陕西省宝鸡市陈仓区2023届高三二模文科数学试题（解析版）

2023年陈仓区高三质量检测（二）

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1已知集合1小-12<。},吟*2,1,3,5,7},则AB=「

A.{-2,1,3,5}B.{-4,-2,1}C.{-4,-2,1,3}D.{1,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】通过解一元二次不等式得集合4再求交集即可.

【详解】因为A=—4x—12<o}={可―2<x<6},B=4,—2,1,3,5,71,

所以4B={1,3,5},

故选：D.

2.已知复数z满足（2+i）z+3i=4（i是虚数单位），则忖=（）

A.73B.75C.3D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法法则及复数的模长公式即可求解.

A

【详解】由（2+i）z+3i=4,得z=

斫以z=4-3i（"3i）x（2-i）8-4i-6i+3i?5-lOi

~2+i（2+i）x（2-i）4-2i+2i-i25，

故选：B.

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跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列说法错误的是（）

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至H月波动性更小

【答案】A

【解析】

【分析】根据折线图，结合选项即可逐一求解.

【详解】由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A不正确；

月跑步里程最大值出现在10月，故B正确；

月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月,

故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；

1月到5月月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.

故选:A.

4.在等差数列｛4,｝中，a6,是方程%2-8%—17=0的两个根，则｛%｝的前23项的和为（）

A.-184B.-92C.92D.184

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解.

【详解】%,，%是方程V—8%—17=0的两个根，所以4,+。18=8，所以｛%｝的前23项的和

S_23（%+&3）_23（4+阳）_92

23—2-2-,

故选:C.

5.已知少是两个不重合的平面，且直线则“a，尸”是“〃/，”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，

再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.

【详解】解：由若则可能平行或/<=分，充分性不成立；

由/La,////?,由面面垂直的判定知a，/?,必要性成立.

所以“”是“〃/分”的必要不充分条件.

故选：B.

6.若双曲线根>0）的渐近线与圆/+9―6y+l=0相切，则机=（）

m

A正B.72C.述D.2夜

42

【答案】D

【解析】

【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.

丫2V

【详解】双曲线>2一、=i（〃>o）的渐近线为y=土二，

mm

即x±2y=0,由于对称性不妨取x+my=0,

圆V+y2—6y+l=0.即尤2+（,一3）2=8,

所以圆心为（0,3）,半径厂=2立，

依题意圆心（0,3）到渐近线x+/孙=0的

距离d=J珈=2/,解得m=2四或加=一20（舍去）.

Vl+m2

故选:D.

7.设a=log30.9,沙=0.4°8,C=2°2,则。，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】利用指对数函数的单调性与图像性质及与特殊值（0,1）的比对，易知三者的大小关系.

【详解】由于y=log3X在（0,+8）上单调递增，故log30.9<log31=0,即a<0；

由于y=0.4'在R上单调递减且y=0.4*〉0,故0<0.4°-8<0.4°=1，即0<6<1；

由于>=2工在R上单调递增，故2°2>2°=1，即c〉l；

所以Q

故选：A.

8.已知函数/（x）=G：2+Zdnx的图象在点（1,/。））处的切线方程为y=3x—1.则a—匕的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】对函数求导，再求出％=1处的切线方程，即可求得a力；

【详解】解：函数/（%）=加+句nx,则r（x）=2ax+2,函数的图象在点处的切线方

程为y=3%—1,

/⑴=2〃+匕=3a=2

所以<解得〈7/则a—b=3.

/⑴=a=3xl-l=2b=-l

故选：C.

9.已知函数,=作也（。尤+2）（4>0,。>0,冏<兀）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为（）

B.y=4sin[2x+]X71D.y=4sin(2x—/

C.y=4sin2~3

【答案】A

【解析】

2兀

【分析】由图象确定4=4以及周期，进而得出。=不=2,再由/4得出9的值.

【详解】显然A=4,因为人T=53兀+7二i=7。T，所以丁=兀，所以。=2臼7r=臼2冗=2,

212122Tn

(7117171

4,得4sin2x---+0=4,所以-----(p—2左兀~\—,k£Z,

\12JJ62

n兀：II27r

即夕=2kliH——,k£Z.因为1@V兀，所以/二§，

所以/(%)=4sin2x+

故选：A.

10.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，

副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之"，如图是该算法的程序框图，如果输入

〃=99,b=231,则输出的〃是（）

A.23B.33C.37D.42

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】根据程序框图，输入的。=99,5=231,因为出b,且所以＞=231—99=132；第二

次循环，6=132—99=33；

第三次循环，4=99—33=66；

第四次循环，。=66—33=33,止匕时a=Z?=33,输出a=33.

故选：B

n+l+aa

11.已知5,是等比数列｛a,J的前〃项和，JISn=2+a,则01a2+^2%+wu~（）

223—80213-8c220-l「225-8

A.---------B.---------C.---------D.---------

3333

【答案】A

【解析】

【分析】由％与S”的关系求出数列｛4｝的通项公式，推导出数列为等比数列，确定其首项和公比,

结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.

【详解】因为S"=2向+a,所以％=因=4+1,g=S2-S]=（2^+a）-Q2+a）=4,

43

a3=S3-S2=（2+fl）-（2+fl）=8,

又｛4｝是等比数列，所以蜡=%/，即42=8（4+a）,解得a=—2,所以S“=2用—2.

n+1

当沦2时,an=Sn-=（2-2）-（2"-2）=2\又％=2满足4=2",

所以，。"+2。“+1=吐=二=4,故数列｛%+1。“｝是公比为4,首项为qa,=2x4=8的等比数列，

4+4a”2

斫以80-*223-8

叫以弓。2+42%++«io«ii=1-4=^—'

故选：A.

12.己知点尸为抛物线C：/=8x的焦点，过点产作两条互相垂直的直线12,直线4与C交于A,B两

g

点，直线乙与。交于，E两点，则|43|+/。£|的最小值为（）

A.64B.54C.50D.48

【答案】c

【解析】

Q

【分析】利用韦达定理表示出弦长|AB|=8+至和。曰=8+8左2,利用基本不等式可求最小值.

【详解】抛物线C：产=8%的焦点-2,0),

因为所以直线4，6斜率存在，且均不为0.

设直线4的方程为丁=左(％-2),B(x2,y2),

y2=8x

由＜得上2^2—4（k2+2）龙+4左2=o,

y=k（x—2）

而I、I4（二+2）8优2+1）&

所以玉+々=——2一所以=玉+x,+4=~~~-=8+—，

kkk

Q1

因为所以将|AB|=8+记中的左替换为—1可得|。曰=8+8左2,

所以|阴+3。同=8+5+^（8+8/）=26+j+18父226+21-1842=50,

当且仅当微=18左2,即左=±/时取等号.

n

故|/冏+京。用的最小值是50.

故选:C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知向量a=(-4,-3),Z?=(—2,”2—1),若(a+2b)_l_a,贝1」机=.

475

【答案】—##7-

66

【解析】

【分析】根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.

【详解】解:因为a=(T,—3)力=(—2,机—1),

所以a+=(―4,—3)+(T,2加一2)=(-8,2m-5),

因为(a+2")±a,

所以(a+2Z?}a=32—6m+15=0,解得机=:

47

故答案为：—

6

3

14.己知角戊的终边经过点(2a+l,a—2),且coscr=—《，贝”山(2023兀-2£)=

24

【答案】—##0.96

25

【解析】

4

【分析】根据三角函数的定义列出求解出。=-2,得到sina=-不，结合诱导公式和正弦二倍角公式即可

计算得到答案.

2a+13

cosa-।

【详解】由题意知，r2a+1a2+l),

a+\5，

所以9(片+1)=5(2。+1)2,

化简得114+2()a_4=0

,2

解得a=-2^a=—

又因为2a+K0,即〃V—,所以〃=-2,

2

所以角a的终边经过点(—3,T),所以sina=—1

4324

所以sin(20237i-2a)=sin2a=2sin(7coscr=2xX

25

24

故答案为：--

25

15.若/(%)是定义在R上的奇函数，且〃%+1)是偶函数，当0<x<l时，/(x)=log3(x+l),则

163

【答案】lTog32

【解析】

【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得了(力的最小正周期，结合对数的运算性质可得答案.

【详解】解：由/(九)是定义在R上的奇函数，/(％+1)为偶函数,

可得〃T)=—〃力,/(-x+l)=/(x+l),即/(—x)=〃x+2),

所以/(x+2)=_/(X),可得，(尤+4)=—〃x+2)=/(x),

则了(%)的最小正周期为4,

当0<%<1时，/(x)=log3(x+l),

16.已知球。的表面积为12兀，四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的

体积最大时，该四棱锥的高为.

【答案】1

【解析】

【分析】先得到圆的内接四边形中，正方形面积最大，从而得到当四棱锥的高右一定时，要使体积M最

大，则要底面四边形面积S最大，此时四棱锥的底面为正方形，表达出

2

V=—-h3+2h,利用导函数得到其单调性，从而得到极值和最值情况，得到答案.

3

【详解】首先说明圆的内接四边形中，正方形面积最大，过程如下：如图1,四边形ABCD为圆内接四边

形，面积为S,设圆的半径为r,

由二角形面积公式得：S=sAMB+s^CMB+S+s^CMD

=-AMMBsinZAMB+-MCMBsinZCMB+-AMMDsinZAMD+-CMDMsinZCMD

2222

=^AM-MBsin0+^MC-MBsm(7i-0)+^AM-MDsin(7i-0)+^CM-DMsind

=-AM-+-MC-MBsmO+-AM-MDsrnO+-CM-DMsinO

2222

=1(AM+CM)(MB+MD)sin6»=1ACB£)sin61,

因为ACK2r,BD<2r,0<sin3<1f

11,

所以5=54。8。$指。43（2厂）晨1=2产，

当且仅当为圆的直径且AC人9时，等号成立，

此时四边形ABCD为正方形，

即半径为r的圆内接四边形中，正方形面积最大，最大面积为2r2,

如图2,设球的半径为A,则4兀火2=12兀，解得：Rf,

该四棱锥O-ABCD底面积为S,四棱锥的高为/?,则其体积为V=1S/z,

3

当人一定时，要使丫最大，则要S最大，此时四棱锥的底面A3CD为正方形,

因为。4=尺=百,OE=/z,由勾股定理得：AE=ylo^-OE2=^-h2-

所以S=g（2AE）2=2（3—/?）,y=|s/z=|（3-/I2）X/Z=-|/Z3+2/I,

所以V'=—2/?+2，当l</z<6时，V'=—2/?+8<0，

当0＜为＜1时，V'=—2/?+8＞0,

2_

即v=—§川+2丸在0<为<1单调递增，在1Vzz<6上单调递减,

V=-|川+2/2在。=1时取得极大值，也是最大值.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.记一ABC的内角A,3,C的对边分别为a,4c,如£=,2—1,sinB=-.

tanA3

（1）求一A?C的面积;

(2)sinAsinC=——，求从

3

【答案】(1)—

8

⑵I

【解析】

【分析】(1)利用切化弦，结合两角和差正弦公式可化简己知等式得到sinC=°2sinAcos3,利用正弦定

理角化边可得accos3=l,利用同角三角函数关系求得COSA后，可得“C的值，代入三角形面积公式即可得

到结果；

h191

(2)利用正弦定理可求得—j=Z，代入sin3=—即可求得结果.

sin2B43

【小问1详解】

⑦11'_sin5cosA_02一1，...sinBcosA=(c?—l)sinAcosB=c1sinAcosB—sinAcosB,

tanAsinAcosB'7

即sinBcosA+sinAcosB=c2sinAcosB，・•sin(A+5)=sinC=c2sinAcosB,

由正弦定理得：c=ac2cosB，即改cosB=l,，

/——7^—2行„13372

2n

cosB=y/l—sinB=-----，则QC=----------=—尸二-----，

3cosB2V24

1

,c_.D_13721V2

..SARC=-acsinB——x-----x-=-----

ABC22438

【小问2详解】

由（1）知：ac—之也^；

4

3枝

bacb2ac49

由正弦定理知：则一'

sin3sinAsinCsm'BsinAsmCJ24

-----=一,又,sinB=—,b——sinB=-.

sinB2322

18.盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购

买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒

内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400

人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占工；而在

3

未购买者当中，男生、女生各占50%.

(1)完成下面的2x2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关?

女生男生总计

购买

未购买

总计

(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠

券，记X为抽到的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

,一，，“2n(ad—bc)2…,

参考公式：K=7-7--7-八，其中〃=a+6+c+d.

^a+b)(c+d)^a+c)[b+d)

参考数据:

尸（1「泊)0.100.050.0250.0100.0050.001

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)表格见解析，有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关

(2)分布列见解析，2

【解析】

【分析】(1)完成下面的2x2列联表，计算得至UK?。9.428,对比得到答案.

(2)X的所有可能取值为1,2,3,计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【小问1详解】

女生男生总计

购买8040120

未购买140140280

总计220180400

400x(80x140-40x140)22800

根据列联表中的数据，可得K2=X9.428，

220x180x120x280297

因为9.428>7.879,所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关.

【小问2详解】

8040

抽取6人中，女生有：6x------=4（人），男生有:6x=2（人）.

80+4080+40

X的所有可能取值为1,2,3,

「2cl1R031

尸（X=l）=芝尸（X=2）=岩=:，P（X=3）=年=，

所以X的分布列为:

X123

131

P

555

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形A3CD是正方形，PD=AD=1,平面A3CD,点E是

棱PC的中点，点歹是棱PB上的一点，且EE工PB.

（2）求点尸到平面石DB的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵正

9

【解析】

【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，即可由线面平行的判断求证,

（2）根据垂直关系以及相似求解长度，即可利用等体积法求解.

【小问1详解】

连接AC交于G,连接EG,如图所示.

因为四边形A3CD是正方形，所以G是AC的中点，又点E是棱PC的中点,

所以EG是△P4C的中位线，所以B4//EG,

又平面£DB,£Gu平面£DB,所以B4//平面£/组.

【小问2详解】

因为平面A3CD,DC,5Cu平面A3CD,所以PDYBC,

又BCLCD,CDPD=D,CD,P£>u平面PC。，所以BC上平面PCD,

又PC,DEu平面尸CD,所以PCL5C,DELBC.

5

在△PDC中，PD±DC,PD=CD=1,E是PC的中点，所以PE=EC=DE="，DE工PC,

2

又DELBC,BCcPC=C,BC,尸Cu平面P5C,

所以DE1平面P5C,所以OE是三棱锥D—3石尸的高.

在,PBC中，PCLBC,PC=垃,BC=1,所以尸8=6,

pcBPBC

所以RtBCPRtEFP,所以一=—=—

PFEPEF

得PF=*@=叵,EF=区旦

亚BF=^

BP3BP63

VD-BEF=]SBEF-DE=~x-xBFEFDE=—

3218

b_________

在ABDE中,BD=O，DE=J，BE=yJEC2+BC2=

2

所以BD?=DE?+BE?，所以。ELBE，

所以S=-DEBE=—

BDE24

设点尸到平面EDB的距离为人所以/.“丸=走丸=%8所=工，解得丸=冬8,

r-DL)tL3DL)tL]2D—DiLr]89

即点F到平面EDB的距离为空.

9

/

22

20.已知椭圆E：——+-^-―过A1,,BV3,两点.

a2b2V

（1）求椭圆E的方程;

（2）已知。（4,0）,过P（LO）的直线/与E交于M，N两点，求证：粽=需.

22

【答案】（1）—+^=1

42

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）将两点坐标代入，求出椭圆方程;

（2）依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明。尸平分NMQN,可得结

论.

【小问1详解】

由题知，椭圆E过A1,,B

13,

二+寿=1

所以《。:，解得片=4，b2=2,

--1--=I

[a22b2

22

所以椭圆E的方程为土+匕=1.

42

【小问2详解】

证明：当直线/的斜率为0时，直线/的方程为y=0,所以M（2,0）,N（—2,0）或M（—2,0）,N（2,0）.

所以可闻

当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为1=%+1,以（玉,另），N（%2，%），

2i=i

由＜42一，得(m2+2)J+2my—3=0,

x=my+\

si2m3

所以i=一卡'2-m‘

A=（2根）2+12（巾2+2）=16m2+24>0,

所以《照=台，所以3。+“2=己+亡=而*+意方

%（冲2-3）+%（冲1—3）2阳1%-3（%+%）

（冲「3）（阳2-3）疗％%-3m（％+%）+9

2m

=0,

咋一尸叱离产

\MP\sinNM0P|NP|_sinZNQP

所以QP平分NMQN,因为

\MQ\sinZMPQ|NQ|-sinZNPQ

幽_凹\MP\_\MQ\

m

\MQ\\NQ\,函一师,

21.已知函数〃x)=Inx+(y(aeR).

⑴讨论〃x)的单调性；

3/7-1

(2)当a>l时，证明：/(%)>------.

''2a+2

【答案】⑴"％)在仅,&)上单调递减，在(6,+可上单调递增

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，利用导数的正负，结合对。的讨论即可求解，

(2)求解/(x).=/(G)=glna+g,将问题转化为证明lna+/^—2>0,

构造函数

4

g(x)=lnx+------2,利用导数求解最值即可求解.

x+1

【小问1详解】

“X）的定义域为（0,+⑹，/,（x）=--4=^-r£

XXX

当aWO时，制勾>0对任意的x«0,y)恒成立，所以“力在(0,+。)上单调递增;

当a>0时，令/'(x)<0,解得0<x<&；令#^)>。，解得x>后,

所以了(%)在(0,6)上单调递减，在(G,+8)上单调递增.

【小问2详解】

由(1)可知，当时，/(x)mm=/(^)=ln^+-^7=1lna+1

3/7-1113/7-14

要证〃%)>------,只需证一lna+—>-----,即证ln〃+-----2>0.

2。+2222cl+2a+1

令g(x)=lnx+/——2,x>\,所以~——r=>0,

''x+1x(x+1)-%(%+1)-

AQ1

所以g(x)在(1,+8)上单调递增，所以g(x)>g⑴=0,所以lna+---2>0,所以/'(x)>=二不.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系xOy中，以。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C1的极坐标方程为

。后("R).

(1)求直线G的一个参数方程；

(2)在极坐标系中，方程夕=3—3sin，表示曲线。2,若直线G与曲线G相交于加，。，N三点，求

线段的长.

1

X——t

2

【答案】(1