2023届浙江省衢州一中高三普通高中毕业班综合测试（一模）数学试题试卷

2023届浙江省衢州一中高三普通高中毕业班综合测试（一模）数学试题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数Z1=cos23+isin23和复数Z?=cos37+/sin37,贝（!z「Z2为

A1V3.R百r1.nV31.

22222222

2.设函数/（幻=£兽£,则y=/（x）,乃,句的大致图象大致是的（）

3.设/（x）=|lnx|,若函数g（x）=/（x）-以在区间（01）上有三个零点，则实数。的取值范围是（）

4.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D,正六边形

22

5.已知双曲线£一色=1（a>0/>0）的左、右顶点分别是A,8,双曲线的右焦点厂为（2,0）,点P在过F且垂直

于x轴的直线/上，当AABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）

22

A.土-匕=1

22

r222

C.——D.土-工=1

344

6.若i为虚数单位，则复数z=-sin-+icos二的共朝复数N在复平面内对应的点位于（）

33

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.设加，〃均为非零的平面向量，贝！J”存在负数X,使得加=而"是"〃〃〃＜0”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.设—/是方程V一%—1=0的两个不等实数根，记凡=律+8（〃eN*）.下列两个命题（）

①数列｛凡｝的任意一项都是正整数;

②数列｛a,,｝存在某一项是5的倍数.

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

9.已知随机变量。满足「信=左）=球（1一0.广/，，=1,2,々=0,1,2.若；＜月＜02＜1,则（）

A.£«,)<E«2),。但)<。但)B.E信)<E©),£>俗)>£>倡)

C.E(0)>E(4),£>(•<£>©)D.E（护E4）,。（0＞。&）

10.已知复数二满足（l+i）z=2i,贝！l|z|=（）

LJ21

A.V2B.1C.—D.-

22

11.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，

葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它

引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取

自水下的概率为（）

12132114

—B.—C.—D.—

13142915

12.已知函数/(x)=sin2工x—Esin^xcos工x,贝!)/⑴+八2)+...+/'(2020)的值等于()

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”

大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上

底边长为六尺，则该正四棱台的高为尺，体积是_______立方尺(注：1丈=10尺).

14.已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按A,3编号，现从中摸出2个球(除颜色与编号外球

没有区别)，则恰好同时包含字母A,8的概率为.

15.的展开式中，x的系数等于一.

x2+y2<1

16.设O为坐标原点,A(2,l),若点B(x,y)满足<；4尤41•,则。的最大值是.

0<y<l

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在.ABC中，角A、B、C所对的边分别为b、c,且cos2C+3cosc-1=0.

(1)求角C的大小;

(2)若b=3a,A8C的面积为GsinAsinB,求sinA及c的值.

jr

18.(12分)在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCO为直角梯形，AD//BC,AABC,PEL面

2

ABCD,AD=3AE,AB=BC=2AE=2,PC=3.

(1)在线段上是否存在点尸，使CF〃面以6,说明理由;

(2)求二面角£一PC—。的余弦值.

19.(12分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在

数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点。为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为。=1-sin。(0«6<2肛。>0),

M为该曲线上的任意一点.

y

X

3

(1)当10M时，求M点的极坐标；

(2)将射线绕原点。逆时针旋转'与该曲线相交于点N,求|MN|的最大值.

20.(12分)第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法(修订草案)》中，提出推行生

活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传

普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的2x2列联表.

分类意识强分类意识弱合计

试点后5

试点前9

合计50

已知在抽取的5()户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为()58.

(1)请将上面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有

关？说明你的理由；

(2)已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强的9户居民

中，随机选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X,求X分布列及

数学期望.

参考公式：K2=---------"3"一姐--------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面的临界值表仅供参考

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.01()0.005().(X)1

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(12分)已知函数〃x)=ln(尤+1)+名，其中。为实常数.

(1)若存在〃>〃此一1,使得“X)在区间(加,〃)内单调递减，求。的取值范围；

(2)当。=0时，设直线丁=辰—1与函数y=/(x)的图象相交于不同的两点A(玉,y),8(9,%)，证明:

.2

%+%+2〉一・

k

22.(10分)已知函数/(x)=e"-ln(x+〃z)+eR.

(1)若x=0是函数/(X)的极值点，求,f(x)的单调区间；

(2)当时，证明：/(%)>m

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.

【详解】

ziZ2=(cos23°+isin23°)•(cos37°+isin37°)=cos6()°+isin60°=—+乌

'■............'22

故答案为C.

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,

点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

2、B

【解析】

采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C

即可求解.

【详解】

对于选项A:由题意知，函数/(力的定义域为R,其关于原点对称,

生比上_*=

、)(r)+1%+1

所以函数/(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A排除；

对于选项D:因为了"+4>°，故选项D排除;

图

对于选项C:因为/(丁)="*(")=0,故选项C排除;

7T+1

故选:B

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点

并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

3,D

【解析】

令g(x)=,f(x)-公=0,可得f(x)=ar.

在坐标系内画出函数.f(x)=|lnx|的图象(如图所示).

当x>l时，〃x)=lnr.由y=lax得

设过原点的直线y="与函数y=/"X的图象切于点A(x0,In/)，

Inx0=ax^%=e

则有《1，解得V1.

a=—a=—

%e

所以当直线y=内与函数丫=山x的图象切时。=1

e

又当直线丫=必经过点B（e2,2）时，有2=a",解得

结合图象可得当直线y=以与函数/（x）=|lnx|的图象有3个交点时，实数a的取值范围是

即函数g（x）=/（x）—公在区间（01）上有三个零点时，实数a的取值范围是•选D.

点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复

杂的函数的零点问题常用此方法求解.

4、C

【解析】

试题分析：画出截面图形如图

显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C.

考点：平面的基本性质及推论.

5、A

【解析】

点P的坐标为（2,加）（相＞0）,tanZAPB=tan（ZAPF-ZBPF）,展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线

计算得到答案.

【详解】

不妨设点P的坐标为(2,〃?)(〃?>0),由于|A6|为定值，由正弦定理可知当sinNA总取得最大值时，AAPB的外接

圆面积取得最小值，也等价于tanNAPB取得最大值，

因为tanNAPF=巴=，tanZBPF^^-,

2+。2—a

tan/APB=tan

2+。2-a

mm

当且仅当机=幺(〃2>0),即当〃2=h时，等号成立,

此时NAP8最大，此时AP8的外接圆面积取最小值,

22

点P的坐标为(2/),代入0一马=1可得后，/?=7c-«=72-

所以双曲线的方程为三-汇=1.

22

故选：A

【点睛】

本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

6、B

【解析】

由共轨复数的定义得到Z，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解

【详解】

由题意得了=-sin二一icos二，

33

因为—sin^^=-^^<0，—cos—=-〉0,

3232

所以N在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

【点睛】

本题考查了共物复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.

7、B

【解析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.

【详解】

因为〃?，〃均为非零的平面向量，存在负数4,使得加=几〃，

所以向量而，〃共线且方向相反，

所以加•〃<(),即充分性成立；

反之，当向量加，〃的夹角为钝角时，满足加•〃<(),但此时"2,〃不共线且反向，所以必要性不成立.

所以“存在负数4,使得m=An”是“mn<0”的充分不必要条件.

故选B.

【点睛】

判断P是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件P能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件P，定义法

是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.

8、A

【解析】

利用韦达定理可得a+夕=1,,结合%=a"+6"可推出a,.=an+,再计算出《=1,4=3，从而推出①

正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.

【详解】

因为a是方程f一工一1=()的两个不等实数根，

所以a+2=l,a尸=-1,

因为a0=a"+"，

所以。科=。向+夕川

=(a"+/7")a+(c"+4")用一Pna-anp

=(an+4”)(a+f3')-a(3(an-'+夕一)

=(优+夕')+(小+41)=q+%,

即当〃23时，数列｛4｝中的任一项都等于其前两项之和，

22

又4-a+(3-\,a2=a+(3=(a+4『―2丽=3,

所以。3=。2+4=4,%=生+%=7,%=。4+%=U,

以此类推，即可知数列｛%｝的任意一项都是正整数，故①正确；

若数列｛《,｝存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5,

由4=1,。2=3,依次计算可知，

数列(«„｝中各项的个位数字以1,3,4,7,1,897,6,3,9,2为周期，

故数列｛«„｝中不存在个位数字为0或5的项，故②错误；

故选:A.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的推导，考查数列性质的应用，考查学生的综合分析以及计算能力.

9、B

【解析】

根据二项分布的性质可得：E低)=Pi,D(4)=Pj(1-0),再根据：<0<<1和二次函数的性质求解.

【详解】

因为随机变量《满足P(4="=0(-0广*讨，1=1,2,左=0,1,2.

所以。.服从二项分布，

由二项分布的性质可得：E(4)=0,〃(当)=0(1-0),

因为;<P]<P2<1，

所以E信)<£(4),

由二次函数的性质可得：/(x)=x(l-x),在上单调递减，

所以。信)>。©).

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

10、A

【解析】

根据复数的运算法则，可得Z,然后利用复数模的概念，可得结果.

【详解】

2/2i(1)2z-2z2

由题可知：z=—

由尸=一1，所以z=l+i

所以目=V12+12=V2

故选：A

【点睛】

本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.

11、C

【解析】

由题意知：BC=2,B'C=5,设AC=x,则A8=A6'=x+2,在Rt二ACB'中，列勾股方程可解得x,然后由

Y

p=——得出答案.

x+2

【详解】

解：由题意知：BC=2,B'C=5,设AC=x,则AB=A8'=x+2

,21

在Rt_AC3'中，列勾股方程得：52+X2=(X+2)\解得X=I

21

X~A21

所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为P=--=5/一=—

x+221+229

故选C.

【点睛】

本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.

12、C

【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4,然后借助于三角函

数的周期性确定其值即可.

【详解】

解：/(x)=sin2—x-V3sin—xcos—X.

444

I八乃、6.乃

=—(1-cos—%)------sin—x

2222

=-sin(-^x+—)4-^,

f(X)=-si畤X+令+；,

T2万

・・・/(x)的周期为一不一

2

〃1)=W，42)=1，〃3)=¥，〃4)=0,

〃l)+f(2)+〃3)+/(4)=2.

.­./(1)+/(2)++/(2020)

=505x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]

=505x2

=1010.

故选：c

【点睛】

本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于

中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、213892

【解析】

根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.

【详解】

如图所示：

正四棱锥P・A5CD的下底边长为二丈，即Ab=20尺，高三丈，即尸。=30尺,

截去一段后，得正四棱台ABCD-A，B，CDT且上底边长为A7f'=6尺,

30-00'2X6

所以

30-x20

2

解得OO'=21,

所以该正四棱台的体积是

V=*1x(2()2+20x6+62)=3892,

故答案为：21；3892.

【点睛】

本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.

2

14、-

3

【解析】

根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概

率.

【详解】

从袋中任意地同时摸出两个球共c：种情况，其中有c；c；种情况是两个球颜色不相同;

故其概率是。=三^===彳

C4o3

故答案为：y.

【点睛】

本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于

基础题.

15、7

【解析】

(I[IV/.

由题，得t+i=C；--x^=C；-九4-r,令厂=3,即可得到本题答案.

\J

【详解】

(1Yl]_iv/IY

由题，得加=喝R=G匕卜〜'

令r=3,得x的系数

故答案为：7

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.

16、75

【解析】

\m\r-

OAOB=2x+y，可行域如图，直线2x+y=m与圆/+>2=1相切时取最大值，由=>0n/〃=，5

V5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)C——(2)sinA=；c-y/3

314

【解析】

(1)由cos2c=2cos2c-1代入cos2C+3cosc-1=0中计算即可；

(2)由余弦定理可得°=所以sinA=\sinC,由52芯=；。匕sinC=J5sinAsinB,变形即可得到答案.

【详解】

(1)因为cos2C+3cosc—1=0,可得：2cos*C+3cosc-2=0,

AcosC=~,或cosC=-2(舍)，V0<C<,

2

222222

(2)由余弦定理c=a+b-2abeosC=3a+2a=7a,

得c=5a

所以sinC=J7sinA,

田..I.「屈

故smA=—7=sinC=---,

a14

又S/\ABC=gabsinC=6sinAsin8,ZC

所以，——竺=［上］=4,

sinAsin5lksinC)

所以c=.

【点睛】

本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

18、(1)存在；详见解析(2)好

5

【解析】

(1)利用面面平行的性质定理可得，/为PO上靠近。点的三等分点，石。中点。，证明平面平面即

得；

(2)过E作EG//45交8C于G,可得PE,EG,ED两两垂直,以分别为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，求出EC,EP长，写出各点坐标，用向量法求二面角.

【详解】

解：(1)当尸为上靠近。点的三等分点时，满足〃面B45.

证明如下，取EO中点。，连结CQ,QF,C£

AD!IBC,AD=3AE,BC=2AE=2,AQ=BC

即易得A6//CQ，。///AP所以面CQb//面即C尸〃面R钻.

(2)过E作EG//AB交BC于G

TT

PE±^ABCD,NABC=一

2

PE,EG,ED两两垂直,以EG,ED,EP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

EC=>JEG2+GC2=y/5,PE=y]PC2+EC2=2

£（0,0,0）,P（0,0,2）,C（2,l,0）,D（-2,l,0）

EP=（0,0,2）,PC=（2,l,-2）,CD=（-2,1,0）

%•EP=2z=0z=0

设面EPC法向量4=(x,y,z),贝।卜,即《

%•PC=2x+y-2z=0y=-2x

取x=l,；.4=（l,-2,0）

同理可得面PC。的法向量〃2=(L2,2)

-3V5

COS<72,,%>=-----=--------------

365

综上可知锐二面角E—PC—。的余弦值为也.

5

【点睛】

本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角.线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握:

立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的.求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间

向量法求空间角.

/3q冗、

19、(1)点M的极坐标为；,：或31U

，-（2）72+1

\2o/26-

【解析】

3

(1)令一=l-sin。，由此求得。的值，进而求得点〃的极坐标.

2

(2)设出M,N两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.

【详解】

(1)设点M在极坐标系中的坐标［；招］,

31

由夕=l-sin。，得一=l-sin。，sin8=——

22

,：Q<0<2K

66

37乃3Wn

所以点M的极坐标为或

(2)由题意可设N夕24+6

由夕=1-sin。，得g=l-sin。，p2=1-sinIy+I=1-cos0.

\MN\=y/p；+=^(1-sin^)24-(1-cos/9)2

=j3-2(sin6+cos6)

=，3—2拒sin6+()

57r

故。=亍时，I跖v|的最大值为近+i.

【点睛】

本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.

20、(1)有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系.见解析(2)分布列见解析，期望为1.

【解析】

(1)由在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为058可得列联表，然后计算Kz后可得结论;

(2)由已知X的取值分别为0』,2,3,分别计算概率得分布列，由公式计算出期望.

【详解】

解：(1)根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为058,可得分类意识强的有29户，故可得2x2

列联表如下:

分类意识强分类意识弱合计

试点后20525

试点前91625

合计292150

因为K?的观测值k=5翳菰；等=鬻x9.934N7.879,

所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系.

(2)现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12

年以上的户数为X,则X=0,1,2,3,

C3SC2C'15

故"x=o)=#五，尸(x=D=者,

23

p(X=2)=^C'C-=—3,P(X=3)=^C=一1,

C；1484

则X的分布列为

X0123

51531

p

21281484

£(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.

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【点睛】

本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望.考查学生的数据处理能力和运算求解能力.

21、(1)(4,-Foo)；(2)见解析.

【解析】

(1)将所求问题转化为f(x)<0在上有解，进一步转化为函数最值问题;

2

x.+Xy+2________2________

(2)将所证不等式转化为」~2—>，进一步转化为--->InX+1，然后再通过构

王一々ln(xt+1)-ln(x2+1)"1十.]

x2+1

x2+1

造加⑺=Inf-改口加以证明即可.

Z+1

【详解】

£

(1)/(x)=-^--—-T(X>-1),根据题意，“X)在(—1,田)内存在单调减区间,

4I1*乙)

则不等式f(x)<0在(-1,”)上有解，由一二一二巴=<。得。〉区立，设g(x)=(x+2)-,

X+l(X+2)X4-1x+l

则g(x)=(x+D-+2Q+D+1=(X+1)+-1-+2N4,当且仅当x=0时，等号成立，

X+lX+1

所以当X>-1时，g(x)1111n=4,所以存在X>-1,使得4>g(x)成立，

所以。的取值范围为(4,+8)。

-1/(%.)-/(x)ln(x,+l)-ln(x+1)

(2)当。=0时，/(x)=ln(x+l),则、二八“八2_乙_2从而

%1~X2X]-x2

c2(x,-x^)

所证不等式转化为芭+/+2>哂+口_小+|)'不妨设—'则不等式转化

2_______x_.+1+x+12

为卫9>即—9!------=----->--------------------

2一/ln(Xj+l)-ln(x2+1)(%1+1)—(x2+1)ln(x(+1)—ln(x2+1)

M+1i八

----7+12i

%,+1------rx.+1r+12

即七一