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文档简介
2024年北京师范大附中数学八年级下册期末质量跟踪监视试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每题4分,共48分)1.如图所示,在数轴上点A所表示的数为,则的值为()A. B. C. D.2.若正比例函数的图象经过点(2,4),则这个图象也必经过点()A.(2,1) B.(﹣1,﹣2) C.(1,﹣2) D.(4,2)3.下面四个多项式中,能进行因式分解的是()A.x2+y2 B.x2﹣y C.x2﹣1 D.x2+x+14.李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格:如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是()平均数中位数众数方差8.5分8.3分8.1分0.15A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数5.如图是某校七、八两个年级借阅图书的人数的扇形统计图,下列说法错误的是()A.七年级借阅文学类图书的人数最多B.八年级借阅教辅类图书的人数最少C.两个年级借阅文学类图书的人数最多D.七年级借阅教辅学类图书的人数与八年级借阅科普类图书的人数相同6.以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是()A.1,2,3 B.4,5,6 C.,, D.32,42,527.函数的自变量的取值范围是()A. B. C. D.8.已知不等式的解集是,下列各图中有可能是函数的图象的是()A. B.C. D.9.反比例函数y=-3x的图象经过点(a,b),(a-1,c),若a<0,则b与c的大小关系是(
A.b>c
B.b=c
C.b<c
D.不能确定10.如图所示,过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中平行四边形AEMG的面积与平行四边形HCFM的面积的大小关系是()A. B.C. D.11.如图,在▱ABCD中,∠C=130°,BE平分∠ABC,则∠AEB等于()A. B. C. D.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,则点C的坐标()A.(﹣3,4) B.(﹣2,3) C.(﹣5,4) D.(5,4)二、填空题(每题4分,共24分)13.已知,则=_____.14.如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为_____.15.用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时,首先应假设_____16.在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD平行且>AD,木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A处,到达C处需要走的最短路程是________米.17.如图,在平行四边形中,度,,,则______.18.点A(2,1)在反比例函数y=的图象上,当1<x<4时,y的取值范围是.三、解答题(共78分)19.(8分).某酒厂生产A,B两种品牌的酒,平均每天两种酒共可售出600瓶,每种酒每瓶的成本和售价如表所示,设平均每天共获利y元,平均每天售出A种品牌的酒x瓶.AB成本(元)5035售价(元)7050(1)请写出y关于x的函数关系式;(2)如果该厂每天至少投入成本25000元,且售出的B种品牌的酒不少于全天销售总量的55%,那么共有几种销售方案?并求出每天至少获利多少元?20.(8分)已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点,且DE与CF相交于点G.(1)如图①,若AB∥CD,AB=CD,∠A=90°,且AD•DF=AE•DC,求证:DE⊥CF:(2)如图②,若AB∥CD,AB=CD,且∠A=∠EGC时,求证:DE•CD=CF•DA:(3)如图③,若BA=BC=3,DA=DC=4,设DE⊥CF,当∠BAD=90°时,试判断是否为定值,并证明.21.(8分)百货商店销售某种冰箱,每台进价2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;每台售价每降低10元时,平均每天能多售出1台.(销售利润=销售价-进价)(1)如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的销售利润为______元,平均每天可销售冰箱______台;(用含x的代数式表示)(2)商店想要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5600元,且尽可能地清空冰箱库存,每台冰箱的定价应为多少元?22.(10分)某中学开学初到商场购买A.B两种品牌的足球,购买A种品牌的足球50个,B种品牌的足球25个,共花费4500元.已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元?(2)学校为了响应“足球进校园”的号召,决定再次购进A.B两种品牌足球共50个,正好赶上商场对商品价格进行调整,A品牌足球售价比第一次购买时提高4元,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,如果学校此次购买A.B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%,且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个,则这次学校有哪几种购买方案?23.(10分)如图,在中,,,,点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿边向点以2的速度移动.(1)如果点,分别从点,同时出发,那么几秒后,的面积等于6?(2)如果点,分别从点,同时出发,那么几秒后,的长度等于7?
24.(10分)解方程:x2-4x=1.25.(12分)今年,我区某中学响应“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2017年单价为200元,2019年单价为162元.(1)求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;(2)选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上,两个文体用品商店有下列不同的促销方案,试问去哪个商店买足球更优惠?26.(问题情境)如图,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.(探究展示)(1)直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系:;(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(拓展延伸)(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立,请分别作出判断,不需要证明.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、A【解析】
根据勾股定理求出直角三角形的斜边,即可得出答案.【详解】解:如图:则BD=1,CD=2,由勾股定理得:,即AC=,∴,故选A.【点睛】本题考查了数轴和实数,勾股定理的应用,能求出BC的长是解此题的关键.2、B【解析】
设正比例函数解析式y=kx,将点(2,4)代入可求函数解析式y=2x,再结合选项进行判断即可.【详解】∵正比例函数的图象经过点(2,4),设正比例函数解析式y=kx,将点(2,4)代入可得k=2,∴函数解析式y=2x,将选项中点代入,可以判断(﹣1,﹣2)在函数图象上;故选:B.【点睛】考查正比例函数的图象及性质;熟练掌握函数图象的性质,会用待定系数法求函数解析式是解题的关键.3、C【解析】
根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解.【详解】A、x2+y2不能进行因式分解,故本选项错误;B、x2-y不能进行因式分解,故本选项错误;C、x2-1能利用平方差公式进行因式分解,故本选项正确;D、x2+x+1不能进行因式分解,故本选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了因式分解定义,因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式,是基础题,比较简单.4、D【解析】
由一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数;接下来根据中位数的定义,结合去掉一个最高分和一个最低分,不难得出答案.【详解】解:中位数是将一组数从小到大的顺序排列,取中间位置或中间两个数的平均数得到,所以如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是中位数.故选D.【点睛】本题主要考查平均数、众数、方差、中位数的定义,其中一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数.5、D【解析】
根据扇形统计图的特点即可判断.【详解】解:A.七年级借阅文学类图书的人数最多,正确;B.八年级借阅教辅类图书的人数最少,正确;C.两个年级借阅文学类图书的人数最多,正确;由题意可得本题的总量无法确定,故不能确定哪个年级借阅图书的具体人数.故选:D.【点睛】此题主要考查扇形统计图的信息,解题的关键是熟知扇形统计图的特点.6、C【解析】
根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,这个就是直角三角形.【详解】解:A、∵12+22≠32,∴该三角形不是直角三角形,故此选项不符合题意;B、∵42+52≠62,∴该三角形不是直角三角形,故此选项不符合题意;C、∵∴该三角形是直角三角形,故此选项符合题意;D、∵(32)2+(42)2≠(52)2,∴该三角形不是直角三角形,故此选项不符合题意.故选C.【点睛】考查勾股定理的逆定理,:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形.7、B【解析】
根据分母为零无意义,可得答案.【详解】解:由题意,得,解得,故选:B.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,利用分母不等于零得出不等式是解题关键.8、A【解析】
不等式mx+n>0的解集为直线y=mx+n落在x轴上方的部分对应的x的取值范围是x>-2,根据图象判断即可求解.【详解】解:A、不等式mx+n>0的解集是x>-2,故选项正确;
B、不等式mx+n>0的解集是x<-2,故选项错误;
C、不等式mx+n>0的解集是x>2,故选项错误;
D、不等式mx+n>0的解集是x<2,故选项错误.
故选:A.【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=mx+n的值大于0的自变量x的取值范围.9、A【解析】
根据反比例函数的性质:k<0时,在图象的每一支上,y随x的增大而增大进行分析即可.【详解】解:∵k=-3<0,则y随x的增大而增大.又∵0>a>a-1,则b>c.故选A.【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质,关键是掌握反比例函数的性质:(1)反比例函数y=kx(k≠(2)当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y随x的增大而减小;(3)当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y随x的增大而增大.10、A【解析】
根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD,证△ABD≌△CDB,得出△ABD和△CDB的面积相等;同理得出△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,相减即可求出答案.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,EF∥BC,HG∥AB,∴AD=BC,AB=CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC,∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形,在△ABD和△CDB中;∵,∴△ABD≌△CDB(SSS),即△ABD和△CDB的面积相等;同理△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等,即.故选:A.【点睛】此题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,解题关键在于得出△ABD≌△CDB11、D【解析】
由平行四边形ABCD中,∠C=130°,可求得∠ABC的度数,又由BE平分∠ABC,即可求得∠CBE的度数,然后由平行线的性质,求得答案.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABC+∠C=180°,∠AEB=∠CBE,∵∠C=130°,∴∠ABC=180°-∠C=50°,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABC=25°,∴∠AEB=∠CBE=25°.故选D.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,属于基础题,解答本题的关键是掌握平行四边形邻角互补的性质,难度一般.12、C【解析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.【详解】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,∴AB=5,∴DO=4,∴点C的坐标是:(﹣5,4).故选C.【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.二、填空题(每题4分,共24分)13、【解析】
根据=设xy=3k,x+y=5k,通分后代入求出即可.【详解】∵=,∴设xy=3k,x+y=5k,∴+===.故答案为.【点睛】本题考查了分式的加减,能够整体代入是解答此题的关键.14、1.【解析】试题解析:∵由题意可知,AQ是∠DAB的平分线,∴∠DAQ=∠BAQ.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,BC=AD=2,∠BAQ=∠DQA,∴∠DAQ=∠DAQ,∴△AQD是等腰三角形,∴DQ=AD=2.∵DQ=2QC,∴QC=DQ=,∴CD=DQ+CQ=2+=,∴平行四边形ABCD周长=2(DC+AD)=2×(+2)=1.故答案为1.15、等腰三角形的底角是钝角或直角【解析】根据反证法的第一步:假设结论不成立设,可以假设“等腰三角形的两底都是直角或钝角”.
故答案是:等腰三角形的两底都是直角或钝角.16、2.10【解析】由题意可知,将木块展开,
相当于是AB+2个正方形的宽,
∴长为2+0.2×2=2.4米;宽为1米.
于是最短路径为:故答案是:2.1.17、【解析】
依据平行四边形的对角互相平分可得AO=3cm,在Rt△ABO中利用勾股定理可求AB长.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=AC=3cm.在Rt△ABO中,OB=6cm,AO=3cm,利用勾股定可得AB=.故答案为3.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理,利用平行四边形的对角线互相平分求解三角形中某些线段的长度是解决这类问题通常的方法.18、<y<1【解析】试题分析:将点A(1,1)代入反比例函数y=的解析式,求出k=1,从而得到反比例函数解析式,再根据反比例函数的性质,由反比例图像在第一象限内y随x的增大而减小,可根据当x=1时,y=1,当x=4时,y=,求出当1<x<4时,y的取值范围<y<1.考点:1、待定系数法求反比例函数解析式;1、反比例函数的性质三、解答题(共78分)19、(1)y;(2)共有4种方案,10335.【解析】
(1)根据获利y=A种品牌的酒的获利+B种品牌的酒的获利,即可解答.
(2)根据生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%,A种品牌的酒的成本+B种品牌的酒的成本≥25000,列出方程组,求出x的取值范围,根据x为正整数,即可得到生产方案;再根据一次函数的性质,即可求出每天至少获利多少元.【详解】(1)(2)依题意2得x为整数解得共有4种方案A:267B:333A:268B:332A:269B:331A:270B:330至少获利若x取267,y最小【点睛】本题考查了一次函数的应用,关键从表格种获得成本价和利润,然后根据利润这个等量关系列解析式,根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解,然后根据一次函数的性质求出哪种方案获利最小.20、(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【解析】
(1)根据已知条件得到四边形ABCD是矩形,由矩形的性质得到∠A=∠FDC=90°,根据相似三角形的性质得到∠CFD=∠AED,根据余角的性质即可得到结论;
(2)根据已知条件得到△DFG∽△DEA,推出,根据△CGD∽△CDF,得到,等量代换即可得到结论;
(3)过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,△BAD≌△BCD,推出∠BCD=∠A=90°,证△BCM∽△DCN,求出,在Rt△CMB中,由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,解方程得到CN,证出△AED∽△NFC,即可得出答案.【详解】(1)证明:∵AB∥CD,AB=CD,∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠FDC=90°,∵AD•DF=AE•DC,∴∴△AED∽△DFC,∴∠CFD=∠AED,∵∠ADE+∠AED=90°,∴∠ADE+∠CFD=90°,∴∠DGF=90°,∴DE⊥CF;(2)证明:∵∠A=∠EGC,∠ADE=∠GDF,∴△DFG∽△DEA,∴∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∠AED=∠EDC,∴∠B=∠ADC,∵△DFG∽△DEA,∴∠AED=∠DFG,∴DFC=∠GDC,∵∠DCG=∠FCD,∴△CGD∽△CDF,∴∴,∴DE•CD=CF•DA;(3)解:为定值,理由:过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,∵∠BAD=90°,即AB⊥AD,∴∠A=∠M=∠CNA=90°,∴四边形AMCN是矩形,∴AM=CN,AN=CM,∵在△BAD和△BCD中,∴△BAD≌△BCD(SSS),∴∠BCD=∠A=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC+∠CBM=180°,∴∠MBC=∠ADC,∵∠CND=∠M=90°,∴△BCM∽△DCN,∴,∴∴在Rt△CMB中,,BM=AM﹣AB=x﹣3,由勾股定理得:BM2+CM2=BC2,∴x=0(舍去),∴∵∠A=∠FGD=90°,∴∠AED+∠AFG=180°,∵∠AFG+∠NFC=180°,∴∠AED=∠CFN,∵∠A=∠CNF=90°,∴△AED∽△NFC,∴【点睛】属于相似三角形的综合题,考查矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,综合性比较强,掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.21、(1),;(2)应定价2700元.【解析】
(1)销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量,一台冰箱的利润=售价-进价,降低售价的同时,销售量就会提高,“一减一加”;
(2)根据每台的盈利×销售的件数=5600元,即可列方程求解.【详解】解:(1)每台冰箱的销售利润为元,平均每天可销售冰箱台;(2)依题意,可列方程:解方程,得x1=120,x2=200因为要尽可能地清空冰箱库存,所以x=120舍去2900-200=2700元答:应定价2700元.点睛:本题考查了一元二次方程的应用,关键是会表示一台冰箱的利润,销售量增加的部分.找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.22、(1)A种足球50元,B种足球80元;(2)方案一:购买A种足球25个,B种足球25个;方案二:购买A种足球26个,B种足球24个;方案三:购买A种足球27个,B种足球23个.【解析】
(1)设A种品牌足球的单价为x元,B种品牌足球的单价为y元,根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用,以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;(2)设第二次购买A种足球m个,则购买B种足球(50-m)个,根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用,以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组,解不等式组可得出m的取值范围,由此即可得出结论.【详解】(1)设A种品牌足球的单价为x元,B种品牌足球的单价为y元,依题意得:,解得:.答:购买一个A种品牌的足球需要50元,购买一个B种品牌的足球需要80元.(2)设第二次购买A种足球m个,则购买B种足球(50−m)个,依题意得:,解得:25⩽m⩽27.故这次学校购买足球有三种方案:方案一:购买A种足球25个,B种足球25个;方案二:购买A种足球26个,B种足球24个;方案三:购买A种足球27个,B种足球23个.【点睛】此题考查二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,解题关键在于根据题意列出方程.23、(1)出发1秒后,的面积等于6;(2)出发0秒或秒后,的长度等于7.【解析】
(1)设秒后,的面积等于6,根据路程=速度×时间,即可用x表示出AP、BQ和BP的长,然后根据三角形的面积公式列一元二次方程,并解方程即可;(2)设秒后,的长度等于7,根据路程=速度×时间,即可用y表示出AP、BQ和BP的长,利用勾股定理列一元二次方程,并解方程即可.【详解】解:(1)设秒后,的面积等于6,∵点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿边向点以2的速度移动∴,∴则有∴(此时2×6=12>BC,故舍去)答:出发1秒后,的面积等于6(2)设秒后,的长度等于7∵点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿边向点以2的速度移动∴,∴解得答:出发0秒或秒后,的长度等于7.【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用,掌握几何问题中的等量关系和行程问题公式是解决此题的关键.24、x1=2+,x2=2-【解析】试题分析:方程两边都加上一次项系数一半的平方,进行配方,两边直接开平方即可求得方程的解.试题解析:x2-4x=1x2-4x+4=1+4(x-2)2=5x-2=即:x1=2+,x2=2-考点:解一元二次方程---配方法.25、(1)2017
年到
2019
年该品牌足球单价平均每年降低10%;(2)去B商店买足球更优惠,见解析【解析】
(1)设平均每年降低的百分率为x,根据2017年及2019年该品牌足球的单价,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于1的值即可得出结论;(2)根据两商城的促销方案,分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用,比较后即可得出结论.【详解】(1)设平均每年降低的百分率为,根据题意列方程,得.解得:,(不合题意,舍去).答:2017
年到
2019
年该品牌足球单价平均每年降低10%;(2)A商店:162×91=14742(元);B商店:162×0.9×100=1(元).因为14742>1.所以,去B商店买足球更优惠.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)根据2017年及2019年该品牌足球的单价,列出关于x的一元二次方程;(2)根据两商城的促销方案,分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用.26、(1)证明见解析;(2)成立.证明见解析;(3)(1)成立;(2)不成立【解析】
(1)从平行线和中点这两个条件出发,延长AE、BC交于点N,如图1(1),易证△ADE≌△NCE,从而有AD=CN,只需证明AM=NM即可.(2)作FA⊥AE交CB的延长线于点F,易证AM=FM,只需证明FB=DE即可;要证FB=DE,只需证明
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