福建省厦门市2022-2023学年高一数学上学期期中试题

福建省厦门市20222023学年高一数学上学期期中试题

（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1,设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},5=3%2一4%+3=0},贝力（4^5）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】解方程求出集合8,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，8=卜卜2—4X+3=0}={1,3},所以Zu8={—1,1,2,3},

所以与（Nu6）={—2,0}.

故选：D.

2.设a,beR,且a>b,则下列结论中正确的是（）

A.—>1B.[C.|G|>|/）|D.a3>f>}

bab

【答案】D

【解析】

【分析】

取特殊值判断ABC,由基函数歹=x3的单调性判断D.

【详解】当a=l,b=-1时，|。|=|回

bab

因为幕函数夕=/在R当单调递增，a>b,所以/>/

故选：D

3.下面各组函数中是同一函数的是（）

A.y=与-2x

B.丁=(«)2与歹=|x|

C./(x)=k—2x—1与g(f)=厂—2/—1

D.y=Jx+1Jx-l与y=^(x+l)(x-l)

【答案】C

【解析】

【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.

【详解】A.函数的定义域为{x|x40},y=Q?=—xJW，

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，

B.y=(、6)2=x,定义域为{x|x20},函数的定义域不相同，不是同一函数

C.两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数

D.由《，八得〈，得X21,由(x+D(x—l)Z0得X21或XW—1,两个函数的定义域不相同，

x-1>0[x>1

不是同一函数，

故选：C.

4.已知。=0.2\b=log30.2,c=302,则a,b,c的大小关系是

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【详解】•••0.23G(0,1),噫0.2(0,3。2)1.•/<c，选B

5.“4=0”是“函数/(对=(X一。)3(彳€11)为奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义及性质，分别验证充分性与必要性，即可得到结果.

【详解】因为函数/(x)=(x-a)3定义域为R关于(0,0)对称，

当4=0时，，/(X)=J?,则/(-x)=(-x)3=—丁=-/'(%)

故函数/(X)为奇函数；

当函数/(x)=(X-。)3为奇函数时,

/(-x)=-/(x)，即(―x——,解得a=0.

所以“4=0”是"函数/(x)=(x—a)3(xeR)为奇函数”的充要条件.

故选:C.

6.函数〃x)=―苫皿(0＜。＜1)的图象大致形状是()

1用

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的解析式，得出函数为奇函数，再结合对数函数的图象与性质，即可求解.

、xlog,\x\

【详解】由题意，函数/(X)=—含山(0＜。＜1),

%

-xlogj-M

可得/(一%)=

I"

所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；

又由当x＞0时，函数/(力=108〃》(0＜。＜1)是单调递减函数，排除A.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记函数的基本性质，熟练应用

对数函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与判定能力.

7.设函数/(x)=x3+，+D”在区间［—2,2］上的最大值为M,最小值为从则(W+N-1严2的值为()

x+1

A.2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先将函数化简变形得/(')==!李+1，然后构造函数g(x)==jj，可判断g(x)为奇函数,

再利用奇函数的性质结合/(x)=g(x)+l可得/+N=2,从而可求得结果

【详解】由题意知，/(x)=x：+2；+l(xe[-2,2]),

设g(x)=±£,则/(x)=g(x)+l,

x-+1

因为g(_x)==

所以g(x)为奇函数，

g(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0,

故M+N=2,

所以(〃+%-1广2=(2-1严=1.

故选:C.

8.为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜.绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进

行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格.农药的安全残留量是其很重要的

一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准.为

了防止一种变异的妫虫，某农科院研发了一种新的农药“政清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全

残留量为，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y=ae"的函数关系降解，其中x的单位为小时，

y的单位为mg/kg.该农药的喷洒浓度为2mg/kg,则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需

要()小时.(参考数据InlO也)

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先由x=0,〉=2可得a的值，再根据指数和对数的运算法则，解不等式2e«，即可.

【详解】解：由题意知，当x=0时，y—2,

所以2=a・，°,解得a=2,

所以y=2ex,

要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e-'W,

解得xe-In——=31nlO+ln2«3X2.3+ln2=6.9+ln2,

2

因为Ine3<ln2<lne,即<ln2c1,

所以6.9+ln2G(,),

所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.设集合Z={x|x2—7x+10=0},8={x|or_10=0},若4u8=Z，则实数a的值可以是()

A.0B.1C.2D.5

【答案】ACD

【解析】

【分析】化简集合A,由Zu8=/可得8=4,分。=0和。两种情况进行讨论即可求解

【详解】Z={X，_7X+10=0}={2,5},

因为=所以6=/,

若〃=0,则6={x|办一10=0}=0,满足3g4；

若awO,则8={x|亦-10=0}={四},

因为8=/,所以3=2或3=5,解得。=5或。=2,

aa

故选：ACD

10.已知正数再y满足x+y=2,则下列选项正确的是()

A.'+▲的最小值是2B.个的最大值是1

xy

C.d+y2的最小值是4D.x(y+l)的最大值是2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.

【详解】因为正数x，V满足x+y=2,

由LL_Lx(_L+_L](x+y)=U2+化+4|42+2平、

=2,

xy2yJ2yxy)21yxy

yx

当且仅当乙=一时，即x=y=l时，等号成立，所以A正确；

%y

由x+y»2而，可得2而42,即当且仅当x=y=l时成立，所以B正确;

由x2+V2=(x+y)2-2xy=4-2xy>4-2=2，当且仅当工=y=1时成立，所以C错误;

由正数满足x+y=2,可得x+"+l)=3,

则x(j+l)《+；+l[=(|)=(，当且仅当％=^+1时，

319

即x==；时，等号成立，即x(y+D的最大值是j，所以D正确.

故选：ABD

11.已知实数a满足a+qT=4,下列选项中正确的是()

1133

22B.a-a~}=2G2

A.fl+a-=14Ca+a-V60源+/=3指

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据/+〃-2=(a+〃T)2—加丁|即可判断A；

根据(a—=6?+4-2—2a.qT即可判断B,注意符号;

(1」丫

根据。2+。2=a+a-'+2ai-a^即可判断C；

利用立方和公式即可判断D.

【详解】解：因为Q+Q7=4,所以Q〉0，

]

/+。-2=(Q+Q-)-2a-a~=16-2=14,故A正确；

(a—a)=矿+a—2ci-ci=12,所以Q—Q—।=+2V3，故B错误;

_L」Y」

a2+a2=Q+a7+2a2.a2=6,

7

又a〉0,所以)+/>()，则£+/=太,故C正确；

3_3

+a5a2+a2V6X(4-1)=3娓,故D正确.

/

故选：ACD.

12.函数"X)的定义域为/,若三加＞0使得也e/均有|/(x)|＜/,且函数/(x+1)是偶函数，则/⑶可

以是()

.x_//、Ix—1I

A./(x)In----B.f(x)=-3--------

2-xx2-2x4-2

1J_O,xe«Q,

C/(x)=D./(x)=-

2x+241,XGQ

【答案】BD

【解析】

【分析】求出各函数的最大值，判断各函数的奇偶性，即可得出答案.

Y三-1),定义域为{x[0<x<2},

【详解】解：对于A,f(x)=In--In

2-x

2

当xf2时,------>4-00,则f(x)T+8,

2-x

所以函数/(X)没有最大值,则不存在〃〉0,使得|/(x)|＜M,故A不符题意;

|1||x—1|

对于B,/(X)

x2-2x+2(%—l)2+1?

当x=l时,f(x)=O,

-1|111

<—;L=5,

当"1时，(x-iy+i|x-ii+1

2J|x-l|-

|x-l||x-l|

当且仅当-即x=2或0时取等号,

|x—1|

所以又卜一所以/a”。,

所以OK/(x)K；,即ow|/(x)|4，

三河＞0使得|/(切＜加，

|x|lxl

又/(x+l)=,而/(-x+l)==/(x+l),

x2+lx2+l

所以函数/(x+1)是偶函数，故B符合题意;

对于c,y(x+i)=--------,

2r+1+24

112X1

则/(—x+l)=---------------------

2-x+l+242X+'+24

111

因为/(x+l)+/(-x+l)=—：-------+—：--------=0,

八)八)2x+l+242v+1+24

所以〃-x+l)=_/(x+l),

所以函数/(x+1)是奇函数，故C不符合题意；

对于D,由/(x)=[?x『Q',W0</(x)<l,

1”Q

故311〉0使得|/(x)\<M,

因为一x+1与x+1要么都是有理数，要么都是无理数，

所以/(-x+l)=/(x+l),

所以函数/(X+1)是偶函数，故D符合题意.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y=Jlogg(4x-3)的定义域为.

【答案】{x[：<x41}

【解析】

[4x-3>0

【分析】根据根式、对数的性质有<“八八求解集，即为函数的定义域.

[log05(4x-3)>0

4x—3>03

【详解】由函数解析式知：Ii「八，解得一VX<1,

[log05(4x-3)>04

3

故答案为：{x[w<xW1}.

14.若幕函数/(幻=(加2+〃?-5)/『+2时4在区间(0,用)上单调递增，则〃4)=

【答案】256

【解析】

【分析】根据募函数的定义及性质求出加，即可得出答案.

【详解】解：因为幕函数/(X)=(加2+〃2-5)/'+224在区间(。，y)上单调递增,

2

m4-772-5=1

所以〈2，解得加=2,

m+2m-4>0

所以/(x)=f,

则f(4)=256.

故答案为：256.

15.已知关于x的不等式依+,424在区间(0,+¥)上有解，则实数”的取值范围是

X

【答案】(T»,0)U[3,+8)

【解析】

【分析】

由题意可得，当x>0时，a/-2ax+3”0能成立，分类讨论。的范围，利用二次函数的性质，求得实数。的

取值范围.

【详解】关于x的不等式"+2.2a在区间(0,+8)上有解，

X

3

即当x>0时，不等式+—2〃能成立，即一2ax+3,,0能成立.

x

当。=0时，不等式不成立，故

2

当a>0时，则x=l时，函数丁="2c-2依+3的最小值为17土a-上4a*-=3-&0,求得a.3.

4a

当a<0时，二次函数歹=62一26+3的图象开口向下，满足条件.

综上可得，实数。的范围为a..3或加0,

故答案为：(一。。,0)U[3,+8)

【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当x>0时,

不等式ax?-23+3”0能成立.即函数,f(x)=ax?—2ax+3的最小值大于零，而不是最大值大于零.

16.若f(x)=Ina+---b是奇函数，则a=______________,b=_____________.

1+x

【答案】①.一，##_0.5②.一in2##ln，

22

【解析】

【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到。+」-力0,即可求出。的值，求出函数的定义域，再

1+X

由奇函数的性质/(0)=0,求出b的值，再代入检验即可.

1

【详解】解：因为/(x)=lna+-6是奇函数,

1+x

・••/(X)定义域关于原点对称，

由a+^—#0,可得(l+x)(ax+a+l)H0,

所以xH—1且xw—乌聚，所以四=一1,所以4=一’,

aa2

所以函数的定义域为(F,—1)U(—1,1)U(1,M),

所以/(0)=0,即/(0)=ln—g+l—b=0,所以b=—ln2,

|I1-Y，则/(-x)=ln三：卜-/(x),符合题意;

此时f(x)=In——+-----+In2=In------

21+x1+x

故答案为：一二；—In2

2

四、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a>0,记关于X的不等式(x-4(x+l)<0的解集为尸，不等式,一1区1的解集为0.

(1)若。=3,求集合P；

(2)若Q=P,求。的取值范围.

【答案】⑴{x|-l<x<3}；(2)(2,+oo).

【解析】

【分析】

(1)直接解不等式得解;

(2)先化简集合产,0,再根据QaP,得到关于。的不等式得解.

【详解】⑴由(x-3)(x+l)<0,得尸={x|-1cx<3}；

(2)2=|x||x-l|<11=|x|0<x<2|.

由a〉0,得尸={x[—l<x<a},

又。1P，

所以。>2,

即。的取值范围是(2,+8).

18.计算求值：

⑴273x3Vh5xV12+(0.001)y+415-yl(Tt-4)2

(2)lg2xlg2500+8x(1g后)2+2嘀9+log,9-log,4

【答案】（1）32+JI

（2）9

【解析】

【分析】（1）根据指数塞的运算性质计算即可；

（2）根据对数的运算性质计算即可.

【小问1详解】

-1__________

解：2石x3VT？x姮+（0.001尸+4”一行

=32+兀；

【小问2详解】

解：1g2x1g2500+8x（1g后+2电9+噫9,log34

=2（lg2+lg5）+7=9.

19.某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入/?

f12

400%——x2,0<x<400

（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：火=2

80000,%>400

（1）将利润。（单位：元）表示为月产量£的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

--X2+300X-20000,0<x<400

【答案】（1）P=，2；

[60000-100x,x>400

（2）当月产量为300台时，总利润最大,最大利润为25000元.

【解析】

【分析】（1）分0WXW400与x>400两种情况，求解出利润户（单位：元）表示为月产量x的函数；

（2）分分0WxW400与x>400两种情况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.

【小问1详解】

当0Wx<400时，A=400x--x2,

2

1,1,

故尸=400%一一x2-20000-100%=——X2+300X-20000,

22

当x>400时，??=80000.

故尸=80000-20000一100x=60000-100x,

1,

牧p_b/+300%-20000,0<x<400

60000-1OOx,x>400

【小问2详解】

当0WxW400时，P=-1(x-300)2+25000,

故当x=300时.，P取得最大值，最大值为25000；

当x>400时，P=60000-100无单调递减，故P<60000-100x400=20000,

综上：当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.

X+77?

20.已知定义在R上的奇函数/'(x)=r—,weR.

x+1

(1)求用;

(2)用定义证明：/⑺在区间［1,+8)上单调递减；

(3)若实数。满足/(/+24+2)<—,求。的取值范围.

【答案】(1)加=0；(2)证明见解析；(3)(―8,—2)U(0,+8)

【解析】

【分析】

(1)由/(x)是定义在R上的奇函数，得到"0)=0,即可求解；

(2)根据函数的单调性的定义，即可证得函数/(x)在［1,+8)单调递减.

(3)结合/")在［1,+8)单调递减，转化为/+20+2>2,即可求解实数。的取值范围.

【详解】(1)由题意，函数/(x)是定义在R上的奇函数，可得/(0)=0,解得加=0.

(2)任取西,工2£口，+8)且王<工2,

则…小)=MrMr”告需产端得辞

XX

因9>西>1，故玉&>1，2~\>0,%；+1>0,X；+1>0,从而/（X2）-/（X1）<0,

即/(%)</(否)，所以函数/(X)在［1,+8)单调递减.

92

(3)由/+2a+2=(a+l)+121,又由/(2)=g,

2

因为/(/+24+2)<7结合〃x)在［1,+co)单调递减，可得/+2a+2>2，

即t?2+2a>0>解得a<-2或a〉0,

即实数。的取值范围(-8,—2)U(O,+S).

【点睛】含有的不等式的解法：

1、首先根据函数的性质把不等式转化为/(g(x))>/'(〃(x))的形式；

2、根据函数的单调性去掉,转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)和A(x)的取值应再外层

函数的定义域内；

3、结合不等式(组)的解法，求得不等式(组)的解集，即可得到结论.

21.我们知道，函数y=〃x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/.(x)为奇函数，有

同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点尸(。力)成中心对称图形的充要条件是函数

>=/(》+。)一6为奇函数.

7r-12

(1)判断函数/(幻=黄!为奇偶性，并求函数8(无)=-广币的图像的对称中心；

(2)类比上述推广结论，写出“函数y=/(x)的图像关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=/(x)为

偶函数”的一个推广结论.

【答案】(1)/(x)=|^■为奇函数，g(x)的对称中心是(LT)；

(2)见解析.

【解析】

2V-1

【分析】(1)先根据定义证明=■为奇函数，然后找出g(x),/(x)之间的关系，利用题目条件写

出g(x)的对称中心；

(2)仿照题干的写法写出相关命题即可

【小问1详解】

2X-1

f(x)=-~■为奇函数，证明如下，首先/(x)定义域为R,关于原点对称，又

2、+1

2~x-ll-2f2X-1

/(T)=-~x-=-/W-故/(X)为奇函数，

2~x+\1+2、2+\八

l+g(x)=l——Y—=Z21—］=/(x-1),故g(x)=/(x_l)-1,于是g(x+l)+l=/(x)

2V-1+12V-I+12A-1+1

是奇函数,由题意知,g(x)对称中心是

【小问2详解】

函数V=f(x)的图像关于x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=/(x+。)为偶函数.

22.若函数"X)的定义域为。，集合M