高2015级高一上期期末复习资料（必修一、必修四）

第1课时集合与函数概念【学问点梳理】一、集合1．集合元素的三性：、、。2．集合的三种表示方法：、、。3．空集是的子集；是的真子集。4．正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集、可分别有符号表示为：、、、、。5．集合与元素的关系有两种，即与，分别表示为、。6．若集合A与B满意，则A是B的子集，表示为；满意，则A是B的真子集，表示为。7．两集合相等指，表示为。8．两集合的交集定义为，表示为；两集合的并集定义为，表示为；集合Ａ在全集Ｉ中的补集指由的元素构成的集合。９．全集为S。则集合Ａ与Ｂ的交集是的子集；Ａ与Ｂ的并集包含与，集合Ａ与自身的交集与并集分别等于、；Ａ与空集的交与并分别等于、；集合Ａ与全集的交与并分别等于、；集合Ａ在全集Ｓ中的补集的补集等于，用符号表示为；全集与空集的补集分别为、；Ａ与A的补集的交与并分别为、。10．有限集合Ａ的元素个数为n，则它的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别为、、、。二、函数的概念1.函数的三要素指函数的、、。2.函数的单调性的定义：（1）函数在区间内递增的定义是：____________________________________________________________________________________（2）函数的单调性与图象之间的对应关系：假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是的，减函数的图象从左到右是的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法有两种：①用定义法推断单调性的步骤为：______________________________________;____________________________________________②用图象法推断单调性：从图象上看升降.3.奇偶性（1）奇函数的定义：（2）偶函数的定义：（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：奇函数的图象，偶函数的图象。（4）利用定义推断函数奇偶性的格式步骤：_________________________________________。（5）函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，它们之间的关系是：奇函数在关于原点对称的两个区间内的单调性________；偶函数在关于原点对称的两个区间内的单调性________.4.求简洁函数的定义域，一般要考虑的因素有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）

5.函数的最大（小）值（1）函数的最大值和最小值分别对应着函数图象上的最点和最点。（2）求函数最值常见的方法有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）

【课堂讲解】1.集合的运算关系【例1】设集合A={|}，B={|，}，若，求实数的值．【解析】2.函数基本性质的应用例2．已知函数是奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）证明函数在上的单调性；（3）利用（1）（2）的结论，试推断函数在区间的单调性。【解析】3.分段函数及其应用【例3】设a为实数，函数，x∈R.（1）探讨的奇偶性；（2）若x≥a时函数在区间上的最大值为4，求a的值。（3）若x≥a，求的最小值；【解析】【自主测评】一．选择题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（） （）A． B． C． D．2.设,,则的值（）A．1B．0C．D．3.已知集合,则A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或34.二次函数的二次项系数为正数，且对随意项都有成立，若，则的取值范围是（）或或二．填空题5.已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________.6.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则=_________.7.已知定义在闭区间上的函数的最大值为3，那么实数的取值集合为．8.若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则a=_.三．解答题9.集合，，若，求实数m的取值范围.10.已知二次函数在区间[0,1]上有最大值2，求a的值。11．某旅游商品生产企业，2019年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为1.2元/件，年销售量为10000件，因2019年调整黄金周的影响，此企业为适应市场需求，安排提高产品档次，适度增加投入成本.若每件投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预料销售量增加的比例为.已知利润=（出厂价—投入成本）×年销售量.（1）2019年该企业的利润是多少？（2）写出2019年预料的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（3）为使2019年的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例应是多少？此时最大利润是多少？12.已知函数.（1）求证：不论为何实数总是为增函数；（2）确定的值,使为奇函数；（3）当为奇函数时,求的值域.第2课时指数与指数函数【学问点梳理】1.根式 （1）根式的概念若=a，则x叫做___________，式子叫做_____,这里n叫做_________，a叫做___________.（2）根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个数，负数n次方根是一个数，这时a的n次方根用符号____表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有个，它们互为数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=__________.⑤负数没有次方根.2.有理数指数幂正整数指数幂：=________.（n∈N*）；零指数幂：=____（a≠0）；负整数指数幂：=_____（a≠0，pN*）；正分数指数幂：=_______（a>0，m、nN*，且n>1）；负分数指数幂：==(a>0,m、nN*,且n>1).0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_____________.=______(a>0,r、sQ);=______(a>0,r、sQ);=_______(a>0,b>0,rQ).3.函数叫做指数函数.指数函数的图象和性质图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，.（4）（5）在上是函数（4）在上是函数【课堂讲解】1.指数式的化简【例1】计算下列各式：2.指数函数的性质【例2】设函数f(x)=为奇函数。（1）实数a的值；（2）用定义法推断f（x）在其定义域上的单调性.3.指数函数的图象与性质的应用【例3】已知函数(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值【目标检测】1.已知a<则化简的结果是（）A.B.C.D.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A.y=B.y=-+1C.y=|x|+1D.y=3.右图是下列指数函数的图象：（1）y=，（2）y=,（3）y=，（4）y=。则a，b，c，d与1的大小关系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c4.已知f(x)=+若f(a)=3,则f(2a)=（）A.5B.7C.9D.115.若函数y=(-3a+3)为指数函数，则有A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a>0且a≠16.当a>0地，化简7.求出下列函数的定义域：（1）（2）8.已知函数①y=2x；②y=log2x；③y=x－1；④SKIPIF1<0.则下列函数图象（在第一象限部分）从左到右依次与函数序号的正确对应依次是9.计算下列各题：10.画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－１｜＝k无解？有一解？有两解？11.已知定义域为的函数是奇函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）推断函数的单调性;（Ⅲ）若对随意的，不等式恒成立，求的取值范围．第3课时对数、对数函数与幂函数【学问点梳理】1.对数的基本公式(a>0且a≠1).定义式：=_____；=___；__；=；__；=____；=____；=___；=___；换底公式:___；的倒数是___；=___。3.对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，.（4）（5）在上是函数（4）在上是函数2.反函数指数函数y=与对数函数_________互为反函数，它们的图象关于直线_________对称.3.幂函数函数叫做幂函数（只要求驾驭当时的图象）。【课堂讲解】1.对数的化简与求值【例1】(1)化简:(2)化简；(3)已知=m,=n,求的值。2.指、对数式的互化【例2】已知=A,且求A的值。3.对数函数的图象与性质的应用【例3】已知.（1）当0＜a＜1时，求f（x）的定义域；（2）推断f（2）是否大于零，并说明理由.【同步检测】1.若<0,则（）A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<02.若a=,b=,c=则a,b,c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c3.设a>1，函数f(x)=在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为则a的值为（）A.B.C.D.4.的值为（）A.B.C.D.5.函数y=(a>0,a≠1,ab=1)的图象只可能是（）6.函数的定义域是7.=8.函数上的最大值和最小值之和为，则的值为。9.计算下列各式的值（1）（2）10.已知函数f(x)=(a>0,a≠1)，假如对于随意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.11.设函数f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］.（1）若f（x）的定义域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围；（2）若f（x）的值域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围.第4课时函数的零点、二分法、函数模型的应用【学问点梳理】1.的零点的概念。对于函数，能使的实数叫作函数的零点。2..函数的零点与方程根的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)的零点。3..二次函数零点的判定对于二次函数y=ax2+bx+c与二次方程ax2+bx+c=0，其判别式△=b2–4ac.判别式方程ax2+bx+c=0的根函数y=ax2+bx+c的零点△＞0有两不相等实根有两个零点△=0有两相等实根有一个零点△＞0没有实根0个零点

4.函数零点的存在性定理假如函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有那么，函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根。5．二分法：对于区间[a，b]上连绵不断、且f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）。6．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步聚如下：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)；①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)＜0，则令b=x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)＜0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1，b))；（4）推断是否达到精确度：即若|a–b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复（2）~（4）。7.解决应用的一般序：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学学问，建相应的学模型；③解模：解数学型，得数学结；④还原：将用数学学问和方法得出的结论，还原为实际问的意义．8.常见函数模型：(1)一次函数模型.(2)二次函数模型(3)分段函数模型(4)指数函数模型(5)对数函数模型(6)三角函数模型【课堂讲解】1、函数的零点例1：若是函数的一个零点，则属于区间 （ ）（A）（）.（B）（）.（C）（）（D）（）【变式1】:若函数的零点与的零点之差的肯定值不超过0.25，则可以是()A.B.C.D.2、二分法的应用.例2用二分法探讨函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点，其次次应计算.以上横线上应填的内容为（）A．（0，0.5），B．（0，1），C．（0.5，1），D．（0，0.5），【变式2】:证明方程在区间内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确度：0.1）.【变式3】:求证方程在内必有一个实数根.3、函数模型的应用例3.某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨（）。从供水起先到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?【变式4】:某医药探讨所开发一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满意如图所示的曲线.（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？【自主测评】一．选择题1.设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（） A．B．C．D．不能确定2.函数的零点所在区间为（） (A)（1，0）(B)（0，1）(C)（1，2）(D)（2，3）3..已知x0是函数的一个零点，若，则()（A） （B）（C） （D）4..若是方程式的解，则属于区间（）（A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）二．填空题5.用“二分法”求方程在区间[2，3]内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是6.若函数且有两个零点，则实数a的取值范围是.7.直线与曲线有四个交点，则的取值范围是.8.已知函数，若在上存在，使，则实数m的取值范围是.三．解答题9求函数y=x3–2x2–x+2的零点，并画出它的图象。10.已知a∈R，探讨函数的零点个数.11.有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均削减20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小。12.有时可用函数描述学习某学科学问的驾驭程度。其中表示某学科学问的学习次数（），表示对该学科学问的驾驭程度，正实数a与学科学问有关。（1）证明：当x7时，驾驭程度的增长量f（x+1）-f(x)总是下降；（2）依据阅历，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科学问6次时，驾驭程度是85%，请确定相应的学科.第5课时一元二次函数的零点分布及其最值【学问点梳理】1.一元二次函数的解析式有三种形式：（1）式，即（2）式，即（3）式，即2.一元二次函数的最值几种常见类型（1）一般型:,其中例如:的最大值是和最小值分别是.（2）轴定区间定型:,且、都是常数.如:.的最大值是和最小值是.（3）轴变区间定型:.都是常数,但h是参变数.如:.的最大值是和最小值是.（4）轴定区间变型:.都是常数,但m或n是参变数.如:.的最大值是，最小值是.3.一元二次函数的零点分布几种常见形式:设的零点为..对称铀方程为,m,n都是常数.(以下内容可结合图象来理解)（1）当时,则且且；（2）当时,则且且；（3）当时,则；（4）当时,则且且且。【课堂讲解】一元二次函数的解析式问题例1：已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。【变式1】已知函数是二次函数，且满意，求的解析式.2.一元二次函数的最值类型问题例2：已知函数，是二次函数，当时的最小值为1，且为奇函数，求函数的解析式．【变式2】函数的值域是（）(A)(B)(C)(D)3.一元二次函数的零点分布问题例3：设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a＞0且(Ⅱ)函数f(x)在（0，1）内有两个零点.【变式3】若方程在（0，1）内恰有一解，则的取值范围是（）(A) (B)(C)(D)

【自主测评】一．选择题1.函数的值域为()(A)(B)(C)(D)2.已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（）(A)(B)（C）(D).3.设函数，若，且，则关于的方程的解的个数是（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1<x2,x1+x2=0,则()(A)(B)f(x1)=f(x2)(C).f(x1)>f(x2)(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定二．填空题5.已知函数满意,则6..已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围是7.函数的值域为8.已知关于的方程在上两个实数解,则的取值范围是.三．解答题9.若，函数（其中）。（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域10.已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明:当a>3时,函数有三个零点..11.已知函数(1)当时，求函数在的值域；(2)若关于的方程有解，求的取值范围。12.已知函数，[－1，1].⑴求的最小值（用a表示）；⑵记,假如函数有零点，求实数的取值范围.第6课时三角函数（一）【学问点梳理】1.角概念的推广、弧度、特别角的三角函数；2.扇形的弧长，面积=3.同角三角函数的基本关系式：，4.诱导公式：（口决）【课堂讲解】例1：（１）已知，且为其次象限角，求；（２）已知，求；（３）已知，求．【解析】例2.化简：【解析】例3已知是方程的根，求的值．【解析】【自主测评】一．选择题1.等于（）ABCD2.已知的值为（） A．－2B．2C．D3.已知，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.已知，则的值是（）Ａ．０Ｂ．Ｃ．１Ｄ．二．填空题5.与终边相同的最小正角是_6若集合，，则=________7.已知，则。8.已知，且，则。三．解答题9.已知，且．（1）求sinx、cosx、tanx的值．（2）求sin3x–cos3x的值．10已知，（1）求的值（2）求的值11.已知α是第三角限的角，化简12．已知，求的值．第7课时三角函数（二）【学问点梳理】1.正弦函数图象的五个关键点：2.正弦、余弦和正切函数的图象与性质函数简图定义域值域奇偶性周期性单调性在上递增在上递增在上递增在上递减在上递减对称性对称中心对称中心对称中心：对称轴对称轴3.正弦型函数的图象与性质（1）周期（2）对称性：对称轴为对称中心为（3）单调性：单调增区间为单调减区间为（4）奇偶性:为奇函数，则；为偶函数，则（5）零点（6）振幅频率相位初相【课堂讲解】例1：已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间例2.已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,)。(1)若||=||，求角α的值；(2)若·，求的值.例3已知函数，（1）求它的定义域和值域；（2）推断它的周期性，假如是周期函数，求出它的最小正周期；（3）求它的单调递减区间。【自主测评】一．选择题1、若函数y=f()的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移1个单位，得到函数y=sin的图象则y=f()是（）A．y=B.y=C.y=D.2、函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）A.x=-B.x=-C.x=D.x=3、函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称4、函数的定义域是（）A．B．C．D．二．填空题5.函数的最小值是.6、函数的单调递增区间是7.的振幅为，初相为。8.关于函数f(x)＝4sin(2x＋),(x∈R)有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；②y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；其中正确的序号为。三．解答题9.右图为函数图像的一部分。（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线对称的函数解析式10已知函数的定义域为，（1）当时，求的单调区间；（2）若，且，当为何值时，为偶函数11.已知函数（1）求取最大值时相应的的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象12．已知是方程的两根，且，求的值。第8课时平面对量【学问点梳理】1.向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的（或模）。向量不能比较大小，只能比较是否相等。(2)的向量叫做零向量，其方向是的。(3)单位向量：长度等于的向量。(4)平行向量：方向或的向量。平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定：与任一向量。(5)相等向量：长度且方向的向量，相反向量：长度且方向的向量。2.向量的加法和减法（1）加法：①法则：三角形法则、平行四边形法则.,在平行四边形中，；②运算性质：=(交换律）；=（结合律）；(2)减法：①减去一个向量，等于加上它的；②法则：听从三角形法则.；(3)；前后取等号的条件分别为。前后取等号的条件分别为。3.实数与向量的积（1）长度与方向规定如下：①；②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，。(2)运算律：设、∈R，则：（3）若（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得。（4）若、、的终点共线，则,且。4.两个向量的夹角（1）定义:两个非零向量与（即让它们的保持相同），则叫与所成的角。(2)向量夹角θ的范围是,与同向时，夹角θ=;与反向时，夹角θ=.（3）向量垂直：假如向量与的夹角是，则与垂直,记作5.平面对量基本定理及坐标表示（1）平面对量基本定理：假如,是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的随意向量,一对实数、，使=。其中，不共线的向量,叫做表示这一平面内全部向量的一组.（2）与共线，则。（3）平面对量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.(4)平面对量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,作为基底，对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x,y,使，把有序数对叫做向量的坐标，记作=，其中叫在x轴上的坐标，叫在y轴上的坐标.②设,则的坐标就是 的坐标，即若=，则。反之亦成立.（O是坐标原点）6．平面对量的坐标运算（1）已知、，则=,即一个向量的坐标等于该向