湖北省恩施鄂西南三校2023-2024学年高二年级上册9月月考数学试卷（含解析）

鄂西南三校高二年级9月联考数学试卷

本试卷共6页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足Z0+3I）=2I,三为z的共轨复数，则t卜（）

AMRViorVionVio

251015

答案：B

/、2i2i（l-3i）31

解析：因为z（l+3i）=2「所以"T^=（i+3i）（「3i）=y+J，

故选：B.

B={x[g)Tx<3}，则AB=(

2.已知集合4={工|1083(31-2)<1})

A.dB.(-oo,l)

C（-8令D.(1,^)

答案：A

解析:♦；A={x|log3(3x-2)<1}=1.r|log3(3x-2)<log33j=|x|0<3x-2<3

故选：A.

3.如图，«B=l，A,B&1,C&/3,且Cw/,直线ABc/=M,过A5,C三点的平面记作/,则/

与月的交线必通过（)

5.%

A

A.点AB.点B

C.点C但不过点MD.点C和点M

答案：D

解析：•.•直线A3c/=M,过A8,C三点的平面记作/,.・.〃y=MC

7与夕的交线必通过点C和点M,

故选：D.

4.下列结论中正确的是()

A.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数

B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数小则这组数据的平均数改变，方差改变

222

c,一个样本的方差$2=*[(西-3)+(X2-3)+---+(X2O-3)],则这组样本数据的总和等于60

D.数据6,。2,4,…，4的方差为〃，则数据2%,2a2,2%,…,2%的方差为2M

答案：C

解析：对于A,直方图大体如下图:

必

I中位数平均数

由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，故A

选线错误;

对于B,设这组数据为西,尤2,…，%，则平均数为"=%+电+…+*',方差为

n

n

则减a后，平均数为"/一"+々一。+.一+玉一。=加_0,方差为#（x，「a-N）2

n—-----------------=-------------

nn

所以是平均数改变，方差不变，故B选项错误；

对于C,由题意，可知平均数为3,所以总和=3x20=60,故C选项正确；

n2

对于D,设数据知。2，。3,…外的平均数为乙则有尸=4+0~+&+…,方差为“自（”厂尸），

nM=-------------

n

设数据24,2。2,2%「一,2%的平均数为。，则0=2《+2/+24+・一+2%=2P,方差为

n

卫3⑷W（24-2P）故口选项错误.

nn

故选：C.

5.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作

一个半球（上）和一个圆台（下）的组合体，其中半球的半径为1米，圆台的上底面与半球的底面重合，

下底面半径为1.2米，若圆台的体积是半球的体积的2倍，则圆台的高约为（）

A.1.0米B.1.1米C.1.2米D.1.3米

答案：B

解析：由圆台的体积公式丫=,兀力（/?2+/?「+/），以及球体的体积公式丫=［应?2,

c14,3=；兀〃02+1x1.2+1.22),解得〃al.l,

2x—X—7TX1

23

•・•圆台的高约为1.1米.

故选：B.

6.如图所示，ABC内有一点G满足G4+G8+GC=0,过点G作一直线分别交AAAC于点O,E.若

11

AD=xAB,AE=yAC(xy¥0),则—+—=()

xy

C.2D.1

答案：B

解析：因为GA+G8+GC=0，所以G为ABC的重心,

所以AG=g(46+AC)=tAD+(l-t)AE=txAB+(l-t)yAC,

所以枕=g且(lT)y=；,所以1+g=3,

故选：B

7.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3X+1想等，其描述为：任一正整数x,如果是奇数就乘以3再加

1,如果是偶数就除以2,反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5,则进行这种反复运算的过程

为5f16-8-4f2-1,即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6,7,8,9,10中任取2

个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为()

135

A.—B.-C.—D.一

105106

答案：C

解析：按照题中运算规律，正整数6的运算过程为6-3—10—5—16—8—4—2-1,运算次数为

8；

正整数7的部分运算过程为7—22—11734—17—52—26—13—40—20—10,

当运算到10时，运算次数为10,由正整数6的运算过程可知，

正整数7总的运算次数为10+6=16；

正整数8的运算次数为3；

正整数9的部分运算过程为9—28—14-7,当运算到7时，运算次数为3,

由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为3+16=19.

正整数10的运算次数为6；

故正整数6,7,8,9,10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，

从正整数6,7,8,9,10中任取2个数的方法总数为：

（6,7）,（6,8）,（6,9）,（6,10）,（7,8）,（7,9）,（7,10）,（8,9）,（8,10）,（9,10）,共10种，

其中的运算次数均为偶数的方法总数为：（6,7）,（6,10）,（7』0）,共3种，

3

故运算次数均为偶数的概率为二，

10

37

故所求概率尸=1-而=而.

故选：C.

8.四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出

一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为3,中位数2B.中位数为3,众数为2

C.中位数为3,方差为2.8D.平均数为2,方差为2.4

答案：D

解析：对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,

故A错误；

对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错

误；

对于C,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,

平均数为：X=g（l+2+3+3+6）=3,

方差为/$1-3）2+（2-3）2+。5+（3-3）2+（65]=2.8,

可以出现点数6,故C错误；

对于D,若平均数为2,且出现6点，则方差s2>g（6-2）2=3.2>2.4,

则平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故D正确.

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设。>0,函数/(x)=-Gsin3x+cos@x在区间上有零点，则。的值可以是()

2

D.

3

答案：BD

解析：/'(x)=一百sins+coscox=2cos(<yx+

,„兀、c-,71(TtHCO7T

因为xe[o,5j,60>(),所以+§e[力,-y+§

要想/(%)=2cos5+今)区间(0微)上有零点，

।HCO兀兀E/q1

则---1—>一，解得Ct)>—1

2323

故①的值可以是一5，彳?；

63

故选：BD

10.在JWC中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c,则下列说法正确的是()

A.sinA>sin3是力>B充要条件

B.在.ABC中，若a=4垃,。=4百，4=45。，则3=60°

。若4=6()。，a=5,则一ABC面积的最大值为史百

4

D.若4。48>卜81，则443(7为钝角三角形

答案：ACD

解析：对于A：由正弦定理sinA>sinB,整理得所以/>B,由4>B,所以利用正弦

定理sinA>sin3,故sinA>sin3是力>夕的充要条件，故A正确；

对于B：在一ABC中，若。=40，。=4百，4=45。，利用正弦定理：-乙=_2一,所以sinB=@，

sinAsinB2

由于0。<3<135°,则8=60。或120。均符合题意，故B错误;

2

对于C：若A=60°,。=5,则4=〃+。2-2/?CCOSA，所以Z?+c?=/?c+25，

又片+?N2bc，所以bc+252%c,即AW25,当且仅当Z?=c=5时，等号成立,

故SABC=—Z?csinA<—x25x—=生,故c正确；

A%2224

对于D：AC-AB=hccosA=—+（----—>c2,®6r2+c2<Z?2，由于cosB="十’———<0»所以

22ac

TT

-<B<n,故J1BC为钝角三角形，故D正确.

2一

故选：ACD.

11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用。表示黄色骰子朝上的点数，用匕表示白色骰子朝上的点数，用

（a,力）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为C,记事件A="关于x的方程

f一（a+b）x+g（a+b）=0无实根"，事件5="。=4"，事件C="Z?<4”,事件。="时>20”，则（）

A.A与B互斥B.A与。对立

C.B与C相互独立D.B与。相互独立

答案：BCD

解析:由题意得。=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,

4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,

（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）｝,

包含36个样本点.

由△=（a+Z?）2-10（a+Z?）<0,得0<a+h<10,

所以A=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,（3,2）,

（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）｝,共包含30个样本点，^=｛（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4.6））,共包含6个

样本点，A与8不互斥，故选项A错误；

又0=｛（1,1）,（1,2）,（,3）,（2,1）,（2,2）,

（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（6,1）,（6,2）,（6,3））,

共包含18个样本点，。=｛（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6）｝,共包含6个样本点，所以A与D对立,

故选项B正确;

选项c,因为p（Bc）=a=-5-,p（B）=9=_L,p（c）=曳=L

3612366362

所以P（BC）=P（B）P（C）,故8与。相互独立，故选项C正确:

选项D,因为尸（BD）=」-,P（£））

所以P（3O）=P（3）P（。），故8与。相互独立，故选项D

36366

正确.

故选：BCD.

12.如图，在棱长为1的正方体ABCO—AAGR中，p为线段8a上一动点（包括端点），则（）

。C,

fl

A.三棱锥P-AB。的体积为定值;

B.当点尸与四重合时，三棱锥尸-A3。的外接球的体积为正万

2

C.过点P平行于平面4B。的平面被正方体AB。-AAG。截得的多边形的面积为如

2

D.直线PA与平面48。所成角的正弦值的范围为弓，坐

答案：BD

解析：对于A,因为且BBl=DD,,故四边形88QD为平行四边形，所以B。/BD,

（^^42平面480,如匚平面48。，，44，，；平面4灰）,

---PeBR,所以点尸到平面46。的距离等于点〃到平面AB。的距离，

110cl=/4分=3,

VV

■■P-AiBD=V'MBD=B-ADD,=1S"皿,AB=',故A错误；

对于B,当点P与B1重合时，三棱锥P-4BO的外接球即为正方体ABC。—的外接球,

正方体ABC。-A4G。的外接球直径为2/?=百，R=—，

故三棱锥外接球的体积为：兀7?3=乎兀，故B正确；

对于c,•••4月〃8且44=8,则四边形Age。为平行四边形，所以4。B。,

4C<Z平面ABO，AOu平面ABO,所以平面A8O,

又因为BR'平面A}BD,BCcBQi=B],5,C,4口u平面B}CD],

所以，平面6c2/平面ABO,

所以，过点P平行于平面AB。的平面被正方体ABC。—A4GR截得的多边形为BCP,

8cA是边长为3的等边三角形，该三角形的面积为乎*(0『=*，故C错误;

3V

点P到平面ABD的距离为h='匕Ji

t

G3

T

当点p在线段与。上运动时，因为A4=AA,

若P为4。的中点时，PA】上BQi,(/>4)疝“=；BQ[=乎

当点P为线段与。的端点时，(「4)皿=1,即苧

h亭乎’故。正确.

设直线尸4与平面A/D所成角为夕，sin^=--e

PA

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a=(l,2/)，b=(—l,T,3)，若皿，则/=.

答案：3

解析：因为a=(l,2,f)，b=(-l,-4,3)，且

所以“2=1x(—l)+2x(T)+3r=0,解得：t=3.

故答案为：3.

77"TT

14.三棱锥A-BCD中，AB=AC=A£>=2,NBAD=—,4BAC=g则______

23

答案：-2

7tuuuuuti

解析：由题意得NA4O=5,故A8.AD=0，

ABCDAB(AD-AC)=AB-AD-AB-AC

71

——2x2xcos—=-2,

3

故答案为：-2

15.分子式CH,是有机化合物甲烷(农村沼气的主要气体)，它作为燃料广泛应用于民用和工业中.近年来

科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.深入研究甲烷，趋利避害，成为科学

家面临的新课题.如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点A,8,。,。，

碳原子位于正四面体的中心。，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同

(OA=OB=OC=OD)、键角相等(NAQB=NAOC=NAOD=).请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值

为.

A

解析：如图:

2

设正四面体的棱长为“，正三角形BCD中，BH=-x

3

正四面体的高A”=

设Q4=R，则&-中,

OB2=BH2+HO2=BH2+(AH-AO)2,

即心亭）?+咯一正

解得R=a,即OA=OB=OC=0D=R=a,

44

则,AQ?中，

O^+o4-A^J

cosZAOB=

2xOAxOB3

即甲烷碳氢键的键角的余弦值为

3

故答案为：--.

3

16.4ABe中，3C=2百，AC=3,A=2B,。是BC上一点且ADJ.4C，则.43。的面积为

答案:

10

解析：-8C=2百，AC=3,A=2B,

•・・在_钻。中，由正弦定理匹=电二可得：2叵=3=—豆1—

sinAsinBsinAsinB2sinBcosB

••・解得：cosB=—»可得：sinB=A/1-COS2B=»

33

/.cosA-cos2B=2cos2-6-1=——1，

3

A"AC,

.•.sinNBAO=sin(A-1]=-cosA=2,可得：cosZBAD=Vl-sin2ZBAD=-

12；33

••=，皿（㈤。+5）=｝亭+亭＜乎=等,

在一ABC中，由余弦定理可得：32=AB2+(2>/3)2-2AB-273--

解得：AB=1,或3.

Afi=AC=3,A=2B,可得：8=C=gA=?,可得：BC=1学+号=30，与BC=2百矛盾,

+力小划ABADf俎fABsinB372

.•.AB=1，..・在AB£>中由正弦定理---------=-----,可得：AD=----------=

sinZADBsinfisinZADB5

:.S.Rn=-ABADsinZBAD=-xABxADx-=—.故答案为立♦

ABD2231010

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17已知向量a=(CO&X,COSL¥),b=V3siru,-cosxj,函数/'(x)=a2+l.

(1)求函数/(x)的值域和单调递增区间；

(2)当〃£)=一±,且一季<£<1时，求sin(4a-的值.

13兀，兀，

答案：(1)值域是一及一二+攵兀，彳+2兀(ZEZ)

63

24

(2)

25

(1)

/(x)=ab+i=VSsinxcosx-cos2x+1

—sin2A：--cos2x+-=sinf2x--1+-,

222I6j2

ITITITa

当2x—=2kn+—,kGZ,即x=E+—,ZeZ时,/(x)取到最大值5；

623

jr7TTT/(x)取到最大值-；；

当2x—=2kn—,kGZ,即x=kit——,kGZ时,

626

13'

所以函数/(x)的值域是

2,2；

JTITIT7T7T

令——+2kn<2x——<—+2kit,keZ,解得---1■攵兀WxW—+kit.keZ,

26263

ITJT

所以函数/(x)的单调增区间为+®，keZ.

(2)

因为/(a)=sin|2a——j+—=——,可得sin2a——\=——,

L,、，兀兀E兀C兀兀

因为——<a<一,则——<2a——<一,

63262

可得cos(2a一弓=^l-sin2^2a-^=：,

所以sin(4a_]J=sin2(2a-^J=2sinf2a-^Jcosl2a--^U-2x^x1=.

18.如图，在四棱柱ABC。一A8£R中，底面是边长为1的正方形，侧棱AAJ•平面ABC。，胴=2,

“是。。的中点.

(1)求证：平面AMC；

(2)证明：AC15£>,；

(3)求三棱锥3-M4C的体积.

答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)-

6

(1)

证明：设ACBD=O,连接QM.

在四棱柱ABC。—4gG。中，A3CD是正方形,

所以。为中点.

又因为M为。乌中点，所以OMBR.

因为OMu面AMC,BDt<z面AMC，

所以8。〃面AM。.

(2)

证明：在四棱柱ABC。—AgC12中，。。_1面4股》.

因为ACu面ABC。，所以。ALAC.

在正方形A3CO中，.•.BZ5_LAC.

又因为DRcBD=D,DD]u面BDD],8。u面BDD,,

所以AC_L面BOR.

因为BRu面8。，，所以AC，6。.

(3)

在四棱柱ABCD-4B£R中,

因为地>_1_面438,所以MZ)是三棱锥M—ABC的高.

所以^B-MAC-^M-ABC-T^A4BC'MD=—X—xl><lxl=—•

JJ2O

19.甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售,

不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售,

不合格的作废品处理.已知甲加工的零件首次质检的合格率为3,重新加工后再次质检的合格率为;，乙

42

加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为：2，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙

两人各加工1个零件.

(1)求这2个零件均质检合格的概率；

(2)若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低

于100元的概率.

7

答案：(1)—;

(2)—.

18

(1)

(I)设事件A表示“甲加工的零件质检合格”，事件A表示“甲加工的零件首次质检合格”，事件&表示“甲

重新加工的零件再次质检合格”；设事件8表示“乙加工的零件质检合格”，事件均表示“乙加工的零件首次

质检合格”，事件当表示“乙重新加工的零件再次质检合格”•

由题意知，A=4_(44)，B=BigBJ，且事件A与再42,B］与瓦区互斥，事件A与B,A与A2,

B］与B2相互独立.

则P(A)=P(4)+P(A4)=P(4)+P(A)P(A2)=J+[I_]]X；=(,

4k4/Zo

28)=*g)+/耳鸟)=网片)+44/(层)=g+(l—,卜,=,

787

所以尸(AB)=P(A)P(8)=耳x§=§.

(2)

(ID设事件M表示“这2个零件的价格之和不低于100元“，则M=(A月)°(西)5至),

_3(X、1

p(AB)=P(A)[i-^(s)]=-xh--j=-)

P(词=[1—P(A)]P(A)W21

x—=——

312

11717

则P(M)=—+—+-

12129T8

20.在一ABC中，三个内角AB,C所对的边分别是a,仇c,AO=2OC，BD=2,且

(a—c)sin(A+3)=(a—〃)(sinA+sinB).

(1)求8；

(2)当2a+c取最大值时，求ABC的面积.

答案：(1)«=1

(2)—

2

(1)

因为A+B+C=JT,所以(a-c)sin(A+B)=(a-c)sinC=(a-Z?)(sinA+sinB),

由正弦定理可得(a-c)c=(a-b)(a+b),整理得到：a2+c2-b2=ac，

a2+c2-h2

所以cosB=

lac2

而3e(0,?i),故8=W；

(2)

因为AO=2OC，故BO—BA=2(BC—BO),

1?2144

故3。=上BA+WJBC,所以3。=4=-BA+-BC+-BABC,

33999

故36=/+4/+46rccos—=c2+4/+2QC,

整理得到(2Q+C『=36+2ac<36+

故2a+cV4j5,当且仅当2a=c,即a=J5,c=2百时等号成立,

故此时，对应的的面积为=

222

21.2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支

部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，

结果认知程度高的有机人，按年龄分成5组，其中第一组：［20,25),第二组：［25,30),第三组：［30,

35),第四组：［35,40),第五组：［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图，己知第一组有10人.

（1）根据频率分布直方图，估计这，"人的第80百分位数；

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者.

①若有甲（年龄36）,乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，

再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和1■，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为

43和1,据此估计这m人中35〜45岁所有人的年龄的方差.

答案：（1）37.5

3

（2）①丁②10

（1）

设这加人的平均年龄为了，则

T=22.5x0.05+27.5x0.35+32.5x0.3+37.5x0.2+42.5x0.1=32.25（岁）.

设第80百分位数为。，

方法一：由5x0.02+（40—a）x0.04=0.2,解得。=37.5.

方法二：由0.05+0.35+0.3+（〃—35）x0.04=0.8,解得。=37.5.

（2）

①由题意得，第四组应抽取4人，记为A,B,C,甲，第五组抽取2人，记为。，乙.

对应的样本空间为：Q=｛（A,3）,（A,C）,（A,甲），（A,乙），（A,。），（8,C）,（B,甲），（B,乙）,

（8,0）,（C,甲），（C,乙），（C,。），（甲，乙），（甲，D）