2023-2024学年河北省石家庄高二年级上册期末联考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省石家庄高二上册期末联考数学

模拟试题

一、单选题

1.若直线数+制+6=0在X轴、y轴上的截距分别是-2和3,则4,b的值分别为

A.3,2B.-3,-2C.-3,2D.3,-2

【正确答案】D

【详解】分析：将(-2,0),(0,3)代入直线方程即可求解.

[-2,a+6=0

详解：由题意，得LU,

[3⅛+6=0

a=3

解得

b=-2

点睛：本题考查直线的方程等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学转化能力.

2

2.已知双曲线r]-y2=l(α>0)的右焦点与抛物线v=8x的焦点重合，则此双曲线的渐近

线方程是()

A.y=±∖f5xB.y=±——X

5

√3

C.y=±Λ∕3Xn+

3

【正确答案】D

【分析】求出双曲线方程中的。即得解.

【详解】解：・・・抛物线T=物的焦点是(2,0),.∙.c=2,a2=4—1=3,JQ=百,

.b√3

••—=—.

a3

所以双曲线的渐近线方程为y=±等x∙

故选：D

3.(X-夜)，『的展开式中√>4的系数是()

A.-840B.840C.210D.-210

【正确答案】B

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.

K

【详解】由题意可得k-可广的展开式通项公式为7；M=GOXF-√5y))=0,l,2,,10,

故展开式fyt的系数为c%(-√5)4=84θ,

故选：B

4.已知由正数组成的等比数列｛4｝中，前6项的乘积是64,那么为+4的最小值是

A.2B.4C.8D.16

【正确答案】B

【详解】分析：先利用题意和等比数列的性质得到“3%=4,再利用基本不等式进行求解.

详解：由等比数列的性质，得

3

ala2a3a4a5a6=(a3a4)=64,

即α3α4=4,

又因为q>0,

所以的+4≥2屈%=4

(当且仅当%=%=2时取等号).

点睛：本题考查等比数列的性质、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本

计算能力.

5.2023年元旦假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，需从9

个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个.已知这9个盲盒中，其中3个盲盒各装有1支完

全相同的钢笔，另外6个盲盒中，各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小

明获奖的情形为()种

A.84B.42C.41D.35

【正确答案】B

【分析】对抽到钢笔的情形分4种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.

【详解】解：依题意小明抽到1支钢笔，则抽到2个不同的小饰品，有C；=15利1

小明抽到2支钢笔，则抽到1个不同的小饰品，有C：=6利I

小明抽到3支钢笔,则只有1种；

小明抽到0支钢笔，则抽到3个不同的小饰品，由C：=20种；

综上可得小明获奖的情形有15+6+1+20=42种.

故选：B

6.已知圆M：X2+y2=m,圆Mx2+/-6x-6y+16=0,圆N上存在点P,过P作圆M

的两条切线%PB,若NAPB=9()。，则，"的取值范围为()

A.[2,4]B.[4,8]C.[2,16]D.[4,16]

【正确答案】D

【分析】根据NAP8=90。，得到IMH=何，得出点P的轨迹是圆心在原点，半径为历

的圆，结合两圆的位置关系列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，圆N：/+y2-6x-6y+16=0可化为(x-3)?+(y-3)2=2,

因为NApB=9()。，所以四边形MAPB是正方形，所以IMH=同，

可得点P的轨迹是圆心在原点，半径为Y2m的圆，

又因为点尸在圆N上，所以∣万^-J5∣≤3夜+，解得4≤m≤16,

所以，"的取值范围为[4,16].

故选：D.

7.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,I,2,4,8,16,其中第一项是2°，接

下来的两项是2°，2l.再接下来的三项是2°，2l.22,依此类推，则该数列的前94项和是

A.214B.2l4-2C.2l4-4D.2l4-8

【正确答案】D

【详解】分析：先归纳出2°,2：…,2”的项数和变化规律，再确定第94项在第几组，是第几

项，再利用等比数列的前〃项和公式进行求解.

详解：由题意，得2°,2[∙∙,2"共有〃+1项，

1_)"+1

且20+2∣+∙∙∙+2M=---------=2π+,-l,

1-2

ʌ_(π+l)(n+2)„.

令1+2H----ι-(zn+1)=--------------<94,

则〃的最大值为12,且1+2+…+13=91,

则该数列的前94项的和为

I230I2

594=(2-1)+(2-1)+∙∙∙+(2'-1)+(2+2+2)

=20Z^_13+7

1-2

=2'4-8.

点睛：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这

些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，其思维过程如下：

试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.

8.设q,e2分别为具有公共焦点6与K的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共

点，且满足Pg=O,则4e：+e；的最小值为()

95

A.3B.-C.4D.-

23

【正确答案】B

【分析】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出

22

∖PFf+∖PF2f=2a+2m,PE=0可得AEj_尸耳,得IpK『+|「「『=4〉

,就得到了"J%。的关系，最后利用基本不等式求得最小值.

【详解】解：由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长2“，双曲线的实轴长为2加，

不妨令尸在双曲线的右支上，由双曲线的定义IP制-1桃I=2加①，

由椭圆的定义IPMl+1阴I=2«②,又尸相PE=0,故归耳『+|尸国2=4c2③,

①2+②2得IP娟2+∣P∕^∣2=2+2病④，将④代入③得4+加=

2a2C2,

故选：B.

二、多选题

9.已知数列｛q｝的前〃项和为S,,(“eN*),且5,,=2(为一。)(其中“为常数)，则下列说法正

确的是()

A.数列｛%｝一定是等比数列B.数列｛4｝可能是等差数列

C.数列｛s,,｝可能是等比数列D.数列｛s,,｝可能是等差数列

【正确答案】BD

【分析】由和%的关系求得%=2%,q=2α,分类讨论。是否为0,判断选项正误.

【详解】因为S,=2(%-α),当〃=1时，Sl=al=2(a,-a),得q=2a,

将"+1代入，得Sntl=2(aπ+l-a),aπ+l=Sn+l-Sn=2(an+l-a)-2(an-a),

即4用=2q,,

当α=0时，all=0,｛4｝不是等比数列，是等差数列，Sn=O,｛S,,｝也是等差数列；

当4*0时，｛%｝是以2a为首项，2为公比的等比数列，S,,=网Wl=24(2"-1)不是等比

数列；

故BD.

10.将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果

正确的有()

A.C∖C∖C∖C'iB.CC.GC:8D.18

【正确答案】BC

【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：

(1)分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应

放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；

(2)分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个

小球放入选出的小盒中，②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计

数原理计算可得答案，综合2种解法即可得答案.

【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒，

则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：

(1)分2步进行分析：

①、先将四个不同的小球分成3组，有C：种分组方法；

②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A；种放法；

则没有空盒的放法有心用种;

(2)分2步进行分析：

①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中,

有种情况：

②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有8种放法；

则没有空盒的放法有C；C：&种；

故选：BC.

11.已知S,,是数列｛凡｝的前〃项和，且SlM=-S“+〃2,则下列选项中正确的是().

A.al,+a,,+i=2n-l(∏≥2)

B.all+2-al,=2

C.若q=0,则Sm=4950

D.若数列｛%｝单调递增，则外的取值范围是卜；，；)

【正确答案】AC

2

【分析】对于A,由S^=-Sn+n,多写一项，两式相减即可得出答案.

对于B,由a,,+allfl=2n-l(zj≥2),多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件NN2.

对于C,由分析知4+2-4,=2,所以｛为｝奇数项是以q=0为首项，2为公差的等差数列，

偶数项是以外=1为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前”项和公式即可得出答案.

对于D,因为数列｛%｝单调递增，根据4<%<%<处<<«„.即可求出％的取值范围.

2

【详解】对于A,因为Se=-S.+/,当〃≥2,S,,=-Sπ,l+(∕2-l),两式相减得：

an+an^=2n-l(«>2),所以A正确.

对于B,因为α1,+α,+∣=2〃-1(z2≥2),所以。的+。足=2(〃+1)-1=2〃+1,

两式相减得：an+2-an=2(n≥2),所以B不正确.

2

对于C,.5,,+l=-Sn+n,令〃=1,则邑=一鸟+1,(zl+α,=-αl+1,因为

«i=0,所以生=1.令〃=2,贝!!$3=-邑+4,a1+α2+α3=-ai-a2+4,所以%=2.

因为%+2-al,=2（n≥2）,U∏a3-al=2,所以=2.

所以｛α,,｝奇数项是以q=O为首项，2为公差的等差数列.

偶数项是以1=1为首项，2为公差的等差数列.

则：Sla)=q+02+<⅞++a99+a,00=(a,+a3++a99)+(a2+a4++a,m)

(50x49A(50x49A

=I50x0+^—×21+150×l+-^-×21=4950,所以C正确.

对于D,Se=-&+/,令〃=1,则S2=-S∣+l,A1+a2=-a,+1,则/=-24+1

又因为α,,+∣+4/2=2"+l,令"=1则%+4=3,所以4=3-出=3-(-24]+l)=2α∣+2,

同理：%=5—4=5—+2)=—2∏]+3,

a5-1-a4=7-(-2α1+3)=阴+4,

因为数列｛%｝单调递增，所以《<4<<«„.

1

6<-

3‘

1

4>

i4-

1

q<

4-,

1

4>

-4-

1

4<

4-,

所以卬的取值范围是（-；，；），所以D不正确.

故选：AC.

本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用q+”,+∣=2"-l,得出｛《,｝的奇数项、偶

数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.

2

12.已知入、F?分别为双曲线V-2v-=1的左、右焦点，过心且倾斜角为。的直线与双曲线

3

的右支交于A、8两点，记aAK用的内切圆。I的半径为弓，8的内切圆O?的半径为小

圆01的面积为S一圆。2的面积为邑，则（）

A.，的取值范围是B.直线与X轴垂直

10π

C.若可+弓=2,则IABI=6D.$+S?的取值范围是2π,

【正确答案】BCD

【分析】对直线AB的斜率是否存在进行分类讨论，利用直线与双曲线的位置关系求出。的

取值范围，可判断A选项;利用切线长定理以及双曲线的定义可判断B选项;求出4=4=1,

分析出ABlX轴，求出∣AB∣,可判断C选项；求出方的取值范围，利用双勾函数的单调性

可判断D选项.

1

【详解】对于A选项，在双曲线/-《=1中，a=↑,b=6,c="/=2，

所以，耳(一2,0)、6(2,0),

若直线ABlX轴，此时A5:x=2与双曲线χ2-E=ι的右支交于两点，此时夕=三；

当直线A8的斜率存在时，设直线AB的方程为y=%(x-2),设点A(x,,y)∖B(x2,y2),

3χ2_y2=3

联立',=M二)可得(3-/产+4以-(4k2+3)=0,

,-X/

3-k2≠O

Δ=16⅛4+4(3-⅛2)(3+4⅛2)>0

由题意可得<X+x_4K,0,解得％<-λ∕J或A>6,

Λ1fΛ2-2'U

因为0≤6l<π,止匕时。W

综上所述，6的取值范围是，A错;

对于B选项，设圆Q分别切A"、A"、耳人于点M、N、T,设点T(f,0),

由切线长定理可得但M=IKTI,I型Vl=ETI,IAM=IANI,

所以，2=2α=∣*∣-M引=(IAM+山M)YAN1+优M)=忻阂—优Nl=闺7|—内7|

=(f+2)-(2-f)=2f,可得r=l,即点7(1,0),故点T为双曲线的右顶点，

同理可知，圆。2切耳居与点T，且X轴，X轴，故。02,X轴，B对;

对于C选项，连接。]6、O2F2,

则NaKo2=NO∣KT+NaE7=］（4用α+NB5月）=g,即。Kj-Q6，

TT

因为NTaE+NTQK=NTQM+NQKT=5，所以，NToE=NOFJ,

所以，tan/ro?8=tan∕0百T,且|明|=C一〃=1,所以，工=：,则径=1,

又因为4+4=2,所以，4=4=1,此时，0∣、O?关于X轴对称，

TTIT

所以，AOJ再为等腰直角三角形，则Nagr=W,故NAKK=2/。乙7=1,即A32X轴,

X=2f

Iɪ—

此时，直线A8的方程为x=2,联立,y2,可得一故∣AB∣=6,C对；

%2--=1[y=±3

所以,AAFJ&故NoEG

则4=I耳TltanNq玛T=tanZOfζΓ∈G

l则"2（"}

因为函数y=χ+(1在(；1)上为减函数，在(1,3)上为增函数,

X

1

由C选项可知，，道=1,则弓=一，

r∖

IOπ

所以，S∣+S?=兀（片+4?）=兀+—∈2π,,D对.

故选：BCD.

法点睛：直线与双曲线位置关系的判断方法：

(1)方程思想的应用：

把直线方程与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为以2+⅛r+c=0的形式，在“wθ

的情况下考察方程0?+以+c=0的判别式.

①A>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；

②A=O时，直线与双曲线只有一个公共点；

③A<0时，直线与双曲线没有公共点.

当α=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.

(2)数形结合思想的应用

①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系可确定

其位置关系；

②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.

三、填空题

13,直线χ+y+2=0的倾斜角的是.

3兀

【正确答案】V

4

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】因为直线x+y+2=。的斜率τ,设直线x+y+2=0的倾斜角为α,

则tano=-1,因为［£。兀)，所以α=型，

4

Wʌ士”3π

故答A案为

4

23

14.(l+x)+(l+x)++(l+x)”的展开式中/的系数是.

【正确答案】120

【分析】利用二项式定理得到(l+x)"("≥2)的展开式中炉的系数为C；,从而得到答案为

C；+C；++C^=120.

【详解】(l+x)"("≥2)的展开式中炉的系数为C：,

故(I+可,+。+》)'++(I+》),的展开式中炉的系数是

C；+C；++C；=1+3+6+10+15+21+28+36=120.

故120

15.在平面直角坐标系Xoy中，过动点P作圆A：(x-1)2+(丫-1)2=1的一条切线「。，其中

。为切点，若∣pg=α∣po∣,则IPQI的最大值为.

【正确答案】2+√6⅛⅛√6+2

【分析】先求出点P轨迹方程，然后求出IPol的最大值，由IPa=拒IPa可得出答案.

【详解1IPQl=TlPa=-1=2∣PO∣2,

设P(x,y),则(X-Iy+(y-l)2-l=2(x2+j2),

化简得"+I)?+(y+l)2=3,

故点P轨迹是以为圆心、力为半径的圆，

22

所以Ipa的最大值为IPq+√3=λ∕(-l-0)+(-l-0)+λ^=√2+√3

由∣pQ=√ψα,则故IPQl的最大值为(忘+6卜&=2+#

故2+迷

16.已知数列｛《,｝的前〃项和S,,=:(∕+3"+2),则数列」一的前八项和(=____

2[anan+∖J

41

【正确答案】-——-

9n+2

【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，进而得到」一=∙rW~∑τ=∣-½一一二

利用裂项相消法即可求解.

【详解】.∙.4=S,,-S,,τ="+1("≥2)

f3(n=l)

又,"SE∙F=3∣g2),

，

时a,laιl^(n+l)(n+2)-^n+l«+2)

TJlIIIl1ɪ1

"3445〃+1n+2J,

〃=〔,工-=萩1=§1满足上式∙F=门(j+1vE1i)、=4g-u1τ

41

故答案为

四、解答题

17.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线4x+2y+7=0相切，过点B(-2,0)的直线/与圆A

相交于M,N两点，。是MN的中点，IMNI=2M.

(1)求圆A的标准方程；

(2)求直线/的方程.

【正确答案】(I)(X+I)?+(y—2)2=20

⑵χ=-2或3x-4y+6=0

【分析】(1)由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；

(2)分别讨论直线/与X轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方

程即可解得参数.

【详解】(1)设圆A半径为R,由圆与直线4：x+2y+7=0相切得R=N签+,I=2石’

22

圆A的标准方程为(x+1)+(y-2)=20.

(2)1.当直线/与X轴垂直时，即X=-2,此时IMNl=2，(2小7-(-1+2)2=2√i?,符合题意;

ii.当直线/不与X轴垂直时，设方程为y=Nx+2),即丘-y+2G=0,

∖-k-2+2k∖_

。是MN的中点，IMNl=2M，ΛAQ=√20-19=1,即AQ=1解得

yJk2+∖

.∙.直线/为∙3x-4y+6=0

直线/的方程为x=—2或3x—4y+6=0.

22

rv

18.已知双曲线C=-7-'=l(α>0,。>0)交X轴于A,B两点，实轴长为2,且双曲线的

a^b'

离心率为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设直线Ly=丘+，〃(加≠0)与双曲线交于O,E两点，。为双曲线虚轴在)，轴正半轴的端点,

若|。口=|。耳，求实数机的取值范围.

【正确答案】⑴入7I

或。＜“＜¥

(2)m<--

3

【分析】(1)根据离心率和a、b、C之间的关系即可求出标准方程;

(2)联立圆锥曲线和直线方程，以及向量之间的关系得出k"2+3km-36z+G%3=o,继而

得出3-二=也n即可求解参数的取值范围.

3

【详解】(D解：由题意得：

22

由题意可知。2=1又/=q=4,得凉=1,坟=3,即双曲线C的标准方程为V-E=I.

a23

(2)由题意知：。(0,6)，设。(x∕,yι),E(X2,”)，线段0E的中点坐标为G(X3,刈，

√-2i=ι

联立彳3，得(3-公)/-2^加-"，_3=0,依题意得

y=kx+m

V*°∫3-fc2≠0

Δ=(-2J⅛M)2-4(3-⅛2)(-m2-3)＞0[3+w2-⅛2＞0

-2km口H+X[+x,km

且rtX'+/=h'即有刍=亍=获淳

代入直线方程得力=£?

由|Q。=IQEI知，QG∙DE=0,βpfτ^j,⅛-√3｝(lΛ)=O.

即&m+3⅛m-3麻+GA=。(⅛≠O).则3-二=生叵〃2,②

3

且F=3一速加＞o,③由①②③式得，机＜一逑或0＜加＜述.

334

,`—a+n,〃为奇数

19.已知数列｛4｝中，4=1,¾+∣=3〃为偶数.

(1)证明：数列32“-1｝是等比数列；

(2)求。2〃及a2n-∖*

【正确答案】(1)见解析；

(2)3K)+1，*=m-6若.

3

【分析】(1)依据题设条件构设数列2=%「；，然后运用等比数列的定义进行分析推证；

(2)借助(1)的结论直接求解出",再依据数列通项的递推关系式+(2〃-1)求

出a2n-∖

33(1A31

【详解】(1)证明：设d=劭,一9,则4=%-彳=[4+1-7=一2，

2213J26

4(“+厂|g%+ι+(2"+l)-∣∣(⅛-6n)+(2n+l)-∣ɪ^,,-ɪ

因为行ɪ

=3=3=T3

⅛^2⅛^2a2,l~2a2,l~2

所以数列是以-!为首项'g为公比的等比数歹U.

3

(2)由(1)的

由4“=g¾,,-∣+(2"-1)得知τ=3%“-3(2〃-1)=-g∙(g)若.

20.已知等比数列｛%｝满足O<%<4+∣,4+4+4=13,且％,%+6,%为等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若"=",,+∣l0g34,,+∣,Sn=bl+b2++b,l,对任意正整数”，2S“-(9"+∕")q>()恒成立,

试求机的取值范围.

【正确答案】(IMG"'

(2)|-∞,-7

【分析】(1)利用等比数列的通项公式和等差中项求解即可；

⑵由⑴得6-3"=〃-3",利用错位相减法得25“=加3向-?+|,则原不等式

转化为〃2<7⅛1Γ-［9对任意正整数〃恒成立，求力31-39的最小值即可•

2・322,32

【详解】(1)因为数列｛q｝是等比数列，且满足0<%<an+l,

所以4>0,q>0①,

2

aA+a1+¾=¾Q+⅛+⅛)=13(2),

又因为生，“3+6,%为等差数列，所以2(6+6)=%+%,即2,1/+6)=44+4/③,

联立①②③解得卜二，所以∕=3"τ.

[q=3

(2)由(1)得H=3"log,3"="∙3",

所以S“=1X3+2X3?+3X33++〃x3"④,

3S,=l×32+2×33+3×34+∙∙∙+(n-l)×3n+n×3,,tl(g),

⑤一④得2S,,=-3-32-33------3"+n-3"+'

,,+l

-3°二3)+n.3"+∣2Sz,=n∙3--+->

1-322

由题意2S“-(9〃+加)α,,>0即“∙3"+∣--+--n-y,+'-m-3,H>0对任意正整数n恒成立,

22

1O1

所以在<23'T一万恒成立，则即可,

2∙3,,^2

1999

又因为--≥--所以机≤∙-z，即加的取值范围是

2∙3,,^222f21-∞,-g

21.设抛物线炉=2Py(P>0)的焦点为F,其准线与N轴交于M,抛物线上一点的纵坐标

为4,且该点到焦点厂的距离为5.

(1)求抛物线的方程;

(2)自M引直线交抛物线于RQ两个不同的点，设MP=%MQ.若IPQIe(O,孚］

,求实数

，的取值范围.

g,ι卜(1,3]

【正确答案】⑴V=";(2)

(I)根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得4+5=5化简即可;

(2)设尸Q：y=履-1,联立直线与抛物线方程设P(AM),。(々，％)，用弦长公式表示∣PQ∣,

e(θ,殍］解不

由MP=/IMQ及韦达定理将女用2表示出来，此时仍。用/1表示，结合归0

等式.

【详解】解：（I）根据题意作图如下：

因为抛物线上一点的纵坐标为4,且该点到焦点F的距离为5,

又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，

所以4+^=5np=2,故抛物线的方程为r=4y.

[X+x=4⅛…

设始则。1;9=4,①

222

所以PQ=Jl+公卜-x2∣=Jl+"∙√16⅛-16=√4⅛+4∙√4⅛-4,

因为MP=,所以(%,y+1)=4*2,%+1)="=心2代入①化简得Ak2=('土1)-

令,…苧,

则PQ=+4•小—4=V/2—16

因为IPQl

BP0<∕2-16≤-^16<r2≤-^4<r≤-,

993

uu—(2+1)/16Λ2—2Λ+1>0几≠]

所以4<∙^--------≤—=>ʌ=><1

λ3322-10Λ+3≤0-≤λ≤3

[3

g,ι)(1,3]

即4∈

在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：

①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；

②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.

22.设圆/+-21=0的圆心为尸，点。(-G,θ),点H为圆上动点，线段，Q的垂

直平分线与线段”产交于点E,设点E的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线/与曲线C交于点A,B,与圆0：/+V=2切于点〃，问：I是否为

定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

【正确答案】(1)⅜+4=l;(2)是定值，定值为2.

63

⑴由垂直平分线的定义知IEQI=I四|,证明∣EQ∣+∣EP∣为定值即可根据椭圆的定义写出点E

的轨迹方程；(2)分类讨论，当直线斜率不存在时，求出直线方程及其与椭圆的交点，利用

向量证明Q4_LO8,则IMAH仞8∣=∣OM「=2；当直线斜率存在时，设出直线方程并与椭圆

联立，利用直线与圆相切的性质、韦达定理及向量证明OALO8,则IM4HM8∣=∣OM∣2=2.

【详解】⑴由条件可得PM,0),半径|四=2

又线段HQ的垂直平分线与线段”产交于点E,所以IEa=IE.

则有|国+1S=IEHl+∣"I=IHH=2&>∣P0=2√L

所以点E的轨迹为以P,。为焦点，实轴长2指