知函数f(x)=〈(|xx<0，若关于x的方程f2(x)-2f(x)+2m-1=0恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn=nan，且a2=3.(1)求数列{an}的通项公式；18．在‘ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=2cosC.(2)CD是经ACB的角平分线，若CD=，c=2，求‘ABC的面积.A1D(1)求证：平面CMD」平面ABB1A1；(2)求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；20．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14]，(14,16],(16,18]分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：假设每个组内的数据是均匀分布的.(1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)；(2)从个人所得税在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在(14,18]内的员工人数为Y，求Y的数学期望与方差.,0，PF1边上的中线长与PF2边上的中线长之和为6，记△PF1F2的重心G的轨迹为曲线C.(2)若圆O:x2+y2=1,E(0,-1)，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交于点A,B，直线EA,EB与曲线C的另一个交点分别是点M,N，求‘EMN面积的最大值.22．已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0，其中a>0.(1)求a的值；(2)若对任意的xe[0,+伪)，有f(x)<kx2成立，求实数k的最小值；（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678CDBDBCAA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9ACDBCDBCBCD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。22四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。1710分）【答案】【答案】(1)an=3(n-1)(2)证明见解析【分析】（1）根据数列递推式2Sn=nan，利用an=Sn-Sn-1(n>2)可得an+1an首项，即可求得答案；（2）由（1）可得bn=【详解】（1）由题意对任意正整数n，有2Sn=nan，,:a1=0；n+1-nan，n的表达式，利用错位相减法可求得Tn，即可证明结论.2n,利用累乘法，结合验证nn12故T=43n+4，由于nEN*，故3n+4>0，n2n2n1812分）【答案】【答案】(1)；(2)2.【分析】（1）由正弦边角关系及已知得cosC=，即可得角C；应用面积公式求面积.又CE(0,π)，所以C=.a22c22ab（2）在ABC中，cosC=22ab 1912分）【答案】(1)证明见解析(2)234【分析】（1）证明CM」AB,CM」AA1，推出CM」平面ABB1A1，进而可得结论；（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；）：：CM」AB，AA1」平面AB：平面CMD」平面ABB1A1；（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(0,4a,0),D(a,3a,4a),M(2a,2a,0)，设面设面BDC的法向量=(x,y,z)，设直线CM与平面CBD所成角为θ, 所以二面角B一CDM的余弦值为 sinc=cosmn=234-m--,202012分）【答案】(1)9.3百元(2)分布列见解析，E(X)=【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得a，利用中位数计算公式计算即可.（2）求得X的所有可能取值和对应的概率即可得到分布列，再由数学期望公式计算即可.（3）由题意得Y~B(100,0.10)，由二项分布的数学期望与方差公式直接计算即可.【详解】（1）设这500名在职员工的个人所得税的中位数为a，65所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为9.3百元.若现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3，所以X的分布列为：002PP(X=k)1616112 331301301312=从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，恰有k(0<k<100,keN)个员工的年个税在(14,18]内的分布列服从二项分布Y-B(100,0.10)，即Y的数学期望与方差分别为10,9.2112分）(2)【分析】（1）根据椭圆的定义求得曲线C的方程.（2）直线EM为y=kx-1，通过联立方程组等求得M,N两点的坐标，求得‘EMN面积的表达式，利用换元法以及函数的单调性求得‘EMN面积的最大值.F所以G点的轨迹是以F1F2为焦点，长轴长2a=4的椭圆．所以a=2，所以c=，b=1，所以曲线C的方程为.（2）设直线EM为y=kx-1（不妨设k>0设M(x1,y1)，N(x2,y2)，2(k2x2-2kx+1)-4=0，(4k2+1)x2-8kx=0，解得x1=4k由于AB是单位圆的直径，所以AE」BE，所以直线EN的斜率为-，直线EN的方程为y=-x-1，同理可求得x2=8222(0,-1)，22101010222则5s32 s3265 所以当s=2时，SΔEMN取得最小值为4根2+25.【点睛】关键点睛：在圆锥曲线中，求解三角形面积最值、范围等的有关问题，关键点有两点，第一点是求得三角形面积的表达式，可考虑根与系数关系、点到直线的距离公式等等来进行求解；第二点根据面积的表达式，使用基本不等式、二次函数等知识求得面积的最值或取值范围.当且仅当k= EMN2212分）【答案】【答案】(1)1；(3)证明见解析.【分析】（1）对f(x)进行求导，已知f(x)最小值为0，可得极小值也为0，得f,(0)=0，从而求出a的值；（2）由题意任意的xE[0,+m)，有f(x)<kx2成立，可以令g(x)=kx2-f(x)先通过g(0)=0，g(1)>0大致确定k取值范围，再利用分类讨论法求出g(x)的最值；2-\fx)在(-a,1-a)单调递减，在[1-a,+伪)单调递增，:f(x)min=f(1-a)=0,:a=1；(*)，:k之,:；（3）由（2）知：令k=得：x-ln(x+1)<x2，当i=1时，2-ln3=2-ln3(1)；-将(1)(2)(3),......,(n)式相加得：.【点睛】方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值.（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。【答案】【答案】C【分析】先化简集合集合U,B，从而利用集合交并补运算即可得解.故选：C【答案】【答案】D【分析】先根据复数的四则运算化简复数，再计算模长即可.【分析】先根据复数的四则运算化简复数，再计算模长即可.故选：故选：D【答案】【答案】B【分析】根据向量的共线求得【分析】根据向量的共线求得m的值，结合与方向相反确定m，根据向量的投影向量的定义即可求得答案.又因为且与方向相反，故m=一2，--(42)故选：B4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=()A．60B．65【答案】【答案】D【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】因为甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，由6根30%=1.8，得第30百分位数是第2个数据，故31=n,由6根50%=3，得第50百分位数是第3与4个数据平均值故选：D.22k，tanβ=3k，则k=()222【答案】【答案】B【分析】根据题意分析可得C一β=，利用两角和差公式结合指数幂运算求解.kk23即3k=3，解得k=.故选：故选：B.6．定义在R上的奇函数f(x)，对任意0<x1<x2都有f(一1(x1)<1，若f(1)=1，则不等式f(x)一x>0的解集是()【答案】【答案】C【分析】构造g(x)=f(x)一x，确g(x)在(0,+伪)上单调递减，g(x)为奇函数，得到g(x)>0，解得答案.xx设g(x)=f(x)一x，故g(x2)<g(x1)，g(x)故选：C.f(x2)一f(x1)217．古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点P为椭圆上的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，则点P处的切线平分经F1PF2外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆C:+=1，O为坐标原点，l是点P(2,)处的切线，过左焦点F1作l的垂线，垂足为M，则OM为()【答案】【答案】A【分析】延长【分析】延长F1M、F2P交于点N，分析可知，则M为F1N的中点，且PF1=PN，利用中位线的性质结合椭圆的的定义可求得合椭圆的的定义可求得OM的值.【详解】如下图所示：【详解】如下图所示：延长F1M、F2P交于点N，由题意可知经F1PM=经NPM，又因为又因为PM」F1N，则M为F1N的中点，且PF1=PN，又因为O为F1F2的中点，则OM故选：故选：A.8．已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则.的最小值为()【答案】【答案】A【分析】通过基底法，得到.=|2一|2，再通过立体图得到OA的值以及PO的最小值，最终代入数据得到最小值.【详解】如图AB为棱长为2的正方体外接球的一条直径，O为球心，P为正方体表面上的任一点，则球心则球心O也就是正方体的中心，所以正方体的中心O到正方体表面任一点P的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1，AB的长为正方体的对角线长，为2，我们将三角形PAB单独抽取出来如下图所示：222223，所以.的最小值为123=2.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。B.3函数f(x)的图象关于,0对称函数f(x)在,的值域为[一2,] 14个单位要得到函数g(x)=Acos(Φx+Q)的图象，只需将函数f(x) 14个单位【答案】【答案】ACD【分析】先由图象信息求出f(x)表达式，从而即可判断A；注意到(x0,0)是f(x)=2sin(|（2πx+的对称中心当且仅当f(x0)=2sin+=0，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.【详解】如图所示：又函数图象最高点为,2，所以 π 6 π 2由题意|Q|<，所以只能k=0,Q=，f(x0)=2sin但f=2sin+=产0，从而函数f(x)的图象不关于,0对称，故B选项错误；而函数y=2sint在,上单调递减，在,上单调递增，所以函数f(x)在,的值域为[-2,]，故C选项正确；选项正确.故选：ACD.10．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，经ADC=60。，‘PAD为正AD的中点，且平面PAD」平面ABCD,M是线段PC上的一点，则以下说法正确的是()A．OM」PDC．若点M为线段PC的中点，则直线OM//平面PABD．若=，则直线AM与平面PAB所成角的余弦值为【答案】【答案】BCD【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB，由线面平行的判定定理即可判断C，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.【详解】连接OC，因为底面ABCD是边长为2的菱形，经ADC=60。，又‘PAAD」CO，又POnCO=O，PO,CO一平面POC，所以AD」平面POC，又OM一平面POC，所以AD」OM，又AD//BC，所以OM」BC，故B正确；当点M为线段PC的中点时，取BP的中点N，连接MN,AN，则MN//BC，且MN=BC，又O为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，所以AO//BC，且AO=BC，所以MN//AO，且MN=AO，所以四边形AOMN为平行四边形，所以OM//AN，又OM丈平面PAB，AN一平面PAB，所以OM//平面PAB，故C正确；因为平面PAD」平面ABCD，‘PAD为正三角形，O为AD中点，所以PO」AD，平面PAD（平面OD（OP=O，OD,OP一平面OPD，所以OC」平面OPD，又PD一平面OPD，所以OC」PD，显然PD与平面OPC不垂直，故当点M运动到点C位置时，才有OM」PD，故A错误；12与平面PAB的夹角为θ,则----n.AMn.----AM 1-sin2θcosθ=)，设平面PAB，设直线AM所以直线故选：故选：BCD11．下列式子中最小值为4的是()B．2x+22-xD．4ln【答案】【答案】BC【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解；对于D：取特值x=0代入检验.【详解】对于选项A：因为sin2x>0，则sin2x+之2=4，但sinx子土2，所以sin2x当且仅当2x=22-x，即x=1时，等号成立，所以所以2x+22一x的最小值为4，故B正确；对于选项C：因为sin2x,cos2x>0，2xsin2x+cos2x)2x2x故选：故选：BC.12．已知拋物线E:x2=2py(p>0)，过其准线上的点A(一1,一1)作E的两条切线，切点分别为B,C，则下列说法正确的是()A．抛物线E的方程为x2=2yB．AB」AC【答案】【答案】BCD【分析】由准线所过点求得p得抛物线方程，判断A，设直线y+1=k(x+1)，代入抛物线方程后应用韦达定理判断B，设B(x1,y1)，C(x2,y2)，利用选项B中斜率k1,k2表示出B,C两点坐标，计算斜率判断C，利用韦达定理得出线段BC中点坐标得直线方程判断D.【详解】因为A(一1,一1)在准线上，所以准线方程为y=一1，所以p=2，抛物线E的方程为x2=4y，故A错误；设AB,AC的斜率分别为k1,k2，易知k1,k2是上述方程的两根，故k1+k2=一所以AB」AC，故B正确；2+-m-32求解.22222x2k22=故选：BCD.22-2x1x2第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm-1在区间(0,+m)上单调递减，则m=.【答案】【答案】-1【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.【详解】由幂函数的定义知，m2-2m-2=1，即m2-2m-3=0，解得m=3或m=-1，当m=3时，f(x)=x2在区间(0,+m)上单调递增，不符合题意，当m=-1时，f(x)=x-2在区间(0,+m)上单调递减，符合题意，所以m=-1.故答案为：-114．已知圆M的圆心在直线y=-x-3上，且过(1,-2)，(-1,0)，则圆M的方程为.【分析】根据圆M的圆心在直线y=-x-3上，设圆心为(m,-m-3)，再根据圆过点(1,-2)，(-1,0)，由【详解】解：因为圆【详解】解：因为圆M的圆心在直线y=-x-3上，且过(1,-2)，(-1,0)，n)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为.【答案】【答案】7【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，n=6，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解.【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故n=6，xr6-rx6-r，当r是偶数时该项为有理项，:r=0,2,4,6时，项为有理项，共有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为P=2=.7故答案为：C2C7216．已知函数f(x)=〈|x，若关于x的方程f2(x)-2f(x)+2m-1=m的取值范围为.【分析】先利用导数研究x>0时f(x)的性质，作出f(x)的图象．若关于x的方程f2(x)-2f(x)+2m-1=0恰有4个不同实数根，令t=f(x)，通过分析可得h(t)=t2-2t+2m-1=0有2个不等实根t1,t2，且2=(0,1)，数形结合即可建立关于m的不等式组，即可求解.所以当x=(0,1)时，f¢(x)>0，f(x)单调递增，f(x)单调递减，根据题意可作出f(x)的图象如下：若关于x的方程f2(x)-2f(x)+2m-1=0恰有4个不同实数根，令t=f(x)，h(t)=t2-2t+2m-1，则h(t)=t2-2t+2m-1=0有两个不等实数根t1,t2，故y=t1,y=t2与f(x)都有2个交点，或者y=t1与f(x)有1个交点，y=t2与f(x)有3个交点；当y=t1,y=t2与f(x)都有2个交点，根据图象可得t1=t2=1，不满足t1产t2，舍去；当y=t1与f(x)有1个交点，y=t2与f(x)有3个交点， 2 2两个实数根的范围为t1e(1,+伪),t所以实数m的取值范围为,1.【点睛】关键点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想，作出函数的图象，通过图象得到y=t1与f(x)有1个交点，y=t2与f(x)有3个交点，并通过分析得到t1e(1,+伪),t2e(0,1).四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn=nan，且a2=3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明见解析nn,利用累乘法，结合验证首项，即可求得答案；（2）由（1）可得bn=的表达式，利用错位相减法可求得Tn，即可证明结论.【详解】（1）由题意对任意正整数n，有2Sn=nan，n12故T=43n+4，由于neN*，故3n+4>0，n2n2n18．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=2cosC.443【答案】【答案】(1)；(2)2.【分析】（1）由正弦边角关系及已知得cosC=，即可得角C；（2）由余弦定理得=a2+2b12，由S‘ABC=S‘ACD+S‘BCD及面积公式得ab=a+b)，求得ab=8，进而应用面积公式求面积.又Ce(0,π)，所以C=.（2）在‘ABC中，cosC=a22c22ab22ab①,又S‘ABC=S‘ACD+S‘BCD，由①②得：ab=8，所以S‘ABC=2. A1D(1)求证：平面CMD」平面ABB1A1；(2)求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；【答案】(1)证明见解析(2)234【分析】（1）证明CM」AB,CM」AA1，推出CM」平面ABB1A1，进而可得结论；（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；）：：CM」AB，AA1」平面AB：平面CMD」平面ABB1A1；（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(0,4a,0),D(a,3a,4a),M(2a,2a,0)，设面BDC的法向量=(x,y,z)，设直线CM与平面CBD所成角为θ,-所以二面角所以二面角B一CDM的余弦值为.20．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14]，(14,16],(16,18]分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：假设每个组内的数据是均匀分布的.(1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)；(2)从个人所得税在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在(14,18]内的员工人数为Y，求Y的数学期望与方差.【答案】【答案】(1)9.3百元(2)(2)分布列见解析，E(X)=【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得a，利用中位数计算公式计算即可.（2）求得X的所有可能取值和对应的概率即可得到分布列，再由数学期望公式计算即可.（3）由题意得Y-B(100,0.10)，由二项分布的数学期望与方差公式直接计算即可.【详解】（1）设这500名在职员工的个人所得税的中位数为a，所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为9.3百元.若现从这10人中随机抽取3人，记年个税在(14,16]内的员工人数为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3，所以X的分布列为：65002PP(X=k)1616112 331301301312=从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，恰有k(0<k<100,keN)个员工的年个税在(14,18]内的分布列服从二项分布列服从二项分布Y~B(100,0.10)，即Y的数学期望与方差分别为10,9.,0，PF1边上的中线长与PF