江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市2024届高三第二次调研测试数学试题一、选择题1.已知单位向量，夹角为120°，则（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.在正方体中，下列关系正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.3.一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（）A.25 B.30 C.35 D.40〖答案〗B〖解析〗依题意，新数据组有6个数，其中位数是，显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30.故选：B.4.已知函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为由于，则．故选：B.5.设，，，则的最小值为（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因为，所以，因为，，所以.当且仅当，即时取等.故选：C.6.若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数，可得，若，此时单调递增，无极值点，故，令，解得，当时，，当时，，故是的极值点由于函数有大于零的极值点，，解得．故选：C．7.设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意可得抛物线的焦点，准线方程为，则有，设直线方程为，联立，可得，则，得，故，设，，到准线距离为，到准线距离为，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.故选：A8.若，，成等比数列，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，成等比数列，得，即，，所以.故选：B二、选择题9.已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（）A.C的虚轴长为 B.C的离心率为C.的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于〖答案〗AD〖解析〗双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，对于A，的虚轴长，A正确；对于B，的离心率，B错误；对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确.故选：AD.10.已知，.若随机事件A，B相互独立，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对B，，B正确；对A，，，A错误；对C，，，C正确；对D，，D正确.故选：BCD.11.已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（）A.为偶函数 B.为偶函数 C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，则，注意到不恒为，故，故A正确；因为的图象关于点(2，0)对称，所以，令，得，故，故B错误；令，得，令，得，故，从而，故,令，得，化简得，故C正确；令，得，而，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.设，i为虚数单位.若集合，，且，则m＝________.〖答案〗1〖解析〗集合，，且，则有或，解得.故〖答案〗为：113.在中，，，M为BC的中点，，则________.〖答案〗〖解析〗在中，取的中点，连接，由为的中点，得，在中，由余弦定理得，则，即，而，所以.故〖答案〗为：14.若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________.〖答案〗.〖解析〗正四棱锥的所有棱长为2，点是所在棱的中点，如图，显然，即有，则正四棱锥的高为，于是，到平面的距离，所以所求十面体的体积为；令，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，则，，设外接球球心，半径，则，因此，解得，所以十面体的外接球的表面积为.故〖答案〗为：；.四、解答题15.甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表：满意不满意男44060女46040（1）能否有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望.附：，.0.10.050.01k2.70638416.635解：（1）补全列联表如图所示：满意不满意总计男44060500女46040500总计9001001000，故有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关．（2）由题知，从该地区的消费者中随机抽取1人，不满意的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，且．，所以的分布列为：0123所以．16.设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.（1）若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；（2）设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.（1）解：由题意可得周期，故，，由于，故，故，当时，，由于在区间上有最大值无最小值，故，解得，故（2）证明：，，，故直线方程为，令，则，故在定义域内单调递增，又，因此有唯一的的零点，故l与曲线有唯一的交点，得证.17.如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H.（1）从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.（2）求直线BD与平面的距离.解：（1）选择条件①，由,分别为,的中点，得，又平面平面，则平面，又平面，平面平面，所以.选择条件②，在中，为中点，则与不平行，设，则，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一点.（2）若第（1）问中选①，由（1）知，平面，则点到平面的距离即为与平面的距离，若第（1）问中选②，由,分别为,的中点，则，又平面平面，于是平面，因此点到平面的距离即为与平面的距离，连接,，由均为正三角形，为的中点，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，,，设平面的一个法向量为,则，令，得，设点到平面的距离为，则，所以与平面的距离为.18.已知数列的前n项和为，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前n项和；（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.（1）证明：，，当时，，两式相减得，即，则有，当时，，则，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）得，，则，数列是等差数列，于是，解得，则，所以的前项和.（3）解：由（1）知，，由成等差数列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，则,从而，显然，即，所以存在，使得成等差数列.19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.（1）求Γ的方程；（2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.（1）解：因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得，又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，，所以的方程为.（2）（i）解：当的斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，由直线与椭圆相切，得，整理得，于是圆心到直线的距离，则的面积为，设，求导得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值，此时，当的斜率不存在时，由（1）知，，由，得，则.对于线段上任意点，连接并延