2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学

试卷

一、选择题（每小题2分，共16分）

1.（2分）若分式亠有意义，则实数x的取值范围是（）

x-3

A.x=3B.x=0C.xW3D.xWO

2.（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）

A.（才+）,）=ax+ay

B.7-4x+4=x（x-4）+4

C.10?-5x=5x（2x-1）

D.x2-16+3x=（x+4）Cx-4）+3x

3.（2分）下列变形正确的是（）

2

A.xHB.工口c.工工D.工J

xx+3X-Xxy

4.（2分）如图，△ABC丝△DEC,ZACD=28°,则N8CE的度数是（）

C.62°D.24°

5.（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A,8之间的距离，可以在池塘外取AB的垂

线上两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线。E,使点E与A,C在同一条直线

上，这时，可得△ABC丝△£：£＞（7,这时测得。E的长就是的长.判定厶厶台。丝△EDC

C.ASAD.SSS

6.（2分）已知一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是（)

A.8B.7C.6D.5

7.（2分）下列各分式中，最简分式是（)

22

A.6(x-y)

B.y-x

8(x+y)x-y

2,222

c.x+yD.x-y

x2y+xy2(x+y)2

8.（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0,2）,B（a,0）,C（机，n）（/?>0）.若厶

ABC是等腰直角三角形，且AB=BC,当OVaV1时，点C的横坐标机的取值范围是（）

A.0<m<2B.2Vm<3C.m<3D.m>3

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2分）若分式上生的值为0,则x的值为.

2x+l

10.（2分）若等腰三角形的一个角为70°,则其顶角的度数为.

11.（2分）已知三条线段的长分别是4,4,m,若它们能构成三角形，则整数机的最大值

是.

12.（2分）若母=2,x+y=3,则（x+1）（y+1）=.

13.（2分）如图，将长方形A8CO沿对角线8。折叠，使点C恰好落在点C'的位置，若

NDBC=20°,则/AOC'=.

14.(2分)如图，RtAABC+./B=90°，点P在边A8上，CP平分/ACB,PB=3cm

AC=\Ocm,则△APC的面积是cm2.

15.（2分）若/+23+16是一个完全平方式，那么〃?应为.

16.（2分）如图，正方形卡片A类,B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为（。+2匕）,

宽为（。+。）的大长方形，则需要C类卡片张.

aha

三、解答题（共68分）

17.（5分）计算：。3七+（-。2）3..2

18.（5分）计算：[（x+4y）（x-4y）-/]+4y.

19.（4分）计算：二!1151,冬X.

3x5mn2

20.（5分）计算：---+-1—・上空_.

22

x_y2x-2yx

21.（8分）因式分解：

（1）2?），-与己

（2）-a3+2a^-a.

22.（5分）己知/-x+l=0,求代数式（x+1）2-（x+1）（2x-I）的值.

23.（5分）如图，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,D是4c边上一点，连接BD,

EC丄AC,且AE=B。，AE与BC交于点F.

（1）求证：CE=AD；

（2）当A£>=C尸时，求证：8。平分NA8c.

24.（4分）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内,

且到铁路尸G、公路CE和CZ）的距离相等.如果你是红方的指挥员，请你在图中准确地

作出蓝方指挥部点P的位置.（保留作图痕迹，不必写作法）

C

DG

XB\

/E

F

25.（6分）ZB=ZC=90°,EB=EC,DE平分NAOC,求证：AE是ND48平分线.

26.(6分)阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以把多项式/+以+C变形为(x+m)2+”的形式.

例如，/-4X+3—X2-4x+4-4+3=(x-2)2-1.

观察上式可以发现，当x-2取任意一对互为相反数的值时，多项式?-4x+3的值是相

等的.例如，当x-2=±l,即x=3或1时，/-4x+3的值均为0；当x-2=±2,即x

=4或0时，x2-4x+3的值均为3.

我们给出如下定义：

对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则

称该多项式关于x=-m对称，称x=-m是它的对称轴.例如，x2-4x+3关于x=2对

称，x=2是它的对称轴.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)将多项式，-6X+5变形为(X+/M)2+〃的形式，并求出它的对称轴；

(2)若关于x的多项式/+2or-I关于x=-5对称，求a；

(3)求代数式(f+2x+l)(7-8x+16)的对称轴.

2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题2分，共16分）

1.（2分）若分式亠有意义，则实数x的取值范围是（）

x-3

A.x=3B.x—0C.xW3D.xWO

【分析】根据分母为零分式无意义，可得答案.

【解答】解：由题意，得

x-3W0,

解得xW3,

故选：C.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解

答此题的关键.

2.（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）

A.a2*a4=a（x+y）=ax+ay

B.JC2-4x+4=x（x-4）+4

C.107-5x=5x（2x-1）

D.7-16+3x=（x+4）（x-4）+3x

【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.

【解答】解：A.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

D.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，

注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.

3.（2分）下列变形正确的是（）

A.工反B.工口c.D,工J

2

xx+3x-xxxxy

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【解答】解：A、工*2型，故A不符合题意.

xx+3

B、2=二上，故2符合题意.

X-X

2

C、工"二，故C不符合题意.

xVx2

D、工¥二，故。不符合题意.

xy

故选:B.

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于

基础题型.

4.（2分）如图，△ABCdDEC,ZACD=2S°,则NBCE的度数是（）

C

D

A.28°B.56°C.62°D.24°

【分析】根据全等三角形对应角相等可得NACB=NOCE,再根据等式的性质两边同时

减去/ACE可得结论.

【解答】证明：•.•△48C畛△£>«（7,

：.ZACB=ZDCE,

：.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

即/AC£）=NBCE=28°.

故选:A.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角

形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等.

5.（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A,8之间的距离，可以在池塘外取的垂

线B尸上两点C,。，使BC=C£）,再画出B尸的垂线OE,使点E与A,C在同一条直线

上，这时，可得△ABC丝△££）（:,这时测得。E的长就是AB的长.判定△ABC也

最直接的依据是（)

A.HLB.SASC.ASAD.SSS

【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，

要根据已知选择判断方法.

【解答】解：因为证明在aABC丝△EDC用到的条件是：8C=C£>,ZABC=ZEDC=9GQ,

NACB=NECD（对顶角相等），

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.

故选：C.

【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS.ASA,AAS,HL做题时注意选择.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与,

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

6.（2分）已知一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是（）

A.8B.7C.6D.5

【分析】多边形的内角和可以表示成（〃-2）780°,列方程可求解.

【解答】解：设所求多边形边数为小

则（〃-2）780°=1080°,

解得«—8.

故选：A.

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式

进行正确运算、变形和数据处理.

7.（2分）下列各分式中，最简分式是（）

A.6（x-y）B.9二』

8（x+y）x-y

2.222

c.x+yD.x-y

2丄2/亠、2

xy+xy（x+y）

【分析】根据最简分式的定义(分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简

分式)逐个判断即可.

【解答】解：/(x-y)=3(x-y),含有公因式2>不是最简分式，故本选项不符合

8(x+y)4(x+y)

题意：

->-=二\:)_.=-(x+y)=-x-y,故本选项不符合题意；

x-yx-y

C.分式的分子和分母(除1外)没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；

D，_y2=(x+y)(叮),立,不是最简分式，故本选项不符合题意；

(x3)2員力产x+y

故选：C.

【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键.

8.(2分)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2),B(a,0),C(〃?，〃)(〃>0).若厶

ABC是等腰直角三角形，且AB^BC,当0<a<1时，点C的横坐标m的取值范围是()

A.0</n<2B.2<m<3C.m<3D.m>3

【分析】过点C作CO丄x轴于。，由“A4S”可证△AOB丝△BQC,可得AO=B£>=2,

BO—CD=n=a,即可求解.

【解答】解：如图，过点C作8丄x轴于。，

：.AO=2,

「△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC,

NABC=90°=NAOB=ZBDC,

：.ZABO+ZCBD=90°^ZABO+ZBAO,

:.NBAO=NCBD,

在△408和△BOC中，

rZAOB=ZBDC

•ZBAO=ZCBD-

AB=BC

：./\AOB^^BDC（A4S）,

：.A0=BD=2,B0=CD=n=a,

OD=0B+BD=2+a=m,

：.2<m<3,

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助

线构造全等三角形是本题的关键.

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2分）若分式上£的值为0,则x的值为4.

2x+l

【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可.

【解答】解：由题意得：x-4=0且2X+1W0,

解得：x—4,

故答案为：4.

【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分

母不等于零是解题的关键.

10.（2分）若等腰三角形的一个角为70°,则其顶角的度数为70。或40°.

【分析】等腰三角形一个角为70°,没说明是顶角还是底角，所以有两种情况.

【解答】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；

（2）当70。为底角时，顶角=180°-2X70°=40°.

故答案为：70°或40°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没

有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答

问题的关键.

11.（2分）已知三条线段的长分别是4,4,沉，若它们能构成三角形，则整数，"的最大值

是7.

【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可.

【解答】解：根据三角形的三边关系，得

4-4<m<4+4,即0<，〃V8.

则符合条件的整数的值有：1,2,3,4,5,6,7,

所以整数，”的最大值是7.

故答案为：7.

【点评】本题考查了三角形的三边关系.三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小

于两边之和.

12.(2分)若◎=2,x+y=3,则(x+1)(y+1)=6.

【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题.

【解答】解：,••孙=2,x+y=3,

(x+1)(y+1)

=x>'+x+y+l

=xy+(x+y)+1

=2+3+1

=6.

故答案为：6.

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则是解决本题

关键.

13.(2分)如图，将长方形ABCO沿对角线8。折叠，使点C恰好落在点C'的位置，若

ZDBC=20°,贝IJ/AOC'=50°

【分析】由折叠的性质可得：ZDBC=/Z)BC=20°,又由四边形是长方形,

即可求得NABC'的度数，再根据三角形内角和定理可得

【解答】解：根据折叠的性质可得：NDBC=N£>BC=20°,

•四边形A8CQ是长方形，

AZABC=90°，

：.ZABC=ZABC-ZDBC-ZDBC=90°-20°-20°=50°,

VZABE+ZAEB+ZA^ZC'DE+ZC'ED+ZC,NA=NC',NAEB=NC'ED,

：.ZADC'=50°.

故答案为：50°.

【点评】此题考查了折叠的性质与矩形的性质.此题比较简单，注意掌握折叠前后图形

的对应关系，注意数形结合思想的应用.

14.（2分）如图，RtZSABC中，/8=90°，点P在边A8上，CP平分/ACS,PB=3cm,

AC=\0cm,则4APC的面积是15cm2.

【分析】过户作尸。丄AC于。，根据角平分线的性质得至UPD=PB=3cm,根据三角形的

面积公式即可得到结论.

【解答】解：过尸作丄AC于£>,

平分/AC8,/8=90°,

PD=PB=3cm,

AC=i0cm9

二△APC的面积=丄4c•PO=2X3X10=15(cw2),

22

故答案为：15.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题

的关键.

15.（2分）若/+2mx+16是一个完全平方式，那么〃?应为±4.

【分析】这个完全平方式的两平方项是x和4的平方，则另一项为加上或减去x和4的

乘积的2倍，故2加=±8,解得加的值即可.

【解答】解：•.,？+2〃5+16是一个完全平方式，

，2%=±2X1X4,

解得m=±4.

故答案为：±4.

【点评】本题考查了完全平方式的应用，解题关键是熟记完全平方公式的结构特征：两

数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍.

16.(2分)如图，正方形卡片A类,B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b),

宽为Ca+h)的大长方形，则需要C类卡片3张.

aha

【分析】拼成的大长方形的面积是(a+26)(a+b)=/+3必+2廿，即需要一个边长为a

的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是九江

【解答】解：(a+2h)(a+h)=(r+3ab+2b1.

则需要C类卡片3张.

故答案为：3.

【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用

各个面积之和等于总的面积也比较关键.

三、解答题(共68分)

17.(5分)计算：/.“+(-/)3+42.

【分析】根据同底数基的乘法和除法的运算法则，睡的乘方的运算法则解答即可.

【解答】解：原式=/+(-M)

=</-a6-rtz2

—a4-o'

=0.

【点评】本题主要考查了同底数幕的乘法和除法的运算法则，器的乘方的运算法则，熟

记基的运算法则是解答本题的关键.

18.(5分)计算:[(x+4y)(x-4y)-7]+4y.

【分析】直接利用平方差公式计算，再合并同类项，进而利用整式的除法运算法则计算

得出答案.

【解答】解：原式=(X2-16/-?)+4y

=-4y

=-4y.

【点评】此题主要考查了整式的除法运算、平方差公式，正确运用相关运算法则是解题

关键.

19.(4分)计算：

3x5mn2

【分析】利用分式的乘法的法则进行运算即可.

【解答】解：工!2.也

3x5mn25n

【点评】本题主要考查分式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

20.(5分)计算:x-1.x+y

22

x.v2x-2yx

厶J

【分析】根据平方差公式、提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的乘

除法法则计算即可.

【解答】解：原式=-------------・2(x-y)•也

(x+y)(x-y)x

=2.

【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键.

21.(8分)因式分解：

(1)2x3y-2xy3；

(2)-cr'+la1-a.

【分析】(1)先提公因式，再用公式法进行因式分解即可；

(2)先提公因式，再用公式法进行因式分解即可.

【解答】解：(1)2jc,y-2xyi=2xy(x2-7)=2xy(x-y)(x+y)；

(2)-a3+2a2-a--a(a2-2a+l)--a(a-1)2.

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题

的关键.

22.(5分)已知/-x+l=O,求代数式(x+1)2-G+1)(2x-1)的值.

【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值.

【解答】解：原式=/+2x+l-2X2+X-2x+1

=-7+x+2,

当/-x+l=O,即-/+x=I时，原式=1+2=3.

【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式.

23.(5分)如图，在△48C中，/BAC=90°,AB=AC,。是AC边上一点，连接8Q,

ECLAC,S.AE=BD,AE与BC交于点F.

(1)求证：CE=AD；

(2)当AO=C尸时，求证：8。平分/A8C.

【分析】(1)根据"厶证明Rt^CAE与RtaABO全等，进而解答即可;

(2)根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可.

【解答】证明:(1)丄AC,NA4C=90°,

/ACE=NBAC=90°,

在Rt^CAE与RtZ\ABO中，

[AE=BD,

ICA=AB'

.,.白△CAE丝RtZXABD(HL),

：.CE=AD.

(2)由(1)得Rt4C4E丝RtA4B£>,

；.NEAC=NABD,ZE=ZADB.

由（1）得CE=AD,

,:AD=CF,

：.CE=CF.

:・NCFE=/E,

VZCFE=NAFB,

：.ZAFB=ZE.

VZE=ZADB,

：.ZAFB=ZADBf

NAGB=ZEAC+ZADB,/AGB=NDBC+NAFB,

：.ZEAC=ZDBC.

'/NEAC=/DBA,

：./DBA=/DBC,

・・・BD平分NA8C

【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角

形的性质解答.

24.（4分）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，

且到铁路bG、公路CE和CD的距离相等.如果你是红方的指挥员，请你在图中准确地

作出蓝方指挥部点尸的位置.（保留作图痕迹，不必写作法）

【分析】作NOC8的角平分线CM,作NC3戸的角平分线3M射线CM交射线3N于点

P，点尸即为所求.

【解答】解：如图，点P即为所求.

c

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

25.（6分）ZB=ZC=90°,EB=EC,OE平分/AOC,求证：AE是/DAB平分线.

【分析】过点E作EFLAD于凡根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=EF,

从而求出EF=BE,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明.

【解答】证明