2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性课件

第三讲函数的奇偶性与周期性知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一函数的奇偶性

偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有________________，那么函数f(x)是偶函数都有_______________，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于_________对称关于________对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点知识点二函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(－2,2]是偶函数．(

)(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(

)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(

)××√√××BC3．(必修1P85T3改编)若函数y＝f(x)(x∈(a，b))为奇函数，则a＋b＝______.04．(必修1P85T1改编)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是(

)A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))[解析]

∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．B5.(必修1P87T12改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________________.(－2,0)∪(2,5][解析]

由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．6．(必修1P87T11改编)定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)＋f(2)＋f(3)的值是(

)A．0 B．1C．2 D．3[解析]

根据函数的周期性和奇偶性得到f(3)＝f(－1)＝－f(1)、f(2)＝f(0)＝0，从而可求f(1)＋f(2)＋f(3)．因为函数以2为周期，所以f(3)＝f(－1)，f(2)＝f(0)，因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(0)－f(1)＝0，故选A.A7．(必修1P86T3改编)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.[解析]

因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.－7B[解析]

思路一：将函数f(x)的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f(x)的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．B考点突破·互动探究函数的奇偶性考向1判断函数的奇偶性——自主练透1.(多选题)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则(

)A．f(x)＋g(x)是奇函数B．f(x)|g(x)|是奇函数C．f(x)g(x)是偶函数D．f[g(x)]是偶函数BD[解析]

根据奇函数、偶函数的定义逐一判断即可．因为f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠f(x)＋g(x)且f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误；因为f[g(－x)]＝f[g(x)]，所以f[g(x)]是偶函数，故D正确．故选BD.[分析]

先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．名师点拨：判断函数的奇偶性的方法1．定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．2．图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．3．性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)考向2函数奇偶性的综合应用——多维探究

角度1利用性质求解析式1.(2024·十堰模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，则f(－2)等于(

)A．－2

B．2C．－6 D．6A[解析]

因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则f(－2)＝－f(2)＝－2.2．(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(

)A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1[解析]

当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.DBD名师点拨：1．求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．2．求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．【变式训练】1．(角度1)(2019·课标全国Ⅱ改编)设f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(

)A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1[解析]

当x<0时，f(x)＝f(－x)＝e－x－1.故选A.A2．(角度2)已知函数f(x)＝x(2x＋a×2－x)(x∈R)，若f(x)是偶函数，则记a＝m，若f(x)是奇函数，则记a＝n，则m＋2n＝(

)A．0 B．1C．2 D．－1[解析]

当f(x)是偶函数时，f(x)＝f(－x)，即x(2x＋a×2－x)＝－x(2－x＋a×2x)，即(1＋a)·(2x＋2－x)x＝0，因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1，即m＝－1；当f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，即－x(2－x＋a×2x)＝－x(2x＋a×2－x)，即(1－a)(2x－2－x)x＝0，因为上式对任意实数x都成立，所以a＝1，即n＝1，所以m＋2n＝1.B[解析]

∵f(x)为奇函数，∴x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x＋1－3＝－f(x)，∴x<0时，f(x)＝－e－x＋1＋3，则g(－1)＝f(－1)＋3＝－e－(－1)＋1＋6＝6－e2，故选C.C函数的周期性——师生共研

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)求f(2)的值；(3)当x∈(2,4]时，求f(x)的解析式；(4)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)．[解析]

(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.(3)当x∈(－2,0]时，－x∈[0,2)，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈(2,4]时，x－4∈(－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈(2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(4)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.f(2024)＝f(0)＝0，f(2025)＝f(1)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＋f(2025)＝1.名师点拨：高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围内进行求解．【变式训练】1．若函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则x∈[7,9]时的函数解析式是___________________________.[解析]

由函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)可知f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，因此函数的周期是2.设x∈[7,9]，则－1≤x－8≤1，因此f(x－8)＝(x－8)2，根据函数的周期是2可知f(x－8)＝f(x)，因此f(x)＝(x－8)2.f(x)＝(x－8)2(x∈[7,9])2．(2023·沧州七校联考)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2025)＝______.函数性质的综合应用——多维探究角度1奇偶性与单调性结合

若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)≥0的取值范围是(

)A．(－∞，－2]B．[0,2]C．(－∞，－2]∪[0,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C[解析]

由已知得图象，故选C.[引申1]若将“奇函数”改为偶函数，则结果为______.[解析]

如图．D[引申2]若将不等式改为xf(x－1)≥0呢？结果为______________.[－1,0]∪[1,3]角度2奇偶性与周期性结合[解析]

由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和对称性，由此判断各选项．∵f(x)为偶函数，∴f(x)图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于(2,0)轴对称，f(x)为周期函数且周期为8，故选AD.角度3单调性、奇偶性和周期性结合[解析]

因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．名师点拨：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．B2．(角度2)(多选题)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(

)A．f(x)是偶函数

B．f(x)是奇函数C．f(x＋3)是偶函数

D．f(x)＝f(x＋4)CD[解析]

因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．因为f(x－1)是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2)．所以f(x＋2)＝f(x－2)，f