2025届新高考数学精准复习 抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性

2025届新高考数学精准复习抽象函数的性质——奇偶性、对称性、周期性、单调性

我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y=f(x)表示,

抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体.

抽象函数问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛.

因此,我们应该掌握简单常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型,及其应用问题的基本方法.

借助特殊函数模型有利于打开解题思路,有时会起到事半功倍的效果.常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:抽象函数f(x)具有的性质特殊函数模型f(x+y)=f(x)+f(y)正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)-bf(xy)=f(x)f(y)二次函数f(x)=x2指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)正弦函数f(x)=sinx余弦函数g(x)=cosxf(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)余弦函数f(x)=cosx正弦函数g(x)=sinxf(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)正切函数f(x)=tanx一次函数f(x)=kx+b(k≠0)二次函数f(x)=ax2(a≠0)函数f(x)=kax(a>0,且a≠1,k≠0)函数f(x)=logax+k(a>0,且a≠1)余弦函数f(x)=cosx常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:抽象函数f(x)具有的性质特殊函数模型f(x+y)=f(x)+f(y)正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)-b一次函数f(x)=kx+b(k≠0)f(xy)=f(x)f(y)二次函数f(x)=x2二次函数f(x)=ax2(a≠0)指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)函数f(x)=kax(a>0,且a≠1,k≠0)对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)函数f(x)=logax+k(a>0,且a≠1)f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)正弦函数f(x)=sinx余弦函数g(x)=cosxf(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)余弦函数f(x)=cosx正弦函数g(x)=sinxf(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)余弦函数f(x)=cosx正切函数f(x)=tanx抽象函数求值赋值法、构造法类型一(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x+y)=f(x)+f(y)+1,则f(4)=

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解析:(2)令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)+1=3.令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)+1=7.答案:(2)7赋值法、构造法点拨：抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,-2,-1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值.赋值法、代换法、构造法2.已知定义在R上的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,则f(0)+f(2)等于(

)A.4 B.5 C.6 D.7解析:因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,令x=0,y=1,则有f(1)=f(1)f(0),又f(1)=2,则f(0)=1,令x=y=1,则有f(2)=f(1)f(1)=2×2=4,所以f(0)+f(2)=5.故选B.赋值法、构造法抽象函数的单调性与抽象不等式[典例2](2023·广西模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:

①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1.

(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;解:(1)令x=y=0,得f(0)=-1.在R上任取x2>x1,则x2-x1>0,f(x2-x1)>-1.又f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)+1>f(x1),所以函数f(x)在R上是增函数.类型二[典例2](2023·广西模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:

①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1.

(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.解:(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)>4,得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,即f(x2+x+1)>f(3),又由（1）知：函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3,解得x<-2或x>1,故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.(1)抽象函数的单调性的证明,关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出f（x2）-f（x1）大于(或小于)0.抑或f（x2）>f（x1）或f（x2）<f（x1）(2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时,可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解,

①若只利用单调性脱“f”，但无论如何都必须转化到同一单调区间内进行;

②若利用单调性+轴对称性脱“f”，转化为与对称轴距离的大小关系（注意：距离转化为绝对值，图象开口方向对大小关系的影响）

③若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为含“f”的函数值.④对含有多项“f”及常数的复杂抽象不等式，要利用函数方程合并项或构造函数转化为“f（Δ）>或<f（Δ）”基本型

注意：解所有类型含“f”（函数对应关系符号）的抽象不等式，

脱去“f”后均需考虑定义域限制解抽象不等式策略：抽象函数的奇偶性[典例3]设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.(1)证明f(x)为奇函数;证明:(1)由于函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=0,再令y=-x,可得f(x-x)=f(x)+f(-x),即0=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),因此,函数y=f(x)为奇函数.类型三[典例3]设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.(2)证明f(x)在R上是减函数.证明:(2)设x2>x1,则x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1),因此,函数y=f(x)在R上是减函数.解题策略：抽象函数中求特殊的函数值,讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”、代换法进行求值和化简.[拓展演练]定义在R上的函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)若g(x)=f(x)-1,证明:g(x)是奇函数;(1)证明:令a=b=0,则f(0)=2f(0)-1,得f(0)=1.

令b=-a,则f(0)=f(a)+f(-a)-1=1,即[f(a)-1]+[f(-a)-1]=0.因为g(x)=f(x)-1,所以g(x)+g(-x)=0.因为g(x)的定义域也是R,所以g(x)是奇函数.[拓展演练]定义在R上的函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.(2)若f(1)=2,解不等式f(m2-4m-9)<4.变式：改解f(m2-4m-10)+f(m)<4(2)解:设∀x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.因为f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是单调递增函数.因为f(1)=2,所以f(2)=2f(1)-1=3,所以f(3)=f(1)+f(2)-1=4,所以不等式f(m2-4m-9)<4等价于f(m2-4m-9)<f(3),则m2-4m-9<3,解得-2<m<6,所以原不等式的解集为{m|-2<m<6}.类型四：抽象函数的对称性类型四：抽象函数的对称性法三：构造函数，比如f(x)=sinπx+1，则g(x)=f′(x)=πcosπx，做出如下图象

一、线性复合函数的奇偶性与原函数对称性关系常用结论：

引理1:若可导函数是中心对称函数，则它的导函数是轴对称函数。且中心的横坐标就是导函数的对称轴(注:若可导函数是奇函数则它的导函数是偶函数.)引理2:若可导函数是轴对称函数，则它的导函数是中心对称函数。且对称轴的横标就是导函数的对称中心横坐标。(注若可导函数是偶函数,则它的导函数是奇函数,

类型五：抽象函数的周期性[拓展演练]已知f(x)是定义在R上的函数,f(2x+1)为偶函数且f(4x+2)为奇函数,则下列选项正确的是(

)A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的周期为3C.f(2020)=0D.f(2021)=0解析:设g(x)=f(2x+1)图象关于直线x=1对称,得g(1+x)=g(1-x)，所以f(2(1+x)+1)=f(2(1-x)+1),即f(2x+3)=f(3-2x),用x代换上式中的2x,即可得到f(x+3)=f(3-x),所以f(x)关于直线x=3对称.设h(x)=f(x+1)关于点(1,0)对称,得h(1+x)+h(1-x)=0，所以f(1+x+1)+f(1-x+1)=0,即f(2+x)+f(2-x)=0,所以f(x)关于点(2,0)对称.对于f(x+3)=f(3-x),把x换成x+1,可得f(x+4)=f(2-x).对于f(2+x)+f(2-x)=0,把x换成x+2,可得f(x+4)=-f(-x).所以f(2-x)=-f(-x),把x换成-x,可得f(2+x)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的最小正周期为4.所以C错误;对于B,对于f(x+3)=f(3-x),把x换成x-3,可得f(x)=f(6-x).因为f(x)的最小正周期为4,所以f(6-x)=f(2-x),所以f(x)=f(2-x),即f(x+1)=f(1-x),故B正确;D错误;对于A,由f(x+1)=f(1-x),可得直线x=1为对称轴,所以不能确定f(1)=0是否成立,故A错误.故选B.

三、这些结论你要熟记假设函数f(x)与其导函数f´(x)的定义域均为全体实数1、若函数f(x)关于直线x=a对称,则f´(x)关于点(a,0)对称.2、若函数f(x)关于点(a,m)对称,则f´(x)关于直线x=a对称.3、若函数f´(x)关于直线x=a对称,则f(x)关于点(a,m)对称.4、若函数f´(x)关于点(a,m)对称,则函数f(x)不一定会关于直线=a对称.5、若原函数f(x)是周期为T,则f´(x)也是周期为T6、若f´(x)是周期为T,则原函数f(x)不一定是周期函数.求证：若可导函数f(x)的图象关于x=a对称，则其导函数f´(x)的图象关于(a，0)对称。结论1证明：已知f(x)关于x=a对称∴f(x)=f(2a-x)等式两边同时求导得：f´(x)=-f´(2a-x)∴f´(x)的图像关于(a，0)对称求证：若可导函数f(x)的图象关于点(a，m)对称，则其导函数f´(x)的图象关于x=a对称。结论2证明：已知f(x)的图像关于(a，m)对称，可得：f(x)+f(2a-x)=2m整理得：f(x)=-f(2a-x)+2m，等式两边同时求导得：f´(x)=f´(2a-x)∴f(x)的导函数f´(x)关于x=a这条直线对称。求证：若可导函数f(x)的导函数f´(x)的图象关于x=m对称，则f(x)的图象关于(x0，[f(x0)+f(2m-x0)]/2)对称，其中x0为定义域内任意值。证明：已知f´(x)关于x=m对称∴f´(x)=f´(2m-x)将上式两边同时积分可得：∫f´(x)dx=∫f´(2m-x)dx所以f(x)+C1=-f(2m-x)+C2，即f(x)+f(2m-x)=C2-C1令x=x0(x0为定义域内任意值)则由上式可知C2-C1=f(x0)+f(2m-x0)即：f(x)+f(2m-x)=f(x0)+f(2m-x0)∴f(x)的图像关于(m，[f(x0)+f(2m-x0)]/2)对称备注：当f(x)在x=m处有意义时，可以将上式的x0用m来替代，则有f(x)的图像关于(m，f(m))对称。例题：求f(x)=x3-6x2+2x+6的对称中心解：f´(x)=3x2-12x+2，可知f´(x)的对称轴为：x=2，且f(x)在x=2处有意义，则f(x)的对称中心为(2，f(2))，即(2，-6)求证：若可导函数f(x)的导函数f´(x)的图象关于(m，0)对称，且在定义域内存在一点x0，使得f(x0)=f(2m-x0)，则f(x)的图象关于x=m对称。证明：已知f´(x)关于(m，0)对称∴f´