专题01 五大类解三角形题型（试卷含解析）-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）

专题01五大类解三角形题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）三角形周长定值及最值】三角形涉及中线长问题】三角形周长定值及最值：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值C已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2cos2C2(Ⅱ)若c=2,ab=4，求ΔABC的周长.+cos2(A+B)1=0.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，(a-b+c)(a+b-c)=bc.（1）求A；在‘ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=2.(2)若ab=20,且a+b=9,求‘ABC的周长.在‘ABC中，a+b=2c，且3ccosC-2acosB=2bcosA（2）若S‘ABC=，求‘ABC的周长.(1)证明：‘ABC是锐角三角形；(2)若a=2，求‘ABC的周长.2．‘ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,=.(2)若a+b=6，求‘ABC的周长最小值.(1)求fπ的值；(2)已知a,b,c分别为‘ABC中角A、B、C的对边，且满足a=,f(A)=1，求‘ABC的周长l的最大值.4．‘ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB-2bcosA=b+c.(1)求cosA；(2)若a=，‘ABC的面积为2，求‘ABC的周长.5．在锐角‘ABC中，a=2，(2b-c)cosA=acosC，(1)求角A；(2)求‘ABC的周长l的范围.6．记‘ABC的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bsinAsinB=1一cos2B.(2)若A=，求‘ABC的周长l的取值范围.(2)若a<b且三个内角中最大角是最小角的两倍，当‘ABC周长取最小值时，求‘ABC的面积.328．在‘ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A32(1)求角A的大小；(2)若a=1，求‘ABC的周长l的取值范围.三角形涉及长度最值问题解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值在‘ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.(1)求B；sinA+sinBsinC(2)若‘ABCsinA+sinBsinC在‘ABC中，已知=，且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.(1)试确定‘ABC的形状；b(2)求a+c的值.b已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.在(1)求A的值；(2)若b=1，求a+c的取值范围.在锐角‘ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为ccosB+bcosC=2acosA.(1)求角A的大小；(2)当a=时，求的取值范围.已知‘ABC为锐角三角形，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(b2+c2-a2)tanA=bc.(1)求角A的大小；(2)若a=，求2b-c的取值范围.1．在锐角三角形‘ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2)若b=2，求a2+c2的取值范围. (acosC+ccosA)=2bsinB.2．已知‘ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a=2,bsinB+csinC-2sinA=-bsinC.(1)求角A的大小；(2)已知AD是‘ABC的中线，求AD的最小值.3．在锐角‘ABC中，已知b=2,2a-c=2bcosC.(1)求B；(2)求3a+2c的取值范围.且与垂直，c=2.(1)求角A；(2)求a+b的取值范围.5．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinB-bcosA=b.(1)求A；(2)若a=2，求b-2c的范围.6．已知在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos(B-C)+acosA-2csinBcosA=0.(1)求A；(2)若ΔABC外接圆的直径为23，求2c-b的取值范围.7．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB-bcosA-a+c=0.(1)求B的值；(2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.8．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中sinB=2sinA，c=2a+1(2)若ΔABC为钝角三角形，求a的取值范围.三角形涉及中线长问题①中线长定理两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）如：在ΔABC与ΔABD同用cosB求AD②中线长常用方法②中线长常用方法AB2+AC22=AD2③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴<AD＜半长轴‘ABC中，AB=2，AC=，cosB=，则BC边上的中线AD长.在‘ABC中，AB=2，AC=4．BC边上的中线AD=2，则SΔABC=. 1,,4AB=4,AC=2，则BC边上中线AD的长为.(1)求角A的大小；(2)已知AD是ΔABC的中线，求AD的最小值.中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为ΔABC的面积）.问题：在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线BD=，求ΔABC的面积的最大值.csinB；这三个条件(2)求AC边上的中线BD的取值范围.(2)若a=1，求BC边上的中线AD的长.5．已知ΔABC的内角A，B，C的对边分(1)求A；6．在锐角‘ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.在以上三个条件中选择一个，并作答.(1)求角A；(2)已知‘ABC的面积为，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.7．记‘ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为S，已知b2=+abcosC.(1)求A的值；(2)若BC边上的中线AD=1，求‘ABC周长的最小值.8．已知‘ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，且b=1，D为AB边上一点，且经ADC=(1)若CD为中线，且(1)若CD为中线，且CD=(2)若CD为经ACB的平分线，且‘ABC为锐角三角形，求a的取值范围. π .3三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，经BAD=a,经CAD=βclsina+blsinβ在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点D在BC边上，sin经BAC=，AD」AC，则4b+a的最小值为.则4a+c的最小值为.(2)若经ABC的平分线交AC于D，且a=12，求线段BD的长度的取值范围.2．如图,在‘ABC中,经CAB的平分线交BC边于点E,点D在AB边上,AE=7,AD=3,cos经CAE=(1)求经ADE的大小;(2)若经ACB=,求‘CDE的面积.3．已知‘ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=si.(1)求A；(2)若角A的平分线AD交BC于点D，且AD=2，求‘ABC面积的最小值.4．在‘ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若a=3，经BAC的平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值.5．已知‘ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且=,=.AD(1)若经ACB的平分线与边AB交于点D，求的值；ADc(2)若a=2，点M,N分别在边AC,BC上，‘CMN的周长为5，求MN的最小值.6．如图，在平面四边形ABCD中，经A=135。，AB=2，经ABD的平分线交AD于点E，且BE=2.(1)求经ABE及BD；(2)若经BCD=60。，求ΔBCD周长的最大值.7．‘ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos2(B+C)=1，经A的平分线交BC边于D，过D作DE」AC，垂足为点E.(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求AE的长.8．已知条件：①2a=b+2ccosB；②2asinAcosB+bsin2A=2acosC；③sinC=3-2cos2C.2从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在‘ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：.(2)若c=2，经ABC与经BAC的平分线交于点I，求ΔABI周长的最大值.：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式2222-b2=2accosB22-b2=2accosB22-a2=2bccosA牵b22秒杀方法：则：SΔABCmax已知B=θ,AC=x2max.sinB8xsinθm,n分别是BA、BC的系数2Rxsinθm,n分别是BA、BC的系数2R=三角形面积公式bcsinA①SΔABC=absinC,SΔABC=acsinB,SΔABCbcsinA推导：将ΔABC分为三个分别以ΔABC的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式abc4R③SΔABC=2R2sinAsinBsinabc4R（R为ΔABC外接圆的半径）推导：将a=2RsinA代入SΔABC=a2可得SΔABC=2R2sinAsinBsinC将a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC代入SΔABC=④SΔABC=a2,SΔABC=b2,SΔABC=c2推导：根据余弦定理的推论cosC=:SΔABC=absinC=ab=ab牵(2ab)2-a2b=2，则ΔABC的面积为() 的内切圆的半径为()C外接圆的面积为()在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=600,AC=3，则ΔABC的面积最大值为ΔABC中，角A,B,C的对边分别为A,B,C，且asinA-csinC=(a-b)sinB，c=2，则ΔABC面积的最大值为()1．‘ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其面积为S，且4S=b2+c2-a2.(1)求A；(2)已知a=2，求S的取值范围. 2π2．如图，在四边形ABCD中， 2πB=，且‘ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=4，AD=2，求‘ACD的面积；(2)若D=，求BC-AD的最大值.3．已知‘ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=s.(1)求A；(2)若角A的平分线AD交BC于点D，且AD=2，求‘ABC面积的取值范围.4．在‘ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosC=(1)求角A的大小；(2)若‘ABC的周长为6，求‘ABC面积S的最大值.2b-c.2a5．已知‘ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，bsin=asinB.(1)求经A；(2)若BC边上一点D，满足BD=2CD且AD=，求‘ABC的面积最大值.6．在‘ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(a+b+c)(a+b-c)=ab.(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°,求△ABC面积的最小值.7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b(1)求角B的大小；(2)若b2+3c2=12-5ac，求△ABC面积的最大值.-b2C8．已知‘ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosA=b+.(2)若AC=BC=2，点M、N在边AB上，经MCN=，求‘CMN面积的最小值.2专题01五大类解三角形题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）三角形周长定值及最值】三角形涉及中线长问题】三角形周长定值及最值：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值C已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2cos2C2(Ⅱ)若c=2,ab=4，求ΔABC的周长.CC+cos2(A+B)1=0.5(Ⅱ)第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和2（1）求A；解1）求角（2）第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度π.3,sinAsinBsinC在‘ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=2.锐角，所以cosC=1.⑵第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和c222-2abcosC=41-2x4x5x（2）若SΔABC=，求ΔABC的周长.：3ccosC-2acosB=2bcosA，:由正弦定理得，2.3（2）第一步：求两边乘积 ，：，：:SΔABC=absinC=ab=，:ab=9第二步：利用余弦定理求出两边之和在ΔABC中，由余弦定理得，c2=a2+b2-2ab.cosC=a2+b2-ab=(a+b)2-30，【答案】(1)证明见解析(2)3+2）：:由正弦定理得(a+c)2=b2+3ac，整理得a2+c2-b2=ac.:由余弦定理得cosB==.：Be(0,π)，:B=.：cosA=e,，Ae(0,π)，:Ae,，:Ce,,:A,B,C均小于，:ΔABC是锐角三角形.（2）QcosA=，:sinA=，【答案】(1)C=(2)9整理得a2+b2-c2=ab，（2）由（1）可知：a2+b2-c2=23则c2=36-3ab所以ΔABC的周长最小值9.(1)求fπ的值；【答案】(1)f=-(2)3:2A+=:A=：a=,:由余弦定理有()2=b2+c2-2bccos，2,:b+c<2（当且仅当b=c时取“=”(1)求cosA；(2)若a=，ΔABC的面积为2，求ΔABC的周长.【答案】(1)-(2)5+所以由正弦定理可得sinAcosB-2sinBcosA=sinB+sinC.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以-3sinBcosA=sinB.2(1)求角A；(2)求ΔABC的周长l的范围.【详解】（1）∵(2b-c)cosA=acosC，:2bcosA=acosC+ccosA，所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB， ）：所以B+e(,)，所以sin(B+所以le(6+2,6].6．记ΔABC的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b(2)若A=，求ΔABC的周长l的取值范围.【答案】(1)a=2(2)(4,6]【详解】（1）因为bsinAsinB=1-cos2B，所以bsinAsinB=2sin2B，根据正弦定理可得ba=2b，所以a=2.所以由余弦定理可得b2+c2-bc=4，即(b+c)2-3bc=4.所以b+c<4，当且仅当b=c=2时，取到最值 解法二：由正弦定理知，sinB 因为A=，所以Be(0,)，所以B+e(,)，故‘ABC的周长l的取值范围为(4,6].(2)若a<b且三个内角中最大角是最小角的两倍，当‘ABC周长取最小值时，求‘ABC的面积.【答案】(1)2(2)622解得：c=a(舍)或者c=a，故b=a，因为a,b,cEN*，所以当a=4时，周长最小，此时a=4，b=5，c=6，cosA所以sinA==，所以‘ABC的面积为bcsinA=x5x6x=.328．在‘ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A32(1)求角A的大小；(2)若a=1，求‘ABC的周长l的取值范围.=2cosA.【答案】(1)(2)(2,3]32【详解】（1）解：因为cos2A32=2cosA，可得2cos2A+=2cosA， 12 π 12 π.3又因为AE(0,π)，所以A=所以2<1+2sin(B+π)<3，故‘ABC的周长的取值范围为(2,3].三角形涉及长度最值问题解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值在‘ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.(1)求B；sinC(2)若‘ABCsinC破解：（1）第一步：因为2a+bcosA一c=btanBsinA，整理得（2）第一步：因为‘ABC为锐角三角形，B=，所以0<C<，且0<一所以Ce,，sinCsinC ，2 sinCsinC 2+=.221cosC1+，2 (1)试确定‘ABC的形状；bb破解1）第一步：在‘ABC中，设其外接圆半径为R，所以sinAsinB=sin2C，由正弦定理，得.=2，所以ab=c2②,把②代入①得，b2一a2=c2，所以‘ABC是直角三角形；第二步：又ab=c2，所以2第二步：又ab=c2，所以2 =55-12.(1)求A的值；(2)若b=1，求a+c的取值范围.：：:2A+=.:A=.sinAsinBsinCsinAsinBsinC：：22sinBsinB2sinB24sincos22tan2第三步：：ΔABC是锐角三角形，:0<B<，且C=-B<.:B=,，=,,ππ. (+1)(+1)|2l3在锐角‘ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为ccosB+bcosC=2acosA.(1)求角A的大小；(2)当a=时，求的取值范围.破解1）第一步：由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA，所以sin(C+B)=2sinAcosA，即sinA=2sinAcosA，第二步：因为sinA丰0，所以cosA=，又Ae(0,π)，所以A=π第二步：因为‘ABC为锐角三角形，所以Be(,)，则B-e(-,)，已知‘ABC为锐角三角形，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(b2+c2-a2)tanA=bc.(1)求角A的大小；(2)若a=，求2b-c的取值范围.破解1）第一步：在‘ABC中，由余弦定理得，b2+c2-a2=2bccosA，-a2)tanA=2bccosAtanA=2bcsinA=bc，所以sinA= ,2第二步：又因为‘ABC为锐角三角形，所以0<A<，所以A= π .3. 2π第二步：因为‘ABC为锐角三角形，所以〈，解得π 2π|0<C=2π-B<π6所以2b-c的取值范围为(0,3).1．在锐角三角形‘ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2)若b=2，求a2+c2的取值范围.【答案】(1)B=由正弦定理边化角可得(sinAcosC+sinCcosA)=2sinBs所以sinB=，又B为锐角，则B=； 2=16-8cos2A-8cos2C=16-8cos2A-8cos2(|(π-A-|2ππ|2ππ 2所以a2+c2的取值范围为(20,24].(1)求角A的大小；(2)已知AD是ΔABC的中线，求AD的最小值. 【答案】(1)(2)（2）因AD是ΔABC的中线，故A=(A+A),两边平方可得：A2=(A2+A2+2A.A)，又因b2+c2=4bc(1)求B；(2)求3a+2c的取值范围.a（2）由正弦定理sinA 3，ππππ:ΔABC是锐角三角形，:<A<，:ππππ且与垂直，c=2.(1)求角A；(2)求a+b的取值范围.【详解】（1）因为与垂直，即2cosAsinA-cosA+cos2A=cosAsinA-cos2A+cos2A=0，即sin2A-(1+cos2A)+cos2A=0，即sin2A+cos2A=， 2sinC2sincossintan ，根据三角形‘ABC是锐角三角形得〈，根据三角形‘ABC是锐角三角形得〈，tantantantan5．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinB-bcosA=b.(1)求A；(2)若a=2，求b-2c的范围.【答案】(1)A=（2）因为===，则b-2c=(sinB-2sinC)，2π2π3 26．已知在‘ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos(B-C)+acosA-2csinBcosA=0.(1)求A；(2)若‘ABC外接圆的直径为2，求2c-b的取值范围.【答案】(1)A=(2)(-3,6)asinBsinC=sinBcosA，由正弦定理可得sinAsinBsinC=sinCsinBcosA，因为sinC>0,sinB>0，所以sinA=cosA，所以tanA=，因为A=(0,π)，所以A=.故2c-b=4sinC-2sinB=2(2sinC-sinB)，2π(2π)2π(2π)所以2c-b=6sin(|（C-=(-3,6)，所以2c-b的取值范围为(-3,6).7．在‘ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB-bcosA-a+c=0.(1)求B的值；(2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理及acosB-bcosA-a+c=0，得sinAcosB-sinBcosA-sinA+sinC=0，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以2sinAcosB-sinA=0， π .3----1---1---（2）由M为AC的中点，得BM=2BA+2BC，而a+c=4，22222+accosB=2-2=a所以BM的最小值为.(2)若ΔABC为钝角三角形，求a的取值范围.【详解】（1）由sinB=2sinA及正弦定理，则b=2a. 三角形涉及中线长问题①中线长定理两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）如：在ΔABC与ΔABD同用cosB求AD②中线长常用方法②中线长常用方法AB2+AC22=AD2③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴<AD＜半长轴‘ABC中，AB=2，AC=，cosB=，则BC边上的中线AD长.解：法一：两次余弦定理由余弦定理得：cosB=c2b2=4+4x2-64x2-27 8x8x8由余弦定理得：AD2227法二：一次余弦定理+一次中线长定理由余弦定理得：cosB=c2b2=4+4x264x227 8x8x8在ΔABC中，AB=2，AC=4．BC边上的中线AD=2，则SΔABC=解：中线常用方法设BD=DC=x，2ΔABC中222ΔABC中2222 ,4 1,,4解：中线常用方法AB=4,AC=2，则BC边上中线AD的长为.3AD2+DB2AB2x2122AD.DB2x2AD.DB2x2x(1)求角A的大小；(2)已知AD是ΔABC的中线，求AD的最小值.【答案】(1)(2)b2 b22a2bc ，因（2）因AD是ΔABC的中线，故=(+),两边平方可得：2=(2+2+2.)，即||2=(c2, 又因b2+c2=4bccsinB；这三个条件csinB；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为ΔABC的面积）.问题：在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线BD=，求ΔABC的面积的最大值.【答案】(1)(2)2.22b2若选②：由2S=..，可得acsinB=ccosB，所以tanB=，若选③：因为bcosC=a一csinB，正弦定理得sinBcosC=sinA一sinCsinB， 33综上所述：选择①②③,都有B= π .32（2）解：由2BD=BA+BC，可得4BD=c2+a2+2则ΔABC的面积的最大值为.(2)求AC边上的中线BD的取值范围.又Be(0,π)，所以sinB=，所以S△ABC=acsinB=；（2）因为2acosB=c，由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+所以sinAcosB=cosAsinB，所以tanA=tanB，又A,Be(0,π)，所以A=B，所以a=b，)，则2=a22(3)(3)(2)若a=1，求BC边上的中线AD的长.2【答案】(1)B=(2)AD=12cosBsinBtanCtanAcosBsinC+cosCsinBsinC2cosAsinAsinAsinBsinC由正弦定理可得a2=2bccosA，2又∵a2=b2+c22bccsinA22bc（2）∵sin2A=2cosAsinBsinC，22，222，2 25．已知ΔABC的内角A，B，C的对边分(1)求A；【答案】(1)A=(2)AD=由正弦定理得2sinAcosB=2sinC+sinB，即2sinAcosB=2sin(A+B)+sinB，即2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB+sinB，所以2cosAsinB+sinB=0，2bc，即16=20bc，所以bc=4，因为AD为ΔABC中BC边的中线，26．在锐角ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.在以上三个条件中选择一个，并作答.(1)求角A；(2)已知ΔABC的面积为，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.(2)cosCsinCsinBcosC+cosBsinCsinBcosB=sin2B，33即sin2B因为A、=sin2B2sinAsin2B3即tanBtanC=(1tanBtanC) π .3.（2）解：因为SΔABC=因为D为BC的中点，=A+A)，所以，2A=A+A，因此，AD长的最小值为.7．记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为S，已知b2=+abcosC.(1)求A的值；(2)若BC边上的中线AD=1，求ΔABC周长的最小值.【答案】(1)(2)2【详解】（1）∵ΔABC面积为SS=得b2=absinC+abcosC，b=a由正弦定理得：sinB=sinAsinC+sinAcosC，sinAcosC=sinAsinC+sinAcosC， π. π.3（2BC边上中线AD=12A=A+=4，b222且b2+c24343π3π3a222_bc=4_2bc，:a=4_2bc，f_21 +=24_2x24+x 4_2x_24+x24_2x4+x,设g(x)=4_2x_24+x，_21 _<_21 _<:g(x)在(|（0,单调递减，则f(x)最小值为f=2，故ΔABC周长最小值为2. π.38．已知ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，且b=1，D为AB边上一点，且经ADC= π.3(1)若CD为中线，且(1)若CD为中线，且CD=(2)若CD为经ACB的平分线，且ΔABC为锐角三角形，求a的取值范围.【详解】（1）如下图所示，在△ADC中，设AD=x，由余弦定理得AD2+CD2_2AD.CDcos经ADC=AC2在‘BDC中，由余弦定理得BC2=CD2+BD2-2CD.BDcos经BDC，则a2=在‘ACD和ΔBCD中，由正弦定理得〈，在‘ACD和ΔBCD中，由正弦定理得〈，因为‘ABC为锐角三角形，所以A,B,C均为锐角，三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，经BAD=a,经CAD=β(22)2(22)2clsina+blsinβ在‘ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，解：如图所示0,0,根据张角定理3在‘ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点D在BC边上，sin经BAC=，AD」AC，解：13130故：CD=AD2+AC2=33则4b+a的最小值为.解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）3232方法二：张角定理+基本不等式CDa==+ ,3232则4a+c的最小值为.解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）如图：当且仅当c=2a时取等号.故答案为18方法二：张角定理+基本不等式 BD++a牵牵c =+牵+=当且仅当c=2a时取等号.故答案为18(2)若经ABC的平分线交AC于D，且a=12，求线段BD的长度的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(4,6)故b=2ccosC，由正弦定理得sinB=2sinCcosC=sin2C.所以在‘ABC中，B=2C或B+2C=π.（2）在ΔBCD中，由正弦定理可得sinDC=s，即sinDC=s因为‘ABC是锐角三角形，且B=2C，|2π2所以线段BD长度的取值范围是(4,6).2．如图,在‘ABC中,经CAB的平分线交BC边于点E,点D在AB边上,AE=7,AD=3,cos经CAE=(1)求经ADE的大小;(2)若经ACB=,求‘CDE的面积.【答案】(1)(2)所以DE=,因为经ADEE(0,π),所以经ADE=. 在△ACE中,由正弦定理得sin经CAEsin经ACE213,3．已知‘ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=si.(1)求A；(2)若角A的平分线AD交BC于点D，且AD=2，求‘ABC面积的最小值.【答案】(1)A=(2)4sinAsinCsin又AE(0,π)，所以A=.（2）因为AD是角A的平分线，则经BAD=经CAD=，又S‘ABC=S‘ABD+S‘ACD=AB.AD.sin经BAD+AC.AD.sin经CAD=(b+c)， 又S‘ABC=AB.AC.sinA=bc，所以(b+c)=bc，得到b+c=bc，当且仅当b=c时等号成立，所以S‘ABC=bcsinA=bc之4，即‘ABC面积的最小值是4.4．在‘ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若a=3，经BAC的平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值.【答案】(1)A=(2)【详解】（1）解：因为sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC，22因为S‘ABC=S‘ABD+S‘ACD， 所以，线段AD长度的最大值为AD(1)若经ACB的平分线与边AB交于点D，求的值；ADc(2)若a=2，点M,N分别在边AC,BC上，‘CMN的周长为5，求MN的最小值.所以经ACBe(0,π),:经ACB=.（2）因为a=2，由（1）得b= a=，由余弦定理得MN=++y2-2xycos32πx2,所以x+y<，当x=y时取等号，22(2)22(2)22(2)22(2)(2)5(2)5所以MN的最小值为10-15.(1)求经ABE及BD；(2)若经BCD=60。，求ΔBCD周长的最大值.（2）设BC=m，CD=n．在ΔBCD中，22_3mn，2，即时，ℼ=ℽ成立.∴ΔBCD周长的最大值为6+6.线交BC边于D，过D作DE」AC，垂足为点E.(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求AE的长.【答案】(1)A=(2):sin2B+sin2C+sinBsinC=222A,b2b22cosA=2π.3由余弦定理可得：：Ae(0,π),:A=2，即b2+c2_a2=_bc，b22_a21（2S△ABC=S△ABD+:bcsin=c.ADsin+b.ADsin,在Rt△AED中，AD=,人DAE=,:AE=ADcos=.8．已知条件：①2a=b+2ccosB；②2asinAcosBC.2从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：.(2)若c=2，经ABC与经BAC的平分线交于点I，求ΔABI周长的最大值. 3π【答案】(1)C 3π2又Ce(0,π)，所以C=；于是asinAcosB+bsinAcosA=acosC，又Ce(0,π)，所以C2C2π2π33而经BAC与经ABC的平分线交于点I，即有经ABI+经BAI=，于是经AIB= π π,2π,3BIAIAB2 在ΔABI中，由正弦定理得sin 所以BI=4sin-θ,AI=4sinθ,所以ΔABI的周长为2+4sin-θ+4sinθ则当θ+=，即θ=时，ΔABI的周长取得最大值4+2，所以ΔABI周长的最大值为4+2.：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式2222-b2=2accosB22-b2=2accosB22-a2=2bccosA牵b22秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ,AC=xxsinθ其中(AB+BC)max=2R.m,n分别是BA、BC的系数2xsinθ三角形面积公式①SΔABC=absinC,SΔABC=acsinB,SΔABC=bcsinA+b+c)=rl其中r,l分别为ΔABC内切圆半径及ΔABC的周长推导：将ΔABC分为三个分别以ΔABC的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③SΔABC=2R2sinAsinBsinC=（R为ΔABC外接圆的半径）推导：将a=2RsinA代入SΔABC=a2可得SΔABC=2R2sinAsinBsinC将a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC代入SΔABC=④SΔABC=a2,SΔABC=b2,SΔABC=c2推导：根据余弦定理的推论cosC=:SΔABC=absinC=ab=ab牵(2ab)2-a2b=2，则ΔABC的面积为()解：第一步：观察角化边在ΔABC中，(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC，第二步：面积公式 的内切圆的半径为() 解：第一步：观察边化角 整理得sinBsinC+cosBsinC=sinA.∴sinBsinC+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC，第二步：利用三角形面积公式（内切圆公式）ΔABCC外接圆的面积为()解：第一步：利用面积公式第二步：求a-2第三步：求圆的面积在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c0,AC=3，则ΔABC的面积最大值为.其中(AB+BC)max=2R.m,n分别是BA、BC的系数629max824