2024年广东省梅州市丰顺县龙泉中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省梅州市丰顺县龙泉中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（）A．10.4×108 B．10.4×109 C．1.04×108 D．1.04×1093．（3分）如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，从左面看得到的形状图是（）A． B． C． D．4．（3分）下列式子正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．m6÷m2＝m3 B．（2x+1）2＝4x2+1 C．（﹣3m3）2＝﹣9m6 D．2a3•a4＝2a76．（3分）为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（）A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差7．（3分）分式方程的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝28．（3分）如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（）A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B9．（3分）已知不等式组仅有2个整数解，那么a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＜4 C．2≤a＜4 D．2＜a≤410．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3 B． C．2 D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）能使有意义的x的取值范围是．12．（3分）分解因式：ax2﹣25a＝．13．（3分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，m），B（﹣4，0），C（1，0），D（a、m），若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．14．（3分）函数和y＝﹣x+4的图象的交点在第象限．15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠COE＝度．16．（3分）如图是一组有规律的图案，按照这个规律，第n（n为正整数）个图案由个▲组成．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：2cos45°﹣（π﹣3）0+﹣|﹣1|．18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．19．（6分）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为，在扇形统计图中，m的值为；（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．20．（8分）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线A﹣B﹣C表示可转动支架，支架BC可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN，AB与BC始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架AB＝30厘米，探头CD＝10厘米．（1）当支架AB与水平线的夹角为75°，与支架BC的夹角为90°，且BC＝AB时，求探头的端点D到桌面MN的距离．（结果保留一位小数）（2）为获得更好的投影效果，调节支架AB，如图（3）所示，使得AB与水平线的夹角为53°，同时调节支架BC，使得探头端点D与点B在同一水平线上，且从点D看点A的俯角为63°，此时支架BC的长度为多少？（结果保留一位小数）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan63°≈2，sin53°≈0.8，≈3.16）21．（8分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是10本，B款销售数量是5本，销售总价是140元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是15本，销售总价是320元．（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；（2）若某班准备用不超过500元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为．23．（8分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2＝AB•AF．24．（10分）如图1，在矩形ABCD中，＝a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA＝HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．（1）如图1，当DH＝DA时，①填空：∠HGA＝度；②若EF∥HG，请直接写出∠AHE的度数以及a的最小值；（2）如图2，∠AEH＝60°，EG＝2BG，连接FG交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，抛物线y＝a（x﹣2）2+4的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标；（3）如图2，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在（2）的条件下，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．2．解：10.4亿＝1.04×109，故选：D．3．解：从左面看，有两列，分别有2个，1个正方体，则形状图为：．故选：B．4．解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项正确，符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：D．5．解：A．m6÷m2＝m4，故本选项错误，不符合题意；B．（2x+1）2＝4x2+4x+1，故本选项错误，不符合题意；C．（﹣3m3）2＝9m6，故本选项错误，不符合题意；D.2a3•a4＝2a7，故本选项正确，符合题意．故选：D．6．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是统计调查数据的众数．故选：C．7．解：分式方程整理得：＝﹣﹣2，去分母得：x＝﹣1﹣2（x﹣2），去括号得：x＝﹣1﹣2x+4，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．故选：C．8．解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，∴ED＝CD，∠DAC＝∠DAB，∠EDB＝90°﹣∠B，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AC＝AE，∵△ABC是直角三角形，∴∠CAB＝90°﹣∠B，∴∠EDB＝∠CAB，∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB，∴∠DAB不一定等于∠B，∴∠DAC不一定等于∠B，故选：D．9．解：，解①得：x＞3﹣a，解②得：x＜4，则不等式组的解集是：3﹣a＜x＜4．不等式组仅有2个整数解，则是2，3．则1≤3﹣＜2．解得：2＜a≤4．故选：D．10．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS），∴S△ADF＝S△BAE，∠DAF＝∠ABE，∵∠BAG+∠DAF＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠AGB＝90°，即BG⊥AG，∵S△ADF＝S△BAE，∴S△ADF﹣S△AEG＝S△BAE﹣S△AEG，即S四边形DEGF＝S△ABG，∵AG+BG＝6，∴（AG+BG）2＝AG2+BG2+2AG•BG＝36，∵S△ABG＝，AB2＝AG2+BG2，∴AB2+4S△ABG＝36，即，∵S空白＝S正方形ABCD﹣S四边形DEGF﹣S△ABG＝S正方形ABCD﹣2S△ABG＝＝10.5，解得：AB＝（负值已舍去）．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：由题意得：﹣2x≥0，解得：x≤0，故答案为：x≤0．12．解：原式＝a（x+5）（x﹣5），故答案为：a（x+5）（x﹣5）13．解：①点D在点A的右边，过D作M⊥BC于M如图1所示：∵A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，∴AD∥BC，OB＝4，OC＝1，∴BC＝1+4＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝BC＝5，∴OM＝5﹣1＝4，∴CM＝OM﹣OC＝3，∴DM＝＝＝4，∴点D的坐标为（4，4）或（4，﹣4）；②点D在点A的左边时，过A作AM⊥BC于M，如图2所示：∵A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，∴AD∥BC，OB＝4，OC＝1，∴BC＝1+4＝5，∵四边形ACBD是菱形，∴AD＝AC＝BC＝BD＝5，∴OM＝5+1＝6，∴BM＝OM﹣OB＝2，∴DM＝＝＝，∴点D的坐标为（﹣6，）或（﹣6，﹣）；故答案为：（4，4）或（4，﹣4）或（﹣6，）或（﹣6，﹣）．14．解：根据题意反比例函数在一、三象限，而y＝﹣x+4的图象过一、二、四象限．故其交点应在第一象限．15．解：在矩形ABCD中，AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠CAE＝15°，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴AB＝BE，∴∠BAC＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BCA＝30°，AB＝AC＝BO，∴BE＝BO，又∵∠DBC＝∠ACB＝30°，在△BOE中∠BOE＝（180°﹣∠DBC）÷2＝75°，∴∠COE＝180°﹣60°﹣75°＝45°．故答案为：45．16．解：由所给图案得，第1个图案需要▲的个数为：4＝1+1×3；第2个图案需要▲的个数为：7＝1+2×3第3个图案需要▲的个数为：10＝1+3×3…所以第n个图案需要▲的个数为：3n+1．故答案为：（3n+1）．三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：原式＝2×﹣1+﹣（﹣1），＝﹣1+﹣（﹣1），＝．18．解：原式＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝＝．19．解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛’的人数为200×20%＝40（人），则选择“书画展览”的人数为200﹣（40+80+20）＝60（人），∴在扇形统计图中，，即m＝30，故答案为：40，30；（2）估计全校2000名学生中选择文艺汇演”的学生大约有（人）；（3）列表如下：abcda（b，a）（c，a）（d，a）b（a，b）（c，b）（d，b）c（a，c）（b，c）（d，c）d（a，d）（b，d）（c，d）由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，所以a同学参加的概率为．20．解：（1）如图，连接AC，延长CD交过点A的水平线于点E．由题意得：BC＝AB＝30厘米，∠BAF＝75°，∠ABC＝90°，∴AC＝30（厘米），∠BAC＝45°．∴∠CAE＝60°．∵CD始终垂直于水平桌面MN，∴∠E＝90°．∴CE＝AC•sin∠CAE＝15≈36.7（厘米）．∵投影仪的底座高3厘米，∴探头的端点D到桌面MN的距离＝36.7﹣10+3＝29.7（厘米）．答：探头的端点D到桌面MN的距离约为29.7厘米；（2）如图，作AE⊥BD于点E．∴∠AEB＝∠AED＝90°．由题意得：BD∥AF，∠BAF＝53°．∴∠ABE＝53°．∵AB＝30厘米，∴AE＝AB•sin∠ABE＝30×sin53°≈30×0.8＝24（厘米），∴BE＝＝18（厘米）．由题意得：∠BDA＝63°．∴DE＝≈＝12（厘米）．∴DB＝12+18＝30（厘米）．由题意得：∠CDB＝90°，∴BC＝＝＝10≈10×3.16＝31.6（厘米）．答：支架BC的长度大约为31.6厘米．21．解：（1）设A款毕业纪念册的销售单价为x元，B款毕业纪念册的销售单价为y元，根据题意得：，解得：．答：A款毕业纪念册的销售单价为10元，B款毕业纪念册的销售单价为8元；（2）设购买m本A款毕业纪念册，则购买（60﹣m）本B款毕业纪念册，根据题意得：10m+8（60﹣m）≤500，解得：m≤10，∴m的最大值为10．答：最多能够买10本A款毕业纪念册．22．解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，∴B（4，2）．由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，∴k1＝xy＝2×1＝2，故反比例函数表达式为y＝．令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．故点E坐标为（1，2），F（4，）．设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：，解得：．故一次函数的解析式为y＝．（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：，解得：．则直线E'F的解析式为y＝，令y＝0，则x＝．∴点P坐标为（，0）．故答案为：（，0）．23．（1）解：直线PA与⊙O的位置关系：直线PA与⊙O相切，理由：连接CD，OC，如图，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°．∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，∴∠D＝∠PAC．∴∠PAC+∠DAC＝90°，∴∠DAP＝90°，∴OA⊥PA，∵OA为⊙O的半径，∴直线PA与⊙O相切；（2）证明：连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴，∴∠ABG＝∠AGC，∵∠GAF＝∠BAG，∴△AFG∽△AGB，∴，∴AG2＝AB•AF．24．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADH＝90°，∵DH＝DA，∴∠DAH＝∠DHA＝45°，∴∠HAE＝45°，∵HA＝HG，∴∠HAE＝∠HGA＝45°；故答案为：45；②分两种情况讨论：a、如图1，∵∠HAG＝∠HGA＝45°，∴∠AHG＝90°，由折叠可知：∠HAE＝∠F＝45°，∠AHE＝∠FHE，∵EF∥HG，∴∠FHG＝∠F＝45°，∴∠AHF＝∠AHG﹣∠FHG＝45°，即∠AHE+∠FHE＝45°，∴∠AHE＝22.5°，此时，当B与G重合，H为DC中点，DA＝DH＝DC＝AB，此时＝a＝2，∴a的最小值是2；b、如图1﹣1，∵EF∥HG，∴∠HGA＝∠FEA＝45°，即∠AEH+∠FEH＝45°，由折叠可知：∠AEH＝∠FEH，∴∠AEH＝∠FEH＝22.5°，∵EF∥HG，∴∠GHE＝∠FEH＝22.5°，∴∠AHE＝90°+22.5°＝112.5°，此时，当B与E重合，a的值最小，设DH＝DA＝x，则AH＝GH＝x，在Rt△AHG中，∠AHG＝90°，∠HGA＝45°，∴△AGH是等腰直角