北师大版高一数学必修第一册测试题（1-4章）

高中数学必修第一册1/46北师大版高中数学必修第一册测试题（1-4章）第一章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.3.已知集合，若有三个元素，则（）A. B. C. D.4.命题“”的否定是（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知集合，则（）A. B. C. D.7.“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.8.若正数满足，则的最小值为（）A. B. C.8 D.9二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.有下列命题中，真命题有（）A.，使为29的约数B.C.存在锐角D.已知，则对于任意的，都有10.已知，下列结论中正确的是 （）A. B. C. D.11.如下图，二次函数的图像与轴交于两点,与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（）A. B. C. D.当时，或12.设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（）A.有理数集是一个数域B.整数集是数域C.若有理数集,则数集必为数域D.数域必为无限集三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.不等式的解集为________.14.设某公司原有员工100人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元(为正常数)．公司决定从原有员工中分流人去进行新开发的产品的生产．分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．15.若，则的最小值为________.16.已知非空集合满足下列四个条件：①；②；③中的元素个数不是中的元素；④中的元素个数不是中的元素．（1）若集合中只有1个元素，则________；（2）若两个集合和按顺序组成的集合对叫作有序集合对，则有序集合对的个数是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知全集为实数集，集合.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.18.（本小题满分12分）已知不等式的解集为.（1）求的值；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）已知；，若是的充分条件，求的取值范围.20.（本小题满分12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（单位：万元）与处理量（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21.（本小题满分12分）若集合，，.（1）若，求实数的取值范围.（2）若，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知正实数满足，求的最小值.

第一章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】由真子集的概念，知，故选D.2.【答案】B【解析】.故选B.3.【答案】C【解析】由题意知，解得或.①当时，，满足条件，此时；②当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.4.【答案】C【解析】“”的否定是“”.5.【答案】B【解析】，故A，C，D都不正确，正确答案为B.6.【答案】D【解析】由，得.由，得或，.则，.故选D.7.【答案】C【解析】因为关于的不等式的解集为，所以函数的图象始终落在轴的上方，即，解得，因为要找其必要不充分条件，从而得到是对应集合的真子集，故选C.8.【答案】D【解析】，且，则，当且仅当即时取等号，故选D.二、9.【答案】AB【解析】A中命题为真命题．当时，为29的约数成立；B中命题是真命题．恒成立；C中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角，总有；D中命题为假命题．易知，故.10.【答案】BD【解析】因为，所以，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；因为，所以不成立，故C错误；，因为，所以，即，所以成立，故D正确．故选BD.11.【答案】ABC【解析】二次函数图象的对称轴为，得，故A正确；当时，，故B正确；该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；二次函数的图象的对称轴为，点的坐标为，点的坐标为，当时，或，故D错误，故选ABC.12.【答案】AD【解析】若，则，，，，所以有理数是一个数域，故A正确；因为，所以整数集不是数域，B不正确；令数集，则，但，所以C不正确；根据定义，如果在数域中，那么（k为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D正确．故选AD.三、13.【答案】（或写成）【解析】原不等式等价于，即，得.14.【答案】16【解析】由题意，分流前每年创造的产值为（万元），分流人后，每年创造的产值为，由解得.因为，所以的最大值为16.15.【答案】19【解析】由，得，.当且仅当，即时，取得最小值19.16.【答案】（1）（2）32【解析】（1）若集合中只有1个元素，则集合中有6个元素，所以，故．（2）当集合中有1个元素时，，，此时有序集合对有1个；当集合中有2个元素时，，，此时有序集合对有5个；当集合中有3个元素时，，，此时有序集合对有10个；当集合中有4个元素时，，，此时有序集合对有10个；当集合中有5个元素时，，，此时有序集合对有5个；当集合中有6个元素时，，，此时有序集合对有1个．综上，可知有序集合对的个数是.四、17.【答案】解：（1），又，.又，.（2），即解得.的取值范围是.18.【答案】解（1）由已知，，且方程的两根为，有解得.（2）不等式的解集为，则，解得，实数的取值范围为.19.【答案】解：由，解得，由，可得当时，①式的解集为；当时，①式的解集为；当时，①式的解集为；当是的充分条件，则集合是①式解集在的子集.可得或解得或.故的取值范围是.20.【答案】解：（1）当时，设该工厂获利为万元，则，所以当时，的最大值为，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.（2）由题知，二氧化碳的平均处理成本，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以当处理最为40吨时，每吨的平均处理成本最少.21.【答案】解：（1）由已知可得，，.若，则或，解得或.所以实数的取值范围为.（2）结合（1）可得.若，即，则，解得.所以实数的取值范围为.22.【答案】解：由，得（当且仅当时等号成立），所以，且，所以，所以的最小值为.第二章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数的定义域为（）A. B. C. D.2.设函数则的值为（）A. B. C. D.43.已知，则（）A.0 B. C.1 D.24.幂函数是偶函数，且在上单调递减，则整数的值是（）A.0或1 B.1或2 C.1 D.25.函数（不为零），且，则等于（）A. B. C. D.146.已知函数，则（）A.8 B.9 C.10 D.117.如果函数对于任意实数都有，那么（）A. B.C. D.8.定义在上的偶函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.定义运算，设函数，则下列命题正确的有（）A.的值域为B.的值域为C.不等式成立的范围是D.不等式成立的范围是10.关于函数的结论正确的是（）A.定义域、值域分别是， B.单调增区间是C.定义域、值域分别是， D.单调增区间是11.函数是定义在上的奇函数，下列命题中是正确命题的是（）A.B.若在上有最小值，则在上有最大值1C.若在上为增函数，则在上为减函数D.若时，，则时，12.关于函数，有下列结论，正确的结论是（）A.函数是偶函数 B.函数在）上递减C.函数在上递增 D.函数在上的最大值为1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.已知函数分别由表给出，则________.12313132114.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围为________.15.已知函数是奇函数，当时，，若，则的值为________.16.符号表示不超过的最大整数，如，定义函数：，则下列说法正确的是________.①；②当时，；③函数的定义域为，值域为；④函数是增函数，奇函数.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知一次函数是上的增函数，，且.（1）求的解析式.（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知（1）若，且，求实数的值.（2）求的值.19.（本小题满分12分）已知奇函数（为常数），且满足.（1）求函数的解析式.（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明.（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果，上升到为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在以上温度一定，保持在.（1）当地球表面大气的温度是时，在的上空为，求间的函数关系式.（2）问当地表的温度是时，上空的温度是多少?21.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且，对任意时有成立.（1）解不等式.（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数（1）画出的图象.（2）写出的单调区间，并指出单调性（不要求证明）.（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.

第二章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】选B.由得.2.【答案】C【解析】选C.因为，所以.3.【答案】A【解析】选A.是上的奇函数，故，所以.4.【答案】C【解析】选C.因为幂函数是偶函数，且在上单调递减，所以是偶数.解得.5.【答案】B【解析】选B.因为，所以，所以.6.【答案】C【解析】选C.因为，所以（或），所以.7.【答案】A【解析】选A.由，可知抛物线的对称轴是直线，再由二次函数的单调性，可得.8.【答案】B【解析】选B.因为对任意的恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，；当时，，又是偶函数，所以当时，；当时，，所以的解集为.二、9.【答案】AC【解析】选AC.根据题意知的图象为所以的值域为，A对；因为，所以，或，所以，或，所以或，所以，C对.10.【答案】CD【解析】选CD.由可得，，解可得，，即函数的定义域为，由二次函数的性质可知，，所以函数的值域为，结合二次函数的性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减.11.【答案】ABD【解析】选ABD.为上的奇函数，则，A正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B正确，C不正确；对于D，时，，又，所以，即D正确.12.【答案】ABD【解析】选ABD.函数满足，是偶函数；作出函数图象，可知在，上递减，，上递增，当时，.三、13.【答案】1【解析】由题表可得，故.14.【答案】【解析】因为在上是减函数，所以，解得或.15.【答案】【解析】因为是奇函数，所以，所以，解得.16.【答案】①②③【解析】，则，①正确，当时，，②正确，函数的定义域为，值域为，③正确，当时，；当时，，当时，；当时，，则，即有不为增函数，由，可得，即有不为奇函数，④错误.四、17.【答案】（1）由题意设.从而，所以解得，或，（不合题意，舍去）.所以的解析式为.（2）图象的对称轴为直线.若在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围为.18.【答案】（1）若，则，解得，满足；若，则，解得或（舍去），所以或.（2）由题意，.19.【答案】（1）因为为奇函数，所以，所以.又，即解得所以.（2）在区间上单调递减.证明如下：设任意的两个实数，且满足，则.因为，所以，所以，所以在区间上单调递减.（3）由（2）知在区间上的最小值是.要使当时，恒成立，只需当时，，即，解得即实数的取值范围为.20.【答案】（1）由题意知，可设，即.依题意，当时，，所以，解得.所以当时，.又当时，.所以所求的函数关系式为（2）当时，，即上空的温度为.21.【答案】（1）任取，由已知得，所以，所以在上单调递增，原不等式等价于，所以，原不等式的解集为.（2）由（1）知，即，即，对恒成立.设，若，显然成立；若，则，即或，故或或.22.【答案】（1）由分段函数的画法可得的图象.（2）单调区间：，，，在，上递增，在上递减.（3）函数有两个不同的零点，即为有两个实根，由图象可得，当或时，与有两个交点，则的范围是.第三章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则为（）A. B. C. D.2.在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A. B.C. D.3.已知关于的不等式，则该不等式的解集为（）A. B. C. D.4.下列函数中，值域为的是（）A. B. C. D.5.已知函数若，则（）A. B. C.1 D.26.已知，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.7.已知函数，若是偶函数，记，若是奇函数，记，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.8.在下图中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.若函数（，且）的图象不经过第二象限，则有（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.是奇函数 B.是偶函数 C.在上是增函数 D.在上是减函数11.设指数函数（，且），则下列等式中正确的是（）A. B.C. D.12.已知，则可能满足的关系是（）A. B.C. D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.已知函数是指数函数，且，则________.14.函数的单调递减区间是________，值域为________.15.已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是________.16.设函数，则满足的的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）；（2）若，则.18.（本小题满分12分）函数的图象如图所示，该图象由指数函数与幂函数“拼接”而成.（1）求的解析式；（2）比较与的大小；（3）若，求的取值范围.19.（本小题满分12分）设是上的偶函数.（1）求的值；（2）证明在上是增函数.20.（本小题满分12分）某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为，试解答下面的问题：（1）写出年后该城市的人口总数（万人）与年数（年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万）；（3）计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万（精确到1年）.21.（本小题满分12分）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点.（1）试确定；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求在上的解析式；（2）求的值域.

第三章综合测试答案解析1.【答案】B【解析】.又，.2.【答案】C【解析】，故选C.3.【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为，由于指数函数为增函数，故，故选B.4.【答案】B【解析】选项A中函数的值域为，选项C中函数的值域为，选项D中函数的值域为，故选B.5.【答案】A【解析】根据题意可得，解得，故选A.6.【答案】D【解析】因为在上单调递减，且，所以.又因为在上单调递增，且，所以.所以.故选D.7.【答案】B【解析】当是偶函数时，，即，即①.因为①式对任意实数都成立，所以，即.当是奇函数时，，即，即②.因为②式对任意实数都成立，所以，即，所以.8.【答案】C【解析】由二次函数常数项为0可知函数图象过原点，排除A，D；B，C中指数函数单调递减，因此，因此二次函数图象的对称轴.故选C.9.【答案】AD【解析】由题意当）不过第二象限时，其为增函数，且，即且，故选AD.10.【答案】AC【解析】，所以是奇函数，A正确；又为增函数，为减函数，所以为增函数，C正确，故选A、C.11.【答案】ABC【解析】因为，所以A正确；，所以B正确；，所以C正确；，所以D错误，故选ABC.12.【答案】ABC【解析】由，得，即，又为不相等的正数，，即，故A，B正确；等价于，又，则，故C正确；因为，故D错误.故选A、B、C.13.【答案】【解析】设（，且），由得.14.【答案】【解析】令，其单调递增区间为，根据函数是定义域上的减函数知，函数的单调递减区间就是.由，得，所以的值域为.15.【答案】【解析】令，则在区间上单调递增，而在上为增函数，所以要使函数在上单调递增，则有，所以的取值范围是.16.【答案】【解析】因与在上没有公共点，故由可得，故有或，解得的取值范围是.17.【答案】（1）原式.（2）设，则...18.【答案】（1）依题意得，解得，所以.（2）因为，指数函数单调递减，所以，即.（3）由，得，解得，所以的取值范围是.19.【答案】（1）因为是上的偶函数，所以，即，故，又不可能恒为0，所以当时，恒成立，故.（2）证明：在上任取，因为，又，所以，所以，故，即，所以在上是增函数.20.【答案】（1）1年后该城市人口总数为；2年后该城市人口总数为；3年后该城市人口总数为；……；年后该城市人口总数为.（2）10年后该城市人口总数为.（3）令，则有，解方程可得.故大约16年后该城市人口总数将达到120万.21.【答案】（1）因为的图象过点，所以得，又且，所以，所以.（2）由（1）知在时恒成立可化为在时恒成立.令，则在上单调递减，所以，即实数的取值范围是.22.【答案】（1）当时，.函数为奇函数，.又.故当时，的解析式为.（2）因为在上单调递减，从而由奇函数的对称性知在上单调递减.当时，，即；当时，，即.而，故函数在上的值域为.第四章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数的定义域是（）A. B. C. D.2.计算的结果为（）A.3 B.4 C.5 D.63.设，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数若，则的值是（）A.2 B.1 C.1或2 D.1或5.若，则的值是（）A.15 B.75 C.45 D.2256.函数，若实数满足，则 （）A.1 B. C. D.97.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（） 8.阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为（，计算结果取整数）（）A.1089 B.1086 C.434 D.145二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.10.已知函数，且，则下列结论可能成立的是（）A. B. C. D.11.当时，使不等式成立的正数的值可以为（）A. B. C.2 D.412.已知函数，则（）A.在单调递增B.在单调递减C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.已知函数的图象恒过定点，且幂函数的图象经过点，则的值为________.14.若，则________.15.已知函数，若的定义域为R，则实数的取值范围是________；若的值域为R，则实数的取值范围是________.16.给出下列四个结论：①函数的最大值为；②已知函数在上是减函数，则的取值范围是；③在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称；④在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称.其中正确结论的序号是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设为奇函数，且当时，.（1）求当时，的解析式；（2）解不等式.18.（本小题满分12分）已知.（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的值域.19.（本小题满分12分）函数且.（1）求该函数的定义域；（2）若该函数的图象经过点，讨论的单调性并证明.20.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的解析式，并判断的奇偶性；（2）解关于的方程.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数在上有最大值1和最小值0，设.（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.

第四章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】若使函数有意义，则，解得且.选B.答案：B2.【答案】D【解析】利用换底公式，则原式.答案：D3.【答案】A【解析】，即，即是的充分不必要条件，故选A.答案：A4.【答案】A【解析】若，则或，解得，故选A.答案：A5.【答案】C【解析】，选C.答案：C6.【答案】C【解析】由题意，，所以为奇函数，故由得，则，故选C.答案：C7.【答案】C【解析】为上的单调递增函数，且，排除B；为上的单调递减函数，且，排除A，D.故选C.答案：C8.【答案】B【解析】由题意知10000以内的素数个数，故选B.答案：B二、9.【答案】ACD【解析】由得，即，所以，故A正确；的符号不能确定，故B错误；.故C、D正确.答案：ACD10.【