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文档简介
2024届甘肃省兰州市高三第六次模拟考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(e为自然对数底数),若关于x的不等式有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为()A. B. C. D.2.已知集合,则等于()A. B. C. D.3.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:),则该几何体的表面积为()A. B.C. D.5.若复数满足,则对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④7.“是函数在区间内单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.复数(i为虚数单位)的共轭复数是A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i9.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为,则()A.3 B. C. D.10.已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入A. B.C. D.11.已知数列为等比数列,若,且,则()A. B.或 C. D.12.定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若一组样本数据7,9,,8,10的平均数为9,则该组样本数据的方差为______.14.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a=_______.15.已知数列满足,则________.16.已知点是椭圆上一点,过点的一条直线与圆相交于两点,若存在点,使得,则椭圆的离心率取值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的坐标.19.(12分)在中,角、、的对边分别为、、,且.(1)若,,求的值;(2)若,求的值.20.(12分)如图,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.21.(12分)在等比数列中,已知,.设数列的前n项和为,且,(,).(1)求数列的通项公式;(2)证明:数列是等差数列;(3)是否存在等差数列,使得对任意,都有?若存在,求出所有符合题意的等差数列;若不存在,请说明理由.22.(10分)的内角的对边分别为,若(1)求角的大小(2)若,求的周长
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,利用导数求出的最小值,分别画出与的图象,结合图象可得.【详解】解:,∴,设,∴,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴,当时,,当,,函数恒过点,分别画出与的图象,如图所示,,若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,∴且,即,且∴,故实数m的最大值为,故选:A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,考查了数学运算能力.2、C【解析】
先化简集合A,再与集合B求交集.【详解】因为,,所以.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.3、B【解析】
由题可知,,再结合双曲线第一定义,可得,对有,即,解得,再对,由勾股定理可得,化简即可求解【详解】如图,因为,所以.因为所以.在中,,即,得,则.在中,由得.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法,几何性质的应用,属于中档题4、C【解析】
由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,据此可计算出答案.【详解】由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,该几何体的表面积.故选:C【点睛】本题主要考查了三视图的知识,几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.5、D【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;【详解】,对应的点,对应的点位于复平面的第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.6、D【解析】
求出圆心到直线的距离为:,得出,根据条件得出到直线的距离或时满足条件,即可得出答案.【详解】解:由已知可得:圆:的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离为:,∴,而,与的面积相等,∴或,即到直线的距离或时满足条件,根据点到直线距离可知,①②④满足条件.故选:D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.7、C【解析】,令解得当,的图像如下图当,的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.8、B【解析】分析:化简已知复数z,由共轭复数的定义可得.详解:化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B.点睛:本题考查复数的代数形式的运算,涉及共轭复数,属基础题.9、D【解析】
由双曲线方程可得渐近线方程,根据倾斜角可得渐近线斜率,由此构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程可知:,渐近线方程为:,一条渐近线的倾斜角为,,解得:.故选:.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题,关键是明确直线倾斜角与斜率的关系;易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.10、C【解析】
由于中正项与负项交替出现,根据可排除选项A、B;执行第一次循环:,①若图中空白框中填入,则,②若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第二次循环:由①②均可得,③若图中空白框中填入,则,④若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第三次循环:由③可得,符合题意,由④可得,不符合题意,所以图中空白框中应填入,故选C.11、A【解析】
根据等比数列的性质可得,通分化简即可.【详解】由题意,数列为等比数列,则,又,即,所以,,.故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了推理能力与运算能力,属于基础题.12、D【解析】
根据y=fx+1为奇函数,得到函数关于1,0中心对称,排除AB,计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,函数关于f1.5≤2故选:D.【点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
根据题意,由平均数公式可得,解得的值,进而由方差公式计算,可得答案.【详解】根据题意,数据7,9,,8,10的平均数为9,则,解得:,则其方差.故答案为:1.【点睛】本题考平均数、方差的计算,考查运算求解能力,求解时注意求出的值,属于基础题.14、3【解析】
双曲线的焦点在轴上,渐近线为,结合渐近线方程为可求.【详解】因为双曲线(a>0)的渐近线为,且一条渐近线方程为,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线,明确双曲线的焦点位置,写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15、【解析】
项和转化可得,讨论是否满足,分段表示即得解【详解】当时,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.显然当时不满足上式,∴故答案为:【点睛】本题考查了利用求,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算,分类讨论的能力,属于中档题.16、【解析】
设,设出直线AB的参数方程,利用参数的几何意义可得,由题意得到,据此求得离心率的取值范围.【详解】设,直线AB的参数方程为,(为参数)代入圆,化简得:,,,,存在点,使得,,即,,,,故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解,考查直线、圆与椭圆的综合运用,考查直线参数方程的运用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:证明:连接交于点,则为的中点.又是的中点,连接,则.因为平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因为直棱柱,所以以点为坐标原点,分别以直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则且,可解得,令,得平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,则所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.18、(1);(2)最小值为,此时【解析】
(1)消去曲线参数方程的参数,求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式,求得曲线的直角坐标方程.(2)设出的坐标,结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法,求得的最小值及此时点的坐标.【详解】(1)消去得,曲线的普通方程是:;把,代入得,曲线的直角坐标方程是(2)设,的最小值就是点到直线的最小距离.设在时,,是最小值,此时,所以,所求最小值为,此时【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程转化为直角坐标方程,考查利用圆锥曲线的参数求最值,属于中档题.19、(1);(2).【解析】
(1)利用余弦定理得出关于的二次方程,结合,可求出的值;(2)利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值,利用同角三角函数的基本关系求出的值,然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【详解】(1)在中,由余弦定理得,,即,解得或(舍),所以;(2)由及得,,所以,又因为,所以,从而,所以.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值,考查计算能力,属于中等题.20、(1)见解析(2)【解析】
(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形,由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,从而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.【详解】(1)证明:设与交于点,连接,在矩形中,点为中点,∵为的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中点为,连接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的长即为四棱锥的高,在梯形中,,∴四边形是平行四边形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.21、(1)(2)见解析(3)存在唯一的等差数列,其通项公式为,满足题设【解析】
(1)由,可得公比,即得;(2)由(1)和可得数列的递推公式,即可知结果为常数,即得证;(3)由(2)可得数列的通项公式,,设出等差数列,再根据不等关系来算出的首项和公差即可.【详解】(1)设等比数列的公比为q,因为,,所以,解得.所以数列的通项公式为:.(2)由(1)得,当,时,可得①,②②①得,,则有,即,,.因为,由①得,,所以,所以,.所以数列是以为首项,1为公差的等差数列.(3)由(2)得,所以,.假设存在等差数列,其通项,使得对任意,都有,即对任意,都有.③首先证明满足③的.若不然,,则,或.(i)若,则当,时,,这与矛盾.(ii)若,则当,时,.而,,所以.故,这与矛盾.所以.其次证明:当时,.因为,所以在上单调递增,所以,当时,.所以当,时,.再次证明.(iii)若时
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