2023-2024学年北京市房山区九年级上学期期中考试数学试卷含详解

房山区中学2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研

九年级数学

一、选择题（共16分，每题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.已知2x=3y（个20）,那么下列比例式中成立的是（）

A.=B.3C.»x3

D.-=~

y332232y

2.抛物线、=3+1的顶点坐标是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（0,1）D.

3.我国著名数学家华罗庚曾普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A.黄金分割数B.平均数C.众数D.中位数

4.如图，在.ABC中，DE//BC,AD=3,DB=6,AE=2,则EC的长为（）

5.把二次函数y=3N的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是

（）

A.y=3（x+2）2+1B.y=3（x+2）2-1

C.y=3（x-2）2-1D.y=3（x-2）2+l

6.已知蓄电池两端电压U为定值，电流/与R的函数关系为/=S.当/=3A时，片8Q,则当/=6A时，R

R

的值为（）

A.4QB.60C.8QD.10Q

7.若点5（2,%），。（4,%）在抛物线y=%2—4x+5上，则%,%，%的大小关系为（）

A.%<%<%B.y2m3C.%<%<%D.当<为<M

8.已知：在四边形A3CD中，ABCD,?B90?,点E是线段上一点，且AE平分/氏4。，DE平分

^ADC,给出下面四个结论:

①石；②ZAEB=/EDC；③ABCD=BE-EC；®BEED=AEEC

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

D.①②③④

二、填空题（共16分，每题2分）

9.在函数丫=--—中，自变量x的取值范围是

x-5

一「

10.己知y上1=一，x则+——y=.

x2x

11.请写出一个图象的顶点为（0,0）的二次函数的表达式：.

12.若两个相似三角形的相似比是1：2,则它们的周长比是.

13.如图，点。，E分别在△ABC的A5,AC边上.只需添加一个条件即可证明△这个条件

可以是.（写出一个即可）

D-

B

k

14.如图，已知反比例函数y=—的图象经过点A,且的面积为2,则左的值为

x

15.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园A3CD,其中一边A。靠墙，其余的三边A3,BC,

CD用总长为40米的栅栏围成.设矩形A3CD的边=x米，面积为S平方米.

（1）活动区面积S与X之间的关系式为；

（2）菜园A3CD最大面积是平方米.

16.二次函数丁=依2+陵+。（。/0）的图象经过4（0,3）,5（2,-1）,。（4,3）三点.

下面四个结论：

①抛物线开口向下；

②当x=2时，y取最小值—1；

③当机4-1时，一元二次方程OX?+法+。=相必有两个不相等实根；

④直线y=fct+c（左W。）经过点A,B,当Ax+c>ox?+bx+c时，x的取值范围是0<x<2.

所有正确结论的序号是.

三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.如图，AC,相交于点。，ZA=ZD.

求证：NAOB:NDOC.

18.若x:2=3:（x+5）,求x的值.

19.已知二次函数丁=f+2》一3.

口

4-

3-

2-

1-

1111__________1111A

一4一3—2T01234%

—1-

-2-

-3-

—4-

（1）求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；

（2）在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y<0时，x取值范围.

20.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.ABC和刀砂的顶点都在边长为1的小正

方形的格点上.

(1)则NDEF=°,AC=；

(2)判断与.。斯是否相似.若相似，请说明理由.

21.已知二次函数丁=依2+法+c(qw0)图象上部分点的横坐标x,纵坐标》的对应值如下表:

XL-2-101234L

yL50-3-4-30nL

求这个二次函数的表达式及〃的值.

22.同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”.下

23.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2图象与反比例函数y=&(左WO)的图象相交于点4(1,间.

X

(1)求这个反比例函数的表达式；

k

(2)请结合图象直接写出一>九+2时，犬的取值范围是

x

24.小宇在学习过程中遇到了一个函数丁=国+!(工/0).

下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：

(1)对于函数%=工，当x<0时，％随x的增大而减小，

X

对于函数%=卜|，当x<0时，为随X的增大

而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y,当％<o时，y随x增大而

(3)过点(0,加)作平行于x轴的直线/,结合(1)(2)的分析，解决问题：

若直线/与函数y=N+工(xh0)的图象有两个交点，则机=.

X

25.如图，在平行四边形A3CD中，延长A。至点E,使。E=连接助交CD于点尸.

2

(1)求证：ABEsCFB；

(2)若CF=2,求AB的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-(a+l)x(aW0),若加(七,%),N(%,%)为抛物线上两个不

同的点，设抛物线的对称轴为％="

(1)当t=1时，求”的值；

(2)若对于之—g,都有必＜为，求”的取值范围.

27.如图，在_ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,过点A的射线与斜边交于点D,CELAD于点E.

(1)求证：NBAD=ZACE；

(2)连接班，若满足DC=2BD,AE=1,求跖的值.

28.定义：在平面直角坐标系xQy中，当点N在图形/的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等

时，则称点N为图形”的“和谐点

叫I

4-

3-

_________P

-4-3-2-ix

BC

-2-

-3-

-4-

⑴如图，矩形ABC。的顶点坐标分别是A（—L2）,C（3,-l）,D（3,2）,在点必（1,1）,

M2（2,2）,M（3,3）中，是矩形A5C。“和谐点”的是；

（2）点G（2,2）是反比例函数x=K图象上的一个“和谐点，，，则该函数图象上的另一个“和谐点””的坐标是

,直线G”的表达式是乂=；

19

（3）已知点A,8是抛物线y=—，（尤―1）一+5上的“和谐点”，点A在点B的左侧，点。是抛物线的顶点，连

接AC,AB,BC,求点A,3的坐标，并直接写出ABC的面积.

房山区中学2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研

九年级数学

一、选择题（共16分，每题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.已知2x=3y（个20）,那么下列比例式中成立的是（）

x2xyxy%3

A.—=-B.—=—C.—=—D.-=一

y332232y

【答案】B

【分析】根据比例的性质求解即可.

x2

【详解】解：A,

y3

；.3x=2y,故A不符合题意；

xy

B、*.*—=一,

32

/.2x=3y,故B符合题意；

cY-X

23

.♦.3x=2y,故C不符合题意；

x3

2y

.•.孙=6,故D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键.

2.抛物线、=3+1的顶点坐标是（）

A.（-1,0）B,（0,-1）C.（0,1）D,（1,0）

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如丁=加+左的顶点坐标为（0㈤是解题的关键.

【详解】解：抛物线y=f+i的顶点坐标是（0,1）,

故选C.

3.我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A.黄金分割数B.平均数C.众数D.中位数

【答案】A

【分析】根据黄金分割比可进行求解.

【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；

故选A.

【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键.

4.如图，在「ABC中，DE//BC,AD=3,DB=6,AE=2,则EC的长为()

A.2B.4C.6D.9

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是

解题的关键.

【详解】解：DE//BC1

:.AADE^AABC,

，处=空，即：^=3,

ABAC3+6AC

解得：AC=6,

\CE=AC-AE=6-2=4,

故选B.

5.把二次函数y=3N的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是

()

A.y=3(x+2)2+1B.y=3(x+2)2-1

C.y=3(x-2)2-lD.y=3(x-2)2+l

【答案】C

【分析】直接利用平移规律”左加右减，上加下减”解题.

【详解】解：,••二次函数丫=3尤2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，

；.y=3(x-2)2-1.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键.

6.已知蓄电池两端电压U为定值，电流/与R的函数关系为/=下.当/=3A时，R=8C,则当/=6A时，R

的值为（）

A.4QB.60C.8QD.10Q

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数的应用.利用待定系数法求出U的值，由此即可得.

【详解】解：由题意得：R”,

:当/=3A时，Q8O,

・•.8上,

3

解得。=24,

―竺,

I

24

则当/=6A时，R=—=4（0）,

6

故选：A.

7.若点4（—1,弘），5（2,%），。（4,%）在抛物线y=x2—4x+5上，则%,为，%的大小关系为（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.%<%<M

【答案】D

【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根

据点A,B,C到对称轴的距离大小求解.

【详解】解：y=x2-4x+5,

，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-二土=2,

2x1

2-2<4-2<2-（-1）,

%<%<%•

故选：D.

8.已知：在四边形A3CD中，ABCD,?B90?,点E是线段上一点，且AE平分DE平分

^ADC,给出下面四个结论：

①石；②ZAEB=/EDC；③ABCD=BE-EC；®BEED=AEEC

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

D

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根据ABl。和AE平分44D,OE平分NA0C推出NZME+/ADE=90°即可证明石，可

证明①正确；根据NAED=90°推出NA£5+NDEC=90°,根据4=90°推出NC=90°,从而推出

ZEDC+ZDEC=90°,即可推出NA£B=N£DC,可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定

.AB£S_ECD后根据相似三角形的对应边成比例得至U比例式再推出ABCD=BEEC可证明③正确，④不正确；

即可选出正确答案.

【详解】VABCD,

ZDAB+ZADC^Q0

:AE平分NH4D，OE平分NAZJC

NDAE=-/BAD,ZADE=-ZADC,

22

ZAEE>=90°,

:.AEVDE-,

故①正确；

VZAED=90°,

：.ZAEB+ZDEC=90°,

•：ABCD,ZB=90°,

：.ZC=90°,

:.ZEDC+ZDEC=90°,

ZAEB=ZEDC,

故②正确；

ZAEB=/EDC,ZB=ZC=90°

：.ABEs一ECD,

ABBEBEAE

.ELCD'CD~DE'

：.ABCD=BEEC,故③正确；

BE-瓦）=AE•CD故④不正确；

正确的有①②③.

故选：c.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相

似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.在函数丫=--—中，自变量x的取值范围是.

x-5

【答案】x/5.

【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为。的条件，要使一'一在

x-5

实数范围内有意义，必须x—5wOnxw5.

一「y1x+y

10.已知一二一,贝"---=.

x2x

3

【答案】-

2

【分析】由已知可得小y的关系，然后代入所求式子计算即可.

y1

【详解】解：・・・』=大，

x2

x=2y9

.x+y_2y+y_3

x2y2'

3

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键.

11.请写出一个图象的顶点为（0,0）的二次函数的表达式：.

【答案】y=x2（答案不唯一）

【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式“y=a（x—丸尸+左（左为常数，awO）”，

是解题的关键.

【详解】解：.♦二次函数的顶点式为：y=a（x-hY+k（左为常数，。/0）,

图象的顶点为（0,0）的二次函数的表达式可以为：y=x2,

故答案：丁=必（答案不唯一）.

12.若两个相似三角形的相似比是1：2,则它们的周长比是.

【答案】1：2

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求得.

【详解】解：•••两相似三角形的相似比为1：2,

，它们的周长比是1：2,

故答案为：1：2.

【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键.

13.如图，点。，E分别在△ABC的A3,AC边上.只需添加一个条件即可证明△ADES/XACB,这个条件

可以是.（写出一个即可）

,_.,—一ADAE

【答案】NADE=/C或NAED=NB或——=—

ACAB

【分析】由已知得到NA是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可.

【详解】INA=NA,

.,.当NADE=/(:或/AED=/B时，A£>E^AACB；

ADAE

当一=——时，ADESAAACB；

ACAB

ADAE

故答案为：NADE=/C或/AED=/B或——=—

ACAB

【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键.

k

14.如图，已知反比例函数y=—的图象经过点A,且AOB的面积为2,则左的值为

x

【答案】4

【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于网的一半，由此可以得到它们的关系.

【详解】解：依据比例系数/的几何意义可得面积等于=2,

解得：k—±4，

..•反比例函数y=±（左为常数，左wO）的图象在第一和第三象限,

X

.,.左=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查反比例系数4的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标

轴围成的矩形面积就等于W是解题的关键.

15.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园A3CD,其中一边A。靠墙，其余的三边A5，BC,

CD用总长为40米的栅栏围成.设矩形A3CD的边=尤米，面积为S平方米.

（1）活动区面积S与x之间的关系式为；

（2）菜园A3CD最大面积是平方米.

【答案】①.S=—2必+40x（0<x<20）②.200

【分析】本题考查二次函数的应用，

（1）表示出BC,由矩形面积公式可得函数关系式；

（2）把面积S配成顶点式，由二次函数性质可得答案.

【详解】解：（1）由题意得：BC=40-2x,

S=x（40-2x）=-2x2+40x,

V40-2x>0,解得尤<20,

•••活动区面积S与x之间的关系式为S=-2x2+40x（0<x<20）；

解：（2）由（1）得：活动区面积S与x之间的关系式为S=-2f+40x,

-：S=-2x~+40%=-2（/-20%+100）+200=-2（%-10）2+200,

二当x=10时,S取最大值200,

菜园ABCD最大面积是200平方米；

16.二次函数丁=Q2+陵+。（。/0）的图象经过4（0,3）,5（2,-1）,C（4,3）三点.

下面四个结论：

①抛物线开口向下；

②当*=2时，y取最小值—1；

③当加4—1时，一元二次方程依2+bx+c=%必有两个不相等实根；

④直线y=Ax+c（左w0）经过点A,B,当Ax+c>℃2+bx+c时，式的取值范围是0<x<2.

所有正确结论的序号是.

【答案】②④

【分析】将点45、C的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为y=/-4x+3,画出函数图象，进而求

解.

【详解】将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得

c=3a=l

<4a+2b+c=-1,解得<b=—4,

16a+4b+c=3c=3

故抛物线的表达式为y=%2-4x+3,函数图象如下：

①。=1>0,,故抛物线开口向上，故①错误，不符合题意；

②抛物线开口向上，顶点为（2,—1）,

当尤=2时，y取最小值—1，故②正确，符合题意；

③•.•函数的最小值为-1,

故加<一1时，直线丁=加和丁=公2+法+。有一个或没有交点，

故一元二次方程依2+法+。=加无解或有两个相等实根，故③错误，不符合题意；

④观察函数图象，直线丁=履+。仕/0）经过点人,3,

当辰+。>滤+陵+。时，x的取值范围是0<x<2,故④正确，符合题意；

故答案为：②④.

【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交

点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解.

三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.如图，AC,相交于点。，ZA=ZD.

B

C

\ow

D

A

求证：VAOB:NDOC.

【答案】见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的关键.

【详解】解：BD交于点。

：.ZBOA=ZDOC

VZA=ZD

：./\AOB^^DOC

18.若x:2=3:(x+5),求无的值.

【答案】％=-6,%=1

【分析】本题考查比例性质，分式方程的解法，一元二次方程方程的解法，先将比例式方程化为分式方程，再按

分式方程的解法求解即可.

【详解】解：化为分式方程得：一=-^,

2x+5

化为整式方程得：尤(x+5)=6,

去括号得：x2+5x=6<

移项得：％2+5%一6=0，

因式分解得：(x+6)(x-l)=0,

解得：=—6,々=1,

经检验：七=-6,%=1都是原方程的解.

19已知二次函数y=x?+2x-3.

4-

3-

2-

1-

Illi________1111A

-4-3-2-101234%

-1-

-2-

—3-

—4~

(i)求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；

(2)在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y<0时，X的取值范围.

【答案】(1)(0)-3)

(2)-3<x<l

【分析】(1)利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令x=0,可得代入抛物线解析式，解

方程即可得出与y轴交点坐标；

(2)根据图象与X轴的交点坐标，可确定y<0时，尤的取值范围.

【小问1详解】

解：1y=x?+2x-3=(尤+1)2-4,

二次函数图象的对称轴为：x=-l,

当x=0时，y=-3,

,与>轴的交点坐标为(0,-3)；

【小问2详解】

二次函数y=f+2x—3图象的顶点坐标为(―L—4),对称轴为直线x=—1,

当y=0时，f+2%—3=0，

解得：玉=—3,x2—1,

••・二次函数图象与x轴交点坐标为(一3,0)或(1,0)；

图象如下:

【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：

y^a(x-h)-+k,顶点坐标为(/z,左)，对称轴》=〃,，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围.

20.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.和一Q砂的顶点都在边长为1的小正

(1)则NDEF=°,AC=；

(2)判断.ABC与」)_即是否相似.若相似，请说明理由.

【答案】⑴135,275

(2)AABC:ADEF,理由见解析

【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定.

(1)根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到NDE7的度数，再根据邻补角定义即可得到

"EF的度数；利用勾股定理，即可求出AC的值，构造Rt_ACK利用勾股定理，是解题关键；

(2)方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的血倍，可求出对角线BC,OE的值，然后通过构造

RtAD77,利用勾股定理可求出OR的值，由此即可得到和Q砂三边的值，根据相似三角形的判定

“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出BC,OE的值，由(1)可得到

“石户的值，同理可求出/A5C的值，已知A5,EF的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹

角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键.

【小问1详解】

解：如图，令4x4的正方形顶点分别为A,H,I,K,

由题意得。E为边长为1的小正方形的对角线，

.•."£7=45°,

”即=180°—45。=135。，

由图可知，AC是RtACK的斜边，AK=4,CK=2,

AC=y/CK2+AK2=722+42=275•

【小问2详解】

解：判断：△ABC:ADEF,

解法一：

证明：为边长为2的小正方形的对角线，OE为边长为1的小正方形的对角线,

BC=272，DE=①，

由图可得。歹是RtAD77的斜边，77=3,DI=1,

.-.DF=7I+32=Vio，

又：A3=2,AC=2也,EF=2,

.AB_2_r-BC242_r-AC_245_

DE41EF2DFV10

ABBCAC

~DE~~EF~~DF，

△ABC:ADEF.

解法二：

证明：BC为边长为2的小正方形的对角线，OE为边长为1的小正方形的对角线,

BC=2A/2，DE=行，

又AB=2,EF=2,

-AB_2ABe_2叵_A

DE72EF2

.ABBC

~~DE~~EF，

BC,OE都是正方形的对角线，

:.NCBK=45。,ZDEI=45°,

•••ZABC=ZDEF=180°-45°=135，

△ABC:/\DEF.

21.已知二次函数丁=依2+法+c(aw0)图象上部分点的横坐标x,纵坐标V的对应值如下表:

XL-2-101234L

yL50-3-4-30nL

求这个二次函数的表达式及〃的值.

【答案】y=2x—3,n=5

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据选取的点设合适的二次函数解析式的形式.

【详解】解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为丁=以2+云+,3/0)

..•二次函数经过点(0，-3),(1,—4),(2,—3)

-3=c

<-4=a+b+c

—3=4〃+26+c

a—\

解得<b=-2

c=-3

.二二次函数的表达式为y=x2-2x-3.

2

当％=4时，n=4-2x4-3=5

解法二：由题意，设二次函数的表达式为y=Q(%-l)2-4(QwO).

・・,二次函数经过点(0，—3),

.\-3^^(0-1)2-4.

a=1.

...二次函数的表达式为y=(x—1)2—4.

即y=x2-2x-3.

当彳=4时，〃=(4—I)?—4=5

解法三：由题意，设二次函数的表达式为y=a(x+D(x—3)(a/0)

二•二次函数经过点(1，—4),

—4=ci(l+1)(1—3).

,=1.

・・・二次函数的表达式为y=(x+i)(x-3).

即y=x2-2x-3.

当尤=4时，n=(4+1)(4—3)=5

22.同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”.下

【答案】见解析

【分析】方法一，过。作CE//ZM.交区4的延长线于E,利用平行线分线段成比例定理得到空=股，可得

AEDC

结论；

方法二：过点。作。MLA3于过点。作。N,AC于N,过点A作APLBC于尸，那么它们面积的比就等于底

的比即可得出结论.

【详解】解：方法一：证明：如图，过点C作CE〃&。与3A得延长线交于点E.

BD

•：CE//AD

：.Z1=Z2,N3=N4

•1,AD平分ZBAC

Zl=Z3

，/2=/4

：.AE=AC

:CE//AD

.ABBD

''AE~DC

■：AE=AC

.ABBD

"^c~15c

方法二：证明：如图，过点。作。于过点。作。N_LAC于N,过点A作AP_L8C于P.

•1,平分NBAC

：.DM=DN

-ABDM-BDAP

'c△ABD__2___________2________

,△ACD-.ACDN-DCAP

22

'：DM=DN

.AB_BD

,~AC^~DC

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，掌握相似三角形的性质和角平分线的性质是解题的关

键.

23.在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=幺仕w0)的图象相交于点A(l,m).

(2)请结合图象直接写出&＞x+2时，x的取值范围是.

X

3

【答案】⑴y=-

(2)%＜-3或Ov九vl

【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，由函数图像求不等式解集.

(1)把点代入y=x+2求得机的值，求出A点坐标，然后根据待定系数法即可求出反比例函数解析式;

(2)先求出一次函数与反比例函数的另一个交点，再根据函数图像即可求得.

【小问1详解】

解：一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=X(4力0)的图象相交于点A(l,m),

X

当x=l时，%=1+2=3,

.*.4(1,3),

「"=1x3=3,

・••反比例函数的表达式为丁二三3；

X

【小问2详解】

3

当x+2=—时，玉=1,x=-3,

x2

・•・一次函数与反比例函数的另一个交点为(—3,—1),

由图象可知，当一＞尤+2时，%的取值范围是1＜—3或0v九v1,

x

故答案为：元＜—3或0＜尤＜1.

24.小宇在学习过程中遇到了一个函数y=|x|—(x/0).

下面是小宇对其探究的过程，请补充完整:

(1)对于函数%=—，当％<0时，％随天的增大而减小,

对于函数%=国，当了<0时，％随x的增大

而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y,当x<o时，y随x的增大而

(2)当尤>o时，对于函数y与x的几组对应值如下表：

j_25_

XL12

4~222

175_13529

y2

T2~6210

在平面直角坐标系中，画出当x>o时函数y的图象.

-1O

4-1-

(3)过点(0,〃。作平行于x轴的直线/,结合(1)(2)的分析，解决问题：

若直线/与函数y=W+H0)的图象有两个交点，则m=.

【答案】(1)减小；减小

(2)见解析(3)m=2

【分析】本题考查了函数的图象和性质，解题的关键是：

(1)首先判断出当x<0时，内的变化，根据两部分的函数增减性一致即可分析；

(2)利用表格中的数据，描点，连线即可；

(3)根据(1)中结论判断出直线/在y轴左侧必定与函数y有一个交点，再找到直线/在y轴右侧有一个交点时的

m值即可.

【小问1详解】

解：对于函数%=忖，当x<0时，％=-%，

则为随》的增大而减小，

...对于函数y,当无<0时，y随x的增大而减小,

故答案为：减小，减小；

【小问2详解】

如图所示：

【小问3详解】

由（1）可得：对于函数y,当％<o时，y随x的增大而减小,

而丁=国+!（工/0）中，y值可以无限大，也可以无限小，

故直线I在y轴左侧必定与函数y有一个交点，

则只需在y轴右侧与函数y有一个交点即可，

如图，当租=2时满足题意，

综上：m=2.

25.如图，在平行四边形A5CD中，延长AD至点使。石=，A。，连接BE交CD于点尸.

2

BC

(1)求证：ABE^CFB；

(2)若CF=2,求A3的长.

【答案】(1)见解析(2)AB=3

【分析】(1)由平行四边行的性质可得Z4=NC,再证NE=NCBE,即可求证；

(2)可证△BCFs△EDF,可得竺=里,结合平行四边形的性质，即可求解.

DFED

【小问1详解】

证明：四边形ABCD是平行四边形，

.-.ZA=ZC,AE//BC,

.\ZE=ZCBE,

:.△ABESMFB.

【小问2详解】

解：四边形ABCD是平行四边形

BC//AE,BC=AD,AB=CD,

:.ZE=ZCBE,ZC=ZCDE,

.'.△BCFSAEDF,

.CFBC

••--------,

DFED

DE=-AD,AD=BC,

2

:.DE=-BC,

2

...-C--F----B--C-----1,

DFED2

CF=2,

DF=1,CD—CF+DF—3,

AB=CD,

AB=3.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的模型:

“A”字形和“X”字形的判定方法是解题的关键.

26.在平面直角坐标系x0y中，抛物线丁=加一（a+l）x（awO）,若以（七,%）,N（尤2，%）为抛物线上两个不

同的点，设抛物线的对称轴为1=/.

（1）当f=l时，求。的值；

（2）若对于玉>々g,都有％<%，求。的取值范围.

【答案】（1）a=l

（2）--<67<0

2

【分析】（1）由题意可得抛物线的对称轴为％=1,再利用抛物线的对称轴公式x=-二回0=1可得。的值；

2a

（2）对于任意的xN-工，y随x的增大而减小，分类讨论a>0和时。的取值范围，当a>0时不能满足

2

xl>x2>-^,都有必<为，当时可以满足对于X]>/»—g,都有％<%的条件，使得对称轴

x=_-S+1）从而可求出a的取值范围.

2a2

【小问1详解】

抛物线的对称轴为1=/,且/=1,

，对称轴为：x=l,

即

2a

解得。=1.

【小问2详解】

由题意可得，对于任意的y随X的增大而减小，

2

①当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=_—（-+1）='+'~〉0,在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴

2a22a

的右侧七〉%>一2都有必〉〉2，故不符合题意；

②当〃<0时，对于任意的％之一,，》随犬的增大而减小，

2

a<0

从而彳一（。+1）1，

、2a~~2

解得：—＜。＜0.

2

【点睛】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等

式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键.

27.如图，在A6C中，AB=AC,4c=90°,过点A的射线与斜边交于点D,CELAO于点E.

(1)求证：NBAD=ZACE；

(2)连接班，若满足。。=2班＞,AE=1,求跖的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)BE=41

【分析】(1)根据余角和互余的性质，即可证明结论；

(2)过点B作M，相＞,交延长线与点孔先证明ABF^CAE(AAS),得到4产=。£,

BDBF