2023年北京陈经纶中学初二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京陈经纶中学初二（下）期中数学一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.2.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A.2，3，4 B.，2 C.6，8，10 D.1，3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.4.在中，，则的度数为（）A. B. C. D.5.如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A.1 B.1 C.1 D.6.下列结论中，不正确的是（）A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.正方形的一条对角线的长为，则此正方形的面积是D.顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足7.已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（）A.13 B.14 C.12 D.118.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A.3 B. C.5 D.二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．）9.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10.命题“如果，那么”的逆命题是__________命题（填“真”或“假”），用一组，的值说明你的判断，这组，的值可以是__________，__________．11.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________．12.如图，在中，于，是的中点，若，，则的长等于__________．13.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．14.图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．15.如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，，点D在第一象限，则点D的坐标是_____．16.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④．其中正确结论的个数是（填写序号）________．三、解答题（本大题共10个小题，第17题，第19-23题，每题各5分，18题4分，24-26每题各6分，共52分．）17.计算：．18.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE，CF．求证：AE＝CF．19.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：中，．求作：矩形．作法：如图，①作线段的垂直平分线交于点；②连接并延长，在延长线上截取③连接，所以四边形即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵______，，∴四边形是平行四边形（______）（填推理的依据）.∵，四边形是矩形（______）（填推理的依据）20.如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1．以格点为顶点分别按下列要求画图．（1）在图1中，画一个直角，使它的斜边长为；（2）在图2中，画一个等腰，使它的底边长为，腰长为5；（3）在图3中，画一个等腰直角的，使它斜边长为．21.在四边形中，，，，，求四边形的面积．22.在学习了第18章特殊平行四边形之后，老师给班级同学出了一道思考题．如图，已知，点在射线上，点，在射线上，其中，四边形是平行四边形，请只用无刻度的直尺画出菱形，并说明理由．小明经过思考后，给出了自己的作法：①连接，，相交于点；②连接并延长交的延长线于点；③连接，四边形即为所求作的菱形．根据小明的设计，完成下面问题：（1）补全图形；（2）证明四边形为菱形；（3）若，，求的长．23.已知：如图，在中，点，分别在，上，且点是的中点，．求证：点是的中点．24.（1）观察，计算，判断：（只填写符号：>，<，=）①当，时，__________；②当，时，__________；③当，时，__________；…（2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明．（提示：）（3）实践应用：要制作面积为2平方米的长方形画框，利用第（2）问证明得出的结论直接写出画框周长的最小值为__________．25.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，．给出如下定义：若一个矩形的边均与某条坐标轴平行，且是它的一条对角线，则称这个矩形是的“非常知形”，如图1，点和点，它们的“非常矩形”是矩形．（1）在点，，中，与点构成的“非常矩形”的周长是6的点是__________；（2）若在第一象限有一点与点构成的“非常矩形”，且它的周长是8，求，满足的数量关系；（3）如图2，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“非常矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．26.如图，在正方形中，点在边上，点在正方形外部，且满足，．连接，，取的中点，连接，，交于点．（1）依题意补全图形1，则的度数为__________（直接写出答案）；（2）请探究线段，，所满足的等量关系，并证明你的结论；（3）设，若点沿着线段从点运动到点，则在该运动过程中，线段所扫过的面积为__________（直接写出答案）．

参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、，故不是最简二次根式，不符合题意；D、=，故不是最简二次根式，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确；D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意．故选择：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．3.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐项判断即可得．【详解】A、与不是同类二次根式，不可合并，此项错误；B、，此项错误；C、，此项正确；D、，此项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．4.【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得再结合计算即可解答．【详解】解：如图，∵在中，，故选：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长度，进而利用实数与数轴的关系解答即可求解．【详解】解：由题意得，．故选C．【点睛】本题主要考查勾股定理、数轴上的点表示的数，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，中点四边形，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．对角线互相垂直的四边形是菱形，故本选项的结论正确，不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的结论正确，不符合题意；C．正方形的一条对角线之长为4，则其边长为，则此正方形的面积是8，故本选项的结论正确，不符合题意；D．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足＝，故本选项的结论不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，中点四边形，掌握以上知识是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式的乘法求出m的值，再估算出的范围，求出a、b的值，即可得出答案．【详解】解：，∵，∴，即，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法法则等知识点，能估算出的范围是解此题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】根据两点间的距离公式可知，代数式的最小值为的最小值，利用将军饮马问题，确定点关于轴对称的点的坐标，求出该点与点之间的距离，即为所求．【详解】解：∵，，，∴，设点关于轴的对称点为，则：，∵，∴的最小值为，即：；故选C．【点睛】本题考查求代数式的最小值．将求代数式的最小值转化为求线段的和最小问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．）9.【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，进行求解即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数大于等于0，二次根式有意义是解题的关键．10.【答案】①.假②.1（答案不唯一）③.（答案不唯一）【解析】【分析】先写出逆命题，再举出一组反例，进行作答即可．【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么，为假命题，例如：，；故答案为：假，．【点睛】本题考查逆命题的真假，二次根式的性质．熟练掌握逆命题的定义，是解题的关键．11.【答案】x2＋62＝(10－x)2【解析】【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程.【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，故答案为x2+62=(10﹣x)2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.12.【答案】8【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵，是的中点，∴，∵，∴，在中，，，由勾股定理得，故答案为：8．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键．13.【答案】22.5°##22.5度【解析】【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，∴∠BAC=45°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=67.5°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．14.【答案】16【解析】【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，∴故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．15.【答案】【解析】【分析】根据直角三角形的性质求的长，根据等腰三角形的性质得BC长，再利用平行四边形的性质得出点的坐标即可．【详解】解：，，，，，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，故答案为：．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据勾股定理得出点A坐标，再由平行四边形性质求得点D坐标．16.【答案】①③④【解析】【分析】①用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②过O作OH⊥BE于H，证明△OHB≌△CMB，根据△OEB包含了△OHB，可得△EOB≌△CMB是不成立的；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，推出DE=EF；④△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，推出S△BCM=S△BCF=S△BOE即可求解．【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，△OBC是等边三角形，∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°，又∠OBE＝90°−∠CBO＝30°，

∴∠CBM＝∠OBE，

过O作OH⊥BE于H，

∴∠OHB＝∠CMB＝90°，在△OHB与△CMB中，，∴△OHB≌△CMB（AAS），∵△OEB包含了△OHB，∴△EOB≌△CMB是不成立的，∴②是错误的；③连接DO，由O为AC的中点知D、O、B三点在同一直线上，在△FCB和△FOB中，，∴△FCB≌△FOB（SSS），∴∠FCB=∠FOB=90°，∴∠EOB=180°-∠FOB=90°=∠FCB，∵∠CBF=∠OBE=30°，在△EBO和△FBC中，，∴△EBO≌△FBC（ASA），∴EB=FB，∴△OEB≌△OFB≌△CFB，∴∠EBO=∠FBO=∠CBF=30°，BF=BE，∴∠FEB=∠EFB=∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵OD=OB且OF=OE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中，∵∠EBO=30°，∴BE=2OE，∵OA=OB，∴∠OAE=∠OBE=30°，∵∠OEB=∠OAE+∠AOE=60°，∴∠AOE=30°，∴∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BOE=1：2，又∵，∵DC∥AB，∴∠FCM=∠CAE=30°，，∴FM∶BM=1∶3，∴S△BCM=S△BCF=S△BOE，∴S△AOE：S△BCM=2∶3，故④正确；综上，正确的结论有①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，涉及内容虽多，但不复杂，解题关键是熟记并灵活运用相关的性质．三、解答题（本大题共10个小题，第17题，第19-23题，每题各5分，18题4分，24-26每题各6分，共52分．）17.【答案】【解析】【分析】分别利用绝对值的意义、二次根式的性质、零指数幂的运算法则化简各数，再加减运算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值的意义、二次根式的性质、二次根式的加减、零指数幂，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．18.【答案】见详解【解析】【分析】由题意易得AB=CD，AB∥CD，则有∠ABE=∠CDF，进而可得△ABE≌△CDF，然后问题可求证．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．19.【答案】（1）见解析（2），对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【解析】【分析】（1）题中已给出作图方法，按此方法用圆规和直尺作出图形即可；（2）根据作图可知，EF是AC的垂直平分线，则点O是AC的中点，又因为，所以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形ABCD为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形来求解．【小问1详解】解：根据题意作图如下，矩形即为所求；【小问2详解】解：由作图可知，又，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵，四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图等知识与方法，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作出图形是解题的关键．20.【答案】（1）图见解析（2）图见解析（3）图见解析【解析】【分析】（1）根据网格特点以及即可画出图形；（2）根据网格特点以及和即可画出图形；（3）根据网格特点以及和即可画出图形．【小问1详解】解：如图，，，则直角即为所求作；【小问2详解】解：如图，，，故等腰即为所求作；【小问3详解】解：如图，，，且，故等腰直角即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计，涉及直角三角形、等腰三角形、勾股定理及其逆定理等知识，会利用网格特点和勾股定理构造无理数的线段长是解答的关键．21.【答案】【解析】【分析】延长、相交于E，根据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理分别求得、、，根据直角三角形的面积公式求解即可．【详解】解：延长、相交于E，∵，，∴，∴，则，∴，∵，∴，∴，∴四边形的面积为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，根据已知条件添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．22.【答案】（1）图见解析（2）见解析（3）6【解析】【分析】（1）根据步骤，补全图形即可；（2）如图，证明，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证；（3）利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，即可得出结果．【小问1详解】解：补全图形，如下：【小问2详解】证明：如图，∵四边形为平行四边形，点为对角线的交点，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形为菱形；【小问3详解】解：∵四边形为菱形，，，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，含30度的直角三角形性质及勾股定理．熟练掌握相关性质，并进行运用，是解题的关键．23.【答案】见解析【解析】【分析】取的中点，连接，根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质，即可得证．【详解】证明：取的中点，连接，∵点是的中点，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴点是的中点．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质．解题的关键是构造三角形的中位线．24.【答案】（1）①；②；③（2），证明见解析（3）米【解析】【分析】（1）将值代入计算后，再比较大小即可得出①②③的结论；（2）利用完全平方公式的非负性进行证明即可；（3）设长方形的长为米，宽为米，利用（2）中结论进行求解即可．【详解】解：（1）①当，时，，∵，∴；故答案为：；②当，时，，∴；故答案为：；③当，时，，∵，∴；故答案为：；（2），证明如下：∵，，∴，∴，即：，∴，∴；（3）设长方形的长为米，宽为米，由题意，得：，由（2）中结论可得：∴，∴长方形的周长，∴画框周长的最小值为米．故答案为：米．【点睛】本题考查完全平方公式的非负性，代数式求值，比较实数的大小关系．解题的关键是利用完全平方公式得到．25.【答案】（1）A（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据“非常矩形”，的定义求解即可；（2）根据“非常矩形”，的定义求解即可；（3）根据等边三角形的性质和勾股定理求得，，分当点H与点F重合时；当点H与点E重合时；当点H与D重合时三种情况，画出图形，分别根据正方形的性质和坐标与图形性质求得对应的a值，结合图形即可得出a的取值范围．【小问