2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布课件

第七讲正态分布知识梳理·双基自测X～N(μ，σ2)上方x＝μ

x＝μ

1

集中分散知识点二正态分布1．正态分布的定义及表示．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝

，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________.σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．0.68270.95450.9973归

纳

拓

展对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)；(4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(

)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(

)√

√

√

×题组二走进教材2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165<X≤180)＝__________.0.8186

题组三走向高考3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝____________.[解析]

因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14C5．(2021·全国新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(

)A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等D[解析]

对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．考点突破·互动探究正态分布的性质——自主练透1.(2023·广东佛山南海区、三水区联考)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是(

)A．D(X)＝6B．μ1>μ2C．P(X≤38)<P(Y≤38)D．P(X≤34)<P(Y≤34)C2．(2022·河北唐山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y服从正态分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.1587，则P(1<Y<2)＝(

)A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.6587B[解析]

由正态曲线的性质知，随机变量X、Y的正态曲线形状相同，(如图)．由题意P(Y>2)＝P(X>1)＝0.1587，∴P(1<Y<2)＝0.5－0.1587＝0.3413.故选B．3．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为(

)A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16[解析]

由已知得E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故选D．D正态分布——多维探究角度1正态曲线的对称性(2024·广东六校联考)某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量在10.02kg以上的袋数大约是(

)A．5 B．10C．20 D．40B角度2确定正态曲线的对称轴(2022·福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝______.[解析]

因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X＝2，所以μ＝2.2角度3服从正态分布的概率计算1.若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.3，则P(－1<X<2)＝__________.0.22．(2023·山东德州模拟)某校高二学生的一次数学诊断考试成绩(单位：分)服从正态分布N(100,102)，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80<X≤100为事件A，记该同学的成绩70<X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)＝______.(结果用分数表示)附参考数据：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.95；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.99.名师点拨：关于正态总体在某个区间内取值的概率求法1．熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；2．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【变式训练】1．(角度1)(2022·江苏调研)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(－2<X<1)＝(

)A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6C3．(角度3)(2023·江苏南京调研)已知随机变量X～N(4,22)，则P(8＜X＜10)的值约为(

)附：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Y<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Y<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Y<μ＋3σ)≈0.9974.A．0.0215 B．0.1359C．0.8186 D．0.9760A正态分布的综合应用2．(2024·重庆一中月考)为庆祝中国共产党成立101周年，喜迎党的二十大胜利召开，不断提升广大党员干部学习党的政治理论知识的自觉性，我市面对全体党员，举办了“喜迎二十大，强国复兴有我”党史知识竞赛．比赛由初赛、复赛和决赛三个环节组成．已知进入复赛的党员共有100000人，复赛总分105分，所有选手的复赛成绩都不低于55分．经过复赛，有2280名党员进入了决赛，并最终评出了若干一等奖和52个特等奖．复赛成绩和决赛成绩都服从正态分布．现从中随机选出100名选手的复赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图．名师点拨：解决正态分布问题的三个关键点若随机变量X～N(μ，σ2)，则(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．272．(2023·河北统考)某工厂从生产出的产品中随机抽取100件，测量一项质量指标，将测量结果落到质量指标的各区间内的产品频率绘制成如图所示的频率分布直方图．②为了保证产品质量，质量检查员每天在当天生产的该产品中，随机抽取15件，若出现质量指标值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的产品，则认为生产过程出现问题，需要检查整个生产过程，否则不需要检查．在质量检查员当天抽取的15件该产品的质量指标中，质量指标最小值为180.9，质量指标最大值为299.8，根据近似值判断是否需要检查整个生产过程．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.名师讲坛·素养提升概率与统计的综合应用题型一概率与统计图表的综合应用(2024·北京高三定位考)为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数(均不低于4千步，不超过20千步)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．(1)试估计该单位全体员工日行步数(单位：千步)的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表)；(2)单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量ξ的分布列和期望．[解析]

(1)根据题意，该单位工会日行的人均健步步数估计为：5×0.01＋7×0.01＋9×0.08＋11×0.58＋13×0.22＋15×0.06＋17×0.03＋19×0.01＝11.68(千步)．所以ξ的分布列为故ξ的期望E(ξ)＝3×0.1＝0.3.ξ0123P0.7290.2430.0270.001题型二概率与回归分析的综合应用(2022·山东临沂模拟)在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如下表：旅游类别城市展馆科技游乡村特色游齐鲁红色游登山套票游园套票观海套票套票价格x(元)394958677786购买数量y(万人)16.718.720.622.524.125.6题型三概率与独立性检验的综合应用(2024·江西智学联盟体联考)为提高高三学生身体素质，鼓励积极参加体育锻炼，某校在高三学生中随机抽取了100名男生和100名女生，利用一周时间对他们的身体各项运动指标(高中年龄段指标)进行考察，得到综合素质指标评分，评分结果分为两类：80分以上为达标，80分以下为不达标，统计结果如表：

达标不达标合计男生4060100女生3070100合计70130200α0.050.010.001xα3.8416.63510.828题型四概率、统计与函数、数列的综合应用(2024·湖北荆州中学月考)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；【变式训练】1．(2024·江西师大附中测试)某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格(幸运之神)或第5格(赠送车模)时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值.012345参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，