四川省万源市第一中学2023-2024学年九年级上册数学期末综合测试试题含解析

四川省万源市第一中学2023-2024学年九上数学期末综合测试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，在C）O中，NBAC=I5。，AADC=ZQo,则NABO的度数为（）

1-m

2.在反比例函数y=——的图象的每一条曲线上，都随X的增大而减小，则〃?的取值范围是（）

X

A.m>∖B.m≥lC.m<lD.m£1

3.下列成语所描述的事件是不可能事件的是（）

A.日行千里B.守株待兔C.水涨船高D.水中捞月

4.已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）

A.有最大值1.5,有最小值-2.5B.有最大值2,有最小值1.5

C.有最大值2,有最小值-2.5D.有最大值2,无最小值

5.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.X2=OB.x2=4C.x2-2x-l=0D.X2+1=0

6.已知M（l,2）,则M关于原点的对称点N落在（）

A.y=2x的图象上B.y=f的图象上c.y=2x?的图象上D.y=x+2的图象上

7.顺次连结菱形各边中点所得到四边形一定是（）

A.平行四边形B.正方形C.矩形D.菱形

8.下列函数中，是二次函数的是（

A.y=2x+lB.j=(X-I)2-X2

C.j=l-X2D.y=

x

9.如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，A为切点，BC与。。交于点D,连结OD.若NC=50°,贝（JNAOD

的度数为（）

A.40oB.50oC.80oD.100°

10.如图，水平地面上有一面积为30乃cm2的灰色扇形OAB,其中OA=6CΠI,且OA垂直于地面.将这个扇形向右滚

动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（）

A.10%CmB.20;TCmC.24;TCmD.30万Cm

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.平面直角坐标系内的三个点A（1,一3）、B（0,一3）、C（2,-3）,—确定一个圆.（填“能”或“不能”）

12.已知如图，A5O中，ZAOB=Oio,点P在AB上，OP=IO,点/、N分别在边。4、OB上移动,贝IPMN

的周长的最小值是.

13.在一个不透明的箱子中，共装有白球、红球、黄球共60个，这些球的形状、大小、质地等完全相同.小华通过多

次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是15%,摸出白球的频率是45%,那么可以估计盒子中黄球的个数是.

14.若菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则该菱形的面积是cmɪ.

15.如图，点3（-1,4）、。（仇7）在04上，点A在X轴的正半轴上,点。是A上第一象限内的一点,若NO=45°,

则圆心A的坐标为一.

16.如图，矩形ABCD绕点A旋转9（）。，得矩形AB'C'D',若B,D,C'三点在同一直线上，则一的值为

AD

17.如图，以点。为位似中心，将AQ45放大后得到AOCr>,Q4=2,AC=3,则一=

CD

18.如图，在MΔA3C中，NC=90°,AC=S,8C=6,点P是AB上的任意一点，作PD_LAC于点。，PE上CB

于点£,连结OE,则DE的最小值为.

三、解答题（共66分）

19.（U）分）已知：ΔABC中，AB=AC.

（1）求作：AABC的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

B

(2)若AABC的外接圆的圆心。到BC边的距离为4,3C=12,求。的面积.

20.(6分)综合与探究

如图1,平面直角坐标系中，直线∕f=2x+4分别与X轴、y轴交于点A,B.双曲线y=5(χ>0)与直线/交于点

E(π,6).

(1)求I的值;

(2)在图1中以线段AB为边作矩形ABcr>,使顶点C在第一象限、顶点。在)'轴负半轴上.线段Cr)交X轴于点G.

直接写出点A,D,G的坐标；

(3)如图2,在(2)题的条件下，已知点尸是双曲线y=ν(χ>0)上的一个动点，过点P作X轴的平行线分别交线段

X

AB>C£>于点Λ/,N.

请从下列A,8两组题中任选一组题作答.我选择组题.

A.①当四边形AGMW的面积为5时，求点P的坐标；

②在①的条件下，连接P3,Po.坐标平面内是否存在点。(不与点P重合)，使以8,D,。为顶点的三角形与ΔP89

全等?若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

B.①当四边形AGMW成为菱形时，求点。的坐标;

②在①的条件下，连接依，PZ）.坐标平面内是否存在点。（不与点P重合），使以B,D,。为顶点的三角形与ΔPBD

全等?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

ΛDAQ

21.（6分）如图，在AABC与A4Z）E中，一='—,且ZE4C=NZMB.

ADAE

求证：ΔABCAADE.

22.（8分）如图①，在AABC中，NAC8=90。，N8=30。，AC=I,。为48的中点，E尸为2UCZ）的中位线，四边形

EFG”为AAC。的内接矩形（矩形的四个顶点均在AACD的边上）.

（1）计算矩形EFGH的面积；

/7

（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在5C上时停止移动.在平移过程中，当矩形与ACbO重叠部分的面积为注

16

时，求矩形平移的距离；

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形EEgM,将矩形石耳GM绕Gl点按顺时针方向旋转,

当Hl落在CZ＞上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形鸟巴GH2,设旋转角为α,求CoSa的值.

23.（8分）天猫商城某网店销售童装，在春节即将将来临之际，开展了市场调查发现，一款童装每件进价为80元,

销售价为12（）元时，每天可售出20件；如果每件童装降价1元，那么平均每天可售出2件.

（1）假设每件童装降价X元时，每天可销售件，每件盈利元；（用含X人代数式表示）

（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最多？每天最多盈利多少元？

24.（8分）在等边ABC中，点。为AC上一点，连接80,直线/与4民8。,3。分别相交于点£尸,Ρ，且

ZBPF=60o.

（1）如图（1）,写出图中所有与43Pb相似的三角形，并选择其中的一对给予证明;

（2）若直线/向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来（不

证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究:如图（D,当8。满足什么条件时（其他条件不变），PF=；尸七？请写出探究结果，并说明理由（说明:结论

中不得含有未标识的字母）.

25.（10分）如图，CZ）为0。的直径，AB、BC为。上的两条弦，且于点P,AOLBC,交AO延

长线于点E,04=1.

D

（1）求NOCB的度数;

（2）求阴影部分的面积

26.（10分）如图是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，画出图中几何体的主视图、左视

图和俯视图.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、B

【分析】根据圆周角定理可得出NAOB的度数，再由OA=OB,可求出NABo的度数

连接04、0C,

'.'ZBAC=ISo,ZADC=20o,

：.ΛAOB=2(NAoC+NBAC)=70°,

VOA=OB(都是半径)，

ZABO=ZOAB=-(180°-ZAOB)=55°.

2

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

2、C

【分析】根据反比例函数的性质，可得出l-m>0,从而得出m的取值范围.

1-m

【详解】∙.∙反比例函数y=——■的图象的每一条曲线上，y都随X的增大而减小，

X

l-m>O,

解得m<l,

故答案为m<l.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，当k>O时，在每个象限内，y都随X的增大而减小；当kVO时，在每个象限内，y都

随X的增大而增大.

3、D

【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事

件和不可能事件都是确定的.

【详解】解：A、日行千里是随机事件，故本选项错误；

B、守株待兔是随机事件，故本选项错误；

C、水涨船高是必然事件，故本选项错误；

D、水中捞月是不可能事件，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】

此题考查是不可能事件的判断,掌握不可能事件的定义是解决此题的关键.

4、C

【详解】由图像可知，当x=l时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.

故选C.

5、A

【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，逐一判断选项，即可.

2

【详解】A.x=0,解得：X1=X2=O,故本选项符合题意；

B.X2=4,解得：x∣=2,X2=-2,故本选项不符合题意；

C.x2-2x-l=O,Δ=(-2)2-4×1X(-1)=8>O,有两个不相等的根，故不符合题意；

D.x2+1=0,方程无解，故不符合题意.

故选A.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键.

6、A

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数得出N的坐标，再根据各函数关系式进行判断即可.

【详解】点M(1,2)关于原点对称的点N的坐标是(-1,-2),

二当X=-I时，对于选项A,y=2×(-l)=-2,满足条件，故选项A正确；

对于选项B,y=(-l)2=l≠-2故选项B错误；

对于选项C,y=2×(-l)2=2≠-2故选项C错误；

对于选项D,y=-l+2=l≠-2故选项D错误.

故选A.

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及函数图象上点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互

为相反数是解题的关键.

7、C

【分析】根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.再根据对角线

互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【详解】如图，四边形ABCD是菱形，且E.F.G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

E11

则EH〃FG〃BD,EF=FG=-BD;EF〃HG〃AC,EF=HG=-AC,AC±BD.

22

故四边形EFGH是平行四边形，

XVAC±BD,

ΛEH±EF,NHEF=90°,

二边形EFGH是矩形.

故选：C

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理.

8、C

【解析】根据二次函数的定义进行判断.

【详解】解：A、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；

B、由已知函数解析式得到：y=~2x+l,属于一次函数，故本选项错误；

C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；

。、该函数不是二次函数，故本选项错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的定义.熟知一般地，形如y=α∕+6x+c(a、b、C是常数，0≠0)的函数，叫做二次函数是解答此

题的关键.

9、C

【分析】由AC是。。的切线可得NCAB=90°,又由NC=50°,可得NABC=40。;再由OD=OB,则NBDo=40。最后

由NAOD=NOBD+NOBD计算即可.

【详解】解：AC是。。的切线

/.ZCAB=90°,

又∙.∙NC=50°

AZABC=90°-50°=40°

XVOD=OB

ΛZBDO=ZABC=40o

XVNAOD=NOBD+NOBD

二ZAOD=40°+40°=80°

故答案为C.

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.

10、A

【解析】如下图，在灰色扇形OAB向右无滑动滚动过程中，点O移动的距离等于线段AIBl的长度，而AIBl的长度

等于灰色扇形OAB中弧的长度/,

VS扇形=-l∙r--l×OA-30万,OA=6>

22

.∙.∕=l(hr(cm),即点O移动的距离等于：10乃cm.

故选A.

点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动,

其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、不能

【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆.

【详解】解：YB(0,-3)、C(2,-3),

.\BC〃x轴，

而点A(1,-3)与C、B共线，

二点A、B、C共线，

二三个点A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)不能确定一个圆.

故答案为：不能.

【点睛】

本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.

12>10√3

【分析】作P关于AO,BO的对称点E,F,连接EF与OA,OB交于MN,此时APMN周长最小;连接OE,OF,作OG±EF,

利用勾股定理求出EG,再根据等腰三角形性质可得EE

【详解】作P关于AO,BO的对称点E,F,连接EF与OA,OB交于MN,此时△PMN周长最小；连接OEQF,作OG±EF

根据轴对称性质：PM=EM,PN=NF,OE=OP,

OE=OF=OP=IO,

NEoA=NAOP,NBOF=NPOB

VZAOP+ZPOB=60o

ΛZEOF=60o×2=120o

VOG±EF

.*.OG=ɪOE=ɪ×10=5

22

二EG=4OE1-OG1=√102-52=5√3

所以EF=2EG=10百

由已知可得△PMN的周长=PM+MN+PN=EF=10百

故答案为：ioG

【点睛】

考核知识点：轴对称，勾股定理.根据轴对称求最短路程，根据勾股定理求线段长度是关键.

13、1

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，知道白

球、黄球的频率后，可以得出黄球概率，即可得出黄球的个数.

【详解】解：Y从盒子中摸出红球的频率是15%,摸出白球的频率是45%,

,得到黄球的概率为：1-15%-45%=40%,则口袋黄小球有：60x40%=l个.

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解决本题的关键是要熟练掌握频率，概率的

关系.

14、14

【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积.

解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，

根据S=—ab=—×6×8=14cm,，

22

故答案为14.

15、（3,0）

【分析】分别过点B,C作X轴的垂线,垂足分别为E,F,先通过圆周角定理可得出NBAC=90°,再证明ABEAgaAFC,

得出AE=CF=4,再根据AO=AE-OE可得出结果.

【详解】解：分别过点B,C作X轴的垂线，垂足分别为E,F,

VZD=45",ΛZBAC=90o.

.∙.NBAE+NABE=90°,ZBAE+ZCAF=90o，

.∙.NABE=NCAF,

又AB=ACNAEB=NAFC=90°，

Λ∆BEA^∆AFC(AAS),

ΛAE=CF,

又∙.∙B,C的坐标为8(T,α)、C(⅛,-4),

ΛOE=1,CF=4,

.∙.OA=AE-OE=CF-OE=I.

.∙.点A的坐标为(1,0).

故答案为：(L0).

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，根据已知条件作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

√5+l

16、

2

D,T')W

【分析】连接C'O,BD,根据旋转的性质得到AC'BZ>sΔβAQ,根据相似三角形的性质得一=—^,即

ADAB

AB—ADAD_.7-i/ɪ.ʌ

--------=.—,即可得到结论.

ADAB

【详解】解：连接C'。，BD,

：矩形ABCD绕点A旋转90°,得矩形ABCD,

ʌBC=BC=AD,AB=AB,B,C//AB,

,：B,D,C三点在同一直线上，

：.∖CB,D^∖BAD

.B'DB'C'

''~AD~~AB'

AB-ADAD

即aπ--------=——.

ADAB

1+λ1λ

AD=~^AB^lAD=~-^AB（舍去）

22

所以A"-2^√5+l

Zzl以------—

AD-l+√52

故答案为：

2

【点睛】

本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

2

17、一.

5

【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案.

【详解】解：：以点。为位似中心，将△。钻放大后得到AoCZ),OA=2,AC=3,

.OAAB22

"OC-CD-2+3^5'

2

故答案为彳.

【点睛】

此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键.

18、4.8

【分析】连接CP,根据矩形的性质可知：DE=CP,当OE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CPLAB

时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出C尸的长.

【详解】RΔABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,

.∙.AB=IO,

连接C尸，

PDLAC于点。，PELCB于点E，

四边形OPEC是矩形，

.-.DE=CP,

当。E最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CPLAJB时，则C尸最小，

,DE=CP=戈a=4.8.

10

D

故答案为：4.8.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解

题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段C尸的最小值.

三、解答题（共66分）

19、（1）详见解析；（2）52;T

【分析】（1）分别作出AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆的圆心，以O为圆心，OB为半径作圆即

可，如图所示.

⑵已知ΔABC的外接圆的圆心。到BC边的距离为4,BC=I2,利用勾股定理即可求出OB?,再根据圆的面积公式

即可求解.

【详解】解：（1）如图

(2)设8C的垂直平分线交BC于点。

由题意得：OD=4,BD=CD=ɪBC=6

2

在RtAQBD中，QB?=。02+8。2=4?+6?=52

.,.So-ττ∙OB^-52;T

【点睛】

本题主要考查的是圆的外接三角形尺规作图法和勾股定理的应用，掌握这两个知识点是解题的关键.

20、(1)6；(2)A(-2,0),D(O,-1),(3)A∙①P(3,2),②Q(—3,2),β2(3,ɪ),Q,(-3,l)5

B.0ʌ/ʒ,ʌ/ʒj,②Q∣(-,Q2-∖∕5,3->∕5j,β3-ʌ/ʒ,3—ʌ/ʒj.

【分析】(1)根据点E(〃,6)在y=2x+4的图象上，求得〃的值，从而求得攵的值；

(2)点A在直线/上易求得点A的坐标，证得*AOB~*ZXM可求得点。的坐标，证得ΔAOBAGOD即可求得

点G的坐标；

(3)A.①作NHLX轴，利用平行四边的面积公式先求得点P的纵坐标，从而求得答案；

②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；

B.①作MFLx轴，根据菱形的性质结合相似三角形的性质先求得点P的纵坐标，从而求得答案；

②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；

【详解】(DE(",6)在y=2尤+4的图象上，

6=2〃+4,

「.〃=1,

.∙.点E的坐标是(1,6),

E(l,6)在y=K的图象上，

X

.∙.6=K,

1

；・k=6；

(2)对于一次函数y=2x+4,

当X=O时，y=4,

.∙.点3的坐标是(0,4),

当y=0时，x=-2,

.∙.点A的坐标是(一2,0),

OB-4,OA-2,

在矩形ABC。中，

ZBAO+ZOAD=90°,ZADO+ZOAD=90°,

.∙.ΛBAO=ZADO,

：.Rt♦AOB~RfDOA,

,AOOB

•.~~,

DOAO

24

.*.-----------=-9

DO2

.∙.DO=1,

二点o的坐标是(o,—i),

矩形ABCD中，AB//DG,

：.MOBAGOD

AO_OB

GO^OD

2_4

GO1

.∙.GO=-

2

•••点G的坐标是(g,0

<1

故点A,D,G的坐标分别是：(—2,0),(0,-1),-,0

12

(3)A：①过点N作NH_LX轴交X轴于点”，

MNuX输,ABHCD,

••・四边形AGNM为平行四边形，

∙,∙S平行四边形AGMW=AG∙NH

:.5=-NH

2

：.NH=2

.∙.P的纵坐标为2，

：.2=~,

X

，X=3,

二点P的坐标是(3,2),

②当*5。QM♦BPD时，如图1,点。I与点尸关于y轴对称，由轴对称的性质可得：点储的坐标是(—3,2)；

当*DQ5V3PD时，如图2,过点。2作。2乙，,轴于L，直线PM交,轴于R，

•：DQ2BBPD,

INQaBL=NPDR,Q2B=PD,

：.RtΦQ2BL≡RfPDR,

：.Q2L=PR,BL=DR,

•••点P的坐标是（3,2）,点O的坐标是（0,-1）,

.'.Q2L=PR=3,班=OR=2-（-1）=3,Lo=OJB-班=4-3=1,

点。2的坐标是(-3，1)，

图2

当.DQB三*8P0时，如图3,点。3与点值关于）'轴对称，由轴对称的性质可得：点。3的坐标是（3,1）；

B：①过点M作MFLX轴于点F

∙.∙A(-2,0),B(0,4),G(g,O),

.∙.04=2,OB=4,OG=-,

2

.∙.AB=y∣OA2+OB2=√22+42=2√5，

四边形AGNM为菱形，二AM=AG=A。+OG=2+,=9,

22

VM尸_LX轴,

J.ME//BO,

ΛΔAMFΔABO,

AMMF

'~AB~~OB,

5

2.MF,

：.MF=布,

.∙∙P的纵坐标为右,

②当*8QDM*3Pf＞时，如图4,点2与点P关于,轴对称，由轴对称的性质可得：点。的坐标是

图4

当*OQ28M*BPO时，如图5,过点。2作轴于L,直线PM交y轴于R，

V^DQ2B=φBPD,

ΛZQ2BL=ZPDR,Q2B=PD,

；.Rt^Q2BL≡RfPDR,

：,Q2L=PR,BL=DR,

∙.∙点P的坐标是［微6，逐］,点。的坐标是（0，-1）,cβ.0

'QJ=PR=乎,BL=DΛ=√5-(-l)=√5+l,Lo=OB-BL=3-5

点。2的坐标是[一M括，3-6],

当♦。。33三*8。。时，如图6,点。3与点。2关于）'轴对称，由轴对称的性质可得：点。3的坐标是(衿3一Wj;

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握函数图象上

点的坐标特征和矩形、菱形的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，综合性强,

有一定的难度.

21、见解析

【分析】先证得NZME=NB4C,利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似.

【详解】'：ZEACZDAB,

：.ZEAC+乙BAE=ZDAB+ZBAE,

即NZME=NMC,

ABAC

又π罚二法’

ΛΔABCΔADE.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两

个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键.

22、（1）且；（2）矩形移动的距离为［时，矩形与ACBO重叠部分的面积是立；（3）上43

88168

【解析】分析：（I）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2,从而求得AD,CD,利用中位线的性质可得EF,DF,

利用三角函数可得GF,由矩形的面积公式可得结果；

（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与ACBD重叠部分为三角形时（OVX≤L）,利用三角函数和三角形的面

4

积公式可得结果；当矩形与aCBD重叠部分为直角梯形时（LVX≤4）,列出方程解得X；

42

(3)作H2QJ_AB于Q,设DQ=m,则从Q=√5MJ,又OGI=―,W2Gi=ɪ-,利用勾股定理可得m,在RtAQH2G1

42

中，利用三角函数解得CoSα∙

详解：(1)如图①，

图①

在AABC中，

NAC5=90°,ZB=30o,AC=I,.,.AB=2,

又是AB的中点，：.AD=1,CD=-AB=I.

2

又YE尸是AACD的中位线，.∙.EE=。/7=’,

2

在ΔACf)中，AD=CD,ZA=60o,

二NAOC=60。.

在AFG。中,GF=OF∙sin6(Γ=且，

4

1G√3

；•矩形EFGH的面积S=EFGF=—X=

248

(2)如图②，设矩形移动的距离为X，则0<x≤',

2

当矩形与ACBO重叠部分为三角形时，

则O<X≤L

4

S=Lχ∙y[ix=^-，∙*∙X=>ɪ•(舍去).

21644

当矩形与ACBO重叠部分为直角梯形时，则L<X<J,

42

重叠部分的面积S=t」xJXf3,.∙.x=∙∣.

4244168

3∕?

即矩形移动的距离为二时，矩形与ACB。重叠部分的面积是处.

816

(3)如图③，作"2。，AB于。.

图③

设DQ=m,则4。=//”，又DG=H2Gi-ɪ.

在RtA∕∕2QG1中，（6加『+（根+口H

∖4J∖2√

解之得〃?=二!主叵(负的舍去).

16

-1+√131

,cos«-QGl-16+4-3+√13

W2G1ɪ8

2

点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形

是解答此题的关键.

23、(1)20+2x,40-X；(2)降价为15元时，盈利最多为1250元

【分析】(1)根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；

(2)把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论.

【详解】解：(1)设每件童装降价X元时，每天可销售20+2X件，每件盈利40-x元，

故答案为:(20+2x),(40-x)；

(2)设每件童装降价X元，盈利y元，

根据题意得，y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250,

答：每件童装降价15元时，每天可获得最多盈利，最多盈利是1250元.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键.

24、(1)∆BPF^^∆EBF,∆BPF<^ABCDi(2)均成立，分