2023-2024学年内蒙古自治区高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年内蒙古自治区高一上册期末数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.命题“玉21,X2>1»的否定是()

A.Vx<1,x2<1B.3x>1,%2<1

C.Vx>l,x2<1D.3x<l,x2>1

【正确答案】C

【分析】根据特称命题和全称命题是互为否定，即可得到结果.

【详解】由题意可知，命题“大21,-N1”的否定是“VxNl,x2<1".

故选：C.

2.已知全集"=卜€凶》<4},集合4={1,2},5={2,4}，则(a4)=()

A.{1}B.(1,3)C.{1,2,3}D.{0,2,3,4}

【正确答案】D

【分析】利用补集与并集的定义计算即可.

【详解】因为U={xwN|x<4},所以。={0,1,2,3,4},

集合4={1,2},8={2,4},由补集的定义,可知44={0,3,4},

根据并集的定义，可得电/)={2,4}u{0,3,4}={0,2,3,4}.

故选:D.

商.a2b2

3.化简1L/一\4(a,b为正数)的结果是()

A.与B.C.a2b2D.ah

a2b2

【正确答案】C

【分析】由分数指数塞的概念和指数基的运算律计算.

^a2b2_(加)%方」了

=a2b2

［详解］I—,.、4

故选：c.

127

4.已知a^R则“cosa=——"是“a=2后万+——，后wZ”的()

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

27r

【分析】由题意可知a=2左4士一MwZ,再根据充分必要条件的概念，即可得到结果.

3

12万

【详解】因为cosa=-一,解得a=24万士一,AGZ,

23

127r

/.44cosa=——"是“a=2k兀+——,kwZ”的必要不充分条件.

23

故选：B.

5.已知事函数/&)=(。2+。一1卜42"-3(46火)在((),+；功上单调递减，则。的取值范围是

()

A.1或一2B.-2C.1D.(-2,1)

【正确答案】C

【分析】

利用塞函数定义得1+a—l=l，解得：。=1或。=-2,再分别代入检验函数的单调性，即可得

解.

【详解】由幕函数定义得/+a—l=l，解得:a=1或a=-2.

当。=1时,f(x)=x~4,利用幕函数性质知:/(x)在(0,+8)上单调递减；

当。=-2时，/(x)=X5,利用幕函数性质知：/⑶在(0,+8)上单调递增，不符题意舍去.

故选：C.

12

6.已知正数加，〃满足2'"X4"=2,则一+一的最小值为()

mn

A.3B.5C.8D.9

【正确答案】D

【分析】由指数幕的运算律得加+2〃=1,再由基本不等式求最值.

【详解】由正数机，"满足2'"x4"=2，即2"'X2?"=2"+2"=2，所以加+2"=1,

所以丄+2=(加+2〃)[丄+芍=5+2+网25+2、国至=9,

mn\mn)mnn

nmi

当且仅当一二一,即加=〃二一时，取得等号

mn3・

故选：D.

7.已知a=0.8°7,6=ln],c=1.2°$,贝ija,h,c的大小关系是()

2

A.c>a>bB.a>b>c

C.a>c>bD.c>b>a

【正确答案】A

【分析】根据函数单调性和中间值比大小.

【详解】根据指数函数的单调性可知，1=0.8°>0.8°7>0,

即1.2°-8>1.2°=b即。>1,由对数函数的单调性可知In丄<0,

2

即6<0,所以

故选：A

8.已知函数/(x)=/，的值域为R,则实数。的取值范围是()

\nx-2a,x>1

A.y,-4]B,(-4,1)C.[-4,1)D.(0,1)

【正确答案】C

【分析】分段函数值域为R,在x=l左侧值域和右侧值域并集为R.

【详解】当x?l,/(x)=lnx-2a,

.,.当时，f(x)>-2a,

♦."(x)的值域为R，...当x<l时，/(x)=(l—a)x+3值域需包含(-oo,—2a),

1—Q〉0

・・・上。，解得一

l-a+3>-2a

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

/、x2+x,x>0“、

9.已知/(x)T,且/(x)是奇函数，则下列结论正确的有()

S(X丿，x<u

A/(-1)=-2B.g(x)=-x2-x

C./[/(1)]=6D.g(x)=-x2+x

【正确答案】ACD

【分析】利用奇函数性质求g(x)，再代入自变量求A、C对应的函数值，即可判断正误.

【详解】由X<0,则-X>0,故/(-X)=(-x)2-X=X?一X=-/(x),

所以/(x)=g(x)=x—F,B错误，D正确；

故/(一1)=—1一/=—2,A正确；

/(1)=-/(-1)=2,而/(2)=4+2=6,故/[/(1)]=6,C正确.

故选：ACD

10.下列结论正确的是()

5兀

A.7是第三象限角

6

TT

B.若圆心角为一的扇形的弧长为兀，则该扇形的面积为兀

2

3

C.若角a的终边上有一点。(一3团,4优)(加。0),则cosa=—1

D.若角。为锐角，则角2a为钝角

【正确答案】AB

【分析】由象限角的概念，扇形面积公式，及三角函数的概念判断选项正误.

57r5冗

【详解】选项A中，-式的终边在第三象限，-二是第三象限角，A正确；

66

IT17r

选项B中，设半径为八则一•尸=无，所以厂=2,扇形面积S=-x—x22=兀，B正确；

222

选项C中，P到原点的距离为"(—3m)2+(4〃?y=5|同,当根〉0时，cos<z=-g,当m<0时,

3

cos«=-,C错误；

选项D中，a=30°是锐角，但2a=60°不是钝角，D错误.

故选：AB.

11.如图，某河塘浮萍面积y（m2）与时间f（月）的关系式为y=版，，则下列说法正确的是（）

A.浮萍每月增加的面积都相等

B.第4个月时，浮萍面积会超过25m2

C.浮萍面积蔓延到lOOn?只需6个月

D.若浮萍面积蔓延到1On?,20m2,40m?所需时间分别为人，々，厶，则6+/3=2,2

【正确答案】BCD

【分析】

根据图象求得的值，由此对选项进行判断.

【详解】根据图象可知，函数图象过点（1』）,（2,3）,

所以12•解得。=3,攵=一，所以夕=+X3'=3'T.

对于A选项，有y=3'T可知，函数为指数增长，所以A选项错误.

当，=4时，丁=3"|=27>25,所以B选项正确.

/=5时，丁=3"|=81；f=6时，jv=36-1=243>100,所以C选项正确.

依题意3'1=10,3,2-'=20,3,5-1=40，

所以％-1=log310,/2-1=log320,4-1=log340,

所以4=l+log310,%=1+log320,Z3=l+log340,

2

八+t3=2+log310+log340=2+log3400=2+log320=2+2log320=2t2,所以D选项正

确.

故选：BCD

本小题主要考查指数增长，考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算.

12.设xeR,［可表示不超过x的最大整数，例如：［-3.5］=-4,［2.1］=2,已知函数

e*1

——一则下列叙述中正确的是()

、丿1+e12

A.［/(切是偶函数B.1(x)是奇函数

C./(X)在R上是增函数D.［/(x)］的值域是{一1,0,1}

【正确答案】BC

【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的

性质可判断C选项；求出函数/'(x)的值域，利用题中定义可判断D选项.

【详解】根据题意知，/'(%)=———丄=-1一丄=丄一

'''1+e*2l+ex221+e”

［/⑴卜=。，［/(T)］=看-；=f

所以，［/(l)］H卜(T)］且⑴］T/(T)］，

所以，函数［/(x)］既不是奇函数，也不是偶函数，A错；

・・・/卜)=£-丄-丄、丄丄丄一/⑴

''l+e-r2ev(l+e-x)21+e*2'八

所以，函数/(x)为奇函数，B对；

因为函数y=1+e'为R上的增函数，则函数丁=」一为R上的减函数，

1+e

故函数/'(')=丄-一匚上的增函数，C对；

21+e

因为e、＞0,则l+e'＞l，所以，故一丄＜/(x)〈丄，

1+e22

所以，函数［/(X)］的值域为{-1,0},D错.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

ISVI一

■1*4---------

【正确答案】4

【分析】利用对数恒等式以及换底公式可求得结果.

ln2

【详解】解.e+^^=2+log416=2+2=4

1*4

故答案为.4

14.已知函数/")=喚3%+2*—6的零点为。，则a+eN),则〃=

【正确答案】2

【分析】根据函数的单调性及零点存在定理即得.

【详解】；函数/(x)=log3x+2、-6,函数在(0,+“)上单调递增，

25

又/(2)=log,2+2-6=log32-2<0,/(3)=log33+2-6=3>0,

ae(2,3),即〃=2.

故2.

15.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+oo)上是减函数，—1］=°，则不等

式/(log8x)>0的解集为_.

【正确答案】

【分析】根据函数的性质将原不等式转换为/(logs"〉/-,再结合对数函数的单调性求解

丿

即可

【详解】V/(X)是定义在R上的偶函数，且在［0,+00)上是减函数./(-1j=o,

•••/[；）=/（一;）=0.则不等式/（log8X）＞0等价为不等式/（logs》）＞/1；）即

|logsx|＜|^-1＜log8x＜即不等式的解集为2）.

故加

16.已知不等式被对任意的6],ye[2,3卜恒成立，则实数“的取值范围是

【正确答案】

【分析】由题可得。2-仔）+（斗令/=自/3，即a1"在1,3恒成立，再利

用二次函数的性质求最值即得.

【详解】•・•xyWaY+V对任意的工£口,6],yw[2,3]恒成立，

xy<ax2+y2,即QN-

令”八即在；,3恒成立.

3

Xp

因为。一丄]当公丄时取等号,

I2丿442

故[*）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

—一L兀，，3

17.已知一＜。＜乃，coscr-——.

25

（1）求sina的值;

sin（a一万）-2cos|-a|

（2）求,）I2丿的值.

sin（5^+a）+cos（^-«）

4

【正确答案】（I）-

（2）-4

【分析】（1）根据根据角度象限与正余弦平方和为1求解即可;

（2）根据诱导公式化简，再代入（1）中数据计算即可

【小问1详解】

13/4

因为一<。<乃，cosa=——,所以sina=-cos2a=—

255

【小问2详解】

34

由（1）得cosa=-1，sincz=—

sin（a-4）-2cos1%-a]..-

所以712丿——sma+2sina_sina_5

sin（54+Q）+COS（九一a）-sina-cosasina+cosa4_3

5-5

18.已知集合4=卜卜og3（4：2+15x）〉2}B-|x||x-777|>1,X€R}.

（1）求集合力；

（2）若p：xw/,q.xeB,且0是q的充分条件，求实数机的取值范围.

3

【正确答案】（1）A=\x<x<3>

4

1

（2）-00,——U[4,+oo）

4

【分析】（1）根据对数的真数大于0建立不等式求解即可；

（2）根据充分条件转化为集合的包含关系建立不等式求解即可.

【小问1详解】

A=^x|log3（4?+15x）〉2},

/--4X2+15X>9.

则（x-3）（4x-3）<0,

3

一<x<3，

4

’3、

4

【小问2详解】

B-卜卜-同>l,xG7?},

・•・由卜一加|21

可得x-m21或了一加〈一1,

丄X之机+1或XW"2-1,

/.5=|x|x>w+IgJcx<w-11.

p:xeA,q:xwB,且P是9的充分条件，

3

工加一123或加+1W—,

4

・••加24或次W——，

4

,实数机的取值范围是（一叫一;^[4,+00）.

19.已知函数/（x）=2x2+@XKOaeR.

（1）判断了（x）的奇偶性；

（2）当a=l时，用单调性的定义证明/'（X）在[2,T8）上是增函数.

【正确答案】（1）当a=0时，/（X）是偶函数；当时，/.（X）既不是奇函数也不是偶函数;

（2）证明见解析

【分析】（1）利用性质法判断函数的奇偶性，根据。的取值不同，奇偶性不同进行分类讨论；

（2）当。=1时，/（x）=2x2+丄，利用定义法证明函数的单调性.

【小问1详解】

解:/'(X)的定义域为(-8,0)U(0,+8).

当a=0时，/(x)=2x2,满足〃T)=/(X),/(x)是偶函数.

当时，f(x)=2x2+—/(l)=2+a,/(—1)=2—a,

则/(l)+/(-1)。0,所以/(x)不是奇函数；

又/⑴。/(T)，所以/(x)不是偶函数.

综上可知，当a=0时，/(x)是偶函数；当。工0时，/(x)既不是奇函数也不是偶函数.

【小问2详解】

解：当a=l时，/(x)=2x2+丄，任取e[2,+8),且玉</，

(1>(]、X7

1

则/(》2)—/(%)=2x；+-------2x；+—=2(x2-X,)(x2+Xt)+

\X2J\玉丿XlX2

(x2—X1)[2XIX2(XJ+x2)-l]

x}x2

xx>

因为24玉<%2，所以工2一玉>。，\24，2xjx2(x1+X2)-1>0,

所以「(工2)—/(玉)>0,即/(工2)>/(%).所以/(x)在[2,+00)上是增函数.

20.已知函数/'(X)、奇函数g(x)和偶函数”x)的定义域均为R,且满足/(x)=g(x)—〃(x),

若函数/(工)=优(a>0,且aHl).

(1)求g(x)的解析式；

(2)求“x)在R上的最大值.

【正确答案】(1)g(x)=2

(2)-1

【分析】(1)根据函数的奇偶性代入即可求解;

（2）根据指数的运算和均值不等式即可求解.

【小问1详解】

由/（x）=g（x）—厶（x）可知/（—x）=g（—x）—/z（—x）,

由g（x）为奇函数,〃（》）为偶函数,可知g（-x）=-g（x）,A（-x）=A（x）,

则/（-x）=-g（x）-〃（x）,

则g（x）J"/（-x）=子.

【小问2详解】

由⑴得小）=-〃力”―叽-XI,

'丿22

当a〉0,且时，优>0,则优+/*=优+丄

ax

当且仅当4=1，即x=0时取等号，

故’在R上的最大值为-1.

21.某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿

项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数y（单位：百万元）：

27x

乂=而二，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数为

（单位：百万元）.必=0.3x设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），两个生态项目

五年内带来的生态收益总和为》（单位：百万元）.

（1）将了表示成关于x的函数；

（2）为使生态收益总和V最大，对两个生态项目的投资分别为多少？

27x3x

【正确答案】（1）y=-------------+30（0<x<100）