河北省保定市竞秀区乐凯中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末考试模拟试题含解析

河北省保定市竞秀区乐凯中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末考试模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在RtAABC中NC=90。，AC=6,BC=8,则sinNA的值（）

335

D.

5543

2.一元二次方程f—x—i=o的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

3.二次函数y=ax2+"+c的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值y>0时，x的取值范围是（）

X-3-2-1012

y-12-50343

A.0<x<2B.xVO或x>2C.-l<x<3D.x<-l^x>3

4.如果△ABCs/XOER且对应边的AB与OE的长分别为2、3,则△ABC与厶力七厂的面积之比为（）

A.4:9B.2:3C.3:2D.9:4

5,二次函数y=—/+2x在下列（）范围内，y随着工的增大而增大.

A.x<2B.x>2C.x<0D.x>0

6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a/0）图象的一部分如图所示，给出以下结论：①abc>0；②当x=—l时，函

数有最大值；③方程ax2+bx+c=0的解是\=1,X2=-3;④4a+2b+c>0,其中结论错误的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平

行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.把两个大小相同的正方形拼成如图所示的图案.如果可以随意在图中取点.则这个点取在阴影部分的概率是（）

9.由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，连续两次上涨"％后，

售价上升到每千克40元，则下列方程中正确的是（）

A.23（1+a%）2=40B.23（1—a%y=40

C.23（1+2a%）2=40D.23（1-2a%）2=40

10.方程x2-9=0的解是（）

A.3B.±3C.4.5D.±4.5

11.两个全等的等腰直角三角形，斜边长为2,按如图放置，其中一个三角形45。角的项点与另一个三角形的直角顶点

A重合，若三角形ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E、F,

设BF=x，CE=V则>关于X的函数图象大致是（）

k

12.己知关于x的函数y=k(x+1)和丫=--(k^O)它们在同一坐标系中的大致图象是()

x

A+B/小

c+，D丿

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，正方形45co内接于。0,。。的半径为6,则AB的长为__________

◎

三14.如图，OO的直径43与弦CD相交于点'AB=5,AC=3,则tanZADC=______.

15.如图，平行四边形ABCD0分别切于点E,F,G,连接CO并延长交于点H,连接AG,AG

与HC刚好平行，若AB=4,AO=5,贝!|。的直径为______.

AHF_________n

冃G

16.分解因式：cr-9=_________.

17.如图，在HAABC中，NC=90°,AC=8,8C=6,点尸是A3上的任意一点，作PD丄AC于点。，PE1CB

于点E,连结OE,则。E的最小值为_______

18.在平面直角坐标系中，点尸（2,-3）关于原点对称点P的坐标是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）在AABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于点D,BD：DC=2；1,BC=7.8cm,求点D到AB的

距离.

20.（8分）五一期间，小红和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石

塔的高度产生了浓厚的兴趣.小红进行了以下的测量：她到与西塔距离27米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B

的仰角为60。，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30。.那么你能帮小红计算西塔BD和大楼AC的高度吗？

21.（8分）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC,以AE为直径的。0与边CD相切于点D,点B在。0

上，连接0B.

（1）求证:DE=0E；

（2）若CD〃AB,求证：BC是。。的切线；

22.（10分）如图，AABC是等边三角形，顺时针方向旋转后能与ACBD重合.

A

(1)旋转中心是,旋转角度是___________度，

(2)连接OD,证明：为等边三角形.

23.(10分)如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高度C

处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60。和45。.求隧道AB的长

（导1.73）.

24.(10分)如图，点C在。。上，联结C0并延长交弦AB于点D,AC=BC＞联结AC、0B,若CD=40,AC=206.

(1)求弦AB的长；

(2)求sin/ABO的值.

25.(12分)若关于x的一元二次方程(1)f-4x+1=0方有两个不相等的实数根.

⑴求”?的取值范围.

⑵若加为小于10的整数，且该方程的根都是有理数，求加的值.

26.某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月

增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同.

(1)求进馆人次的月平均增长率；

(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆

能否接待第四个月的进馆人次，并说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】由勾股定理可求得AB的长度，再根据锐角三角函数的定义式求得sinNA的值.

【详解】•••AC=6,BC=8,/.AB=AC2+BC2=A/62+82=10»

BC84

.•・sinNA=-----=—=—

AB105

故选B.

【点睛】

本题考查勾股定理和锐角三角函数的综合应用，根据求得的直角三角形的边长利用锐角三角函数的定义求值是解题关

键.

2、A

【分析】把a=l,b=1,c=-l,代入△=〃_4ac，然后计算』，最后根据计算结果判断方程根的情况.

【详解】

A/?2-4ac=l+4=5

•••方程有两个不相等的实数根.

故选A.

【点睛】

本题考査根的判别式，把a=l,b=-l,c=-l,代入△=〃一4收计算是解题的突破口.

3、C

【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线户1,则抛物线的顶点坐标为(1,4),所以抛物

线开口向下，则抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,1),然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可.

【详解】•••抛物线经过点(1,3),(2,3),

.•.抛物线的对称轴为直线X=-=1,

2

•••抛物线的顶点坐标为(1,4),抛物线开口向下，

•.•抛物线与X轴的一个交点坐标为（-1,1）,

...抛物线与X轴的一个交点坐标为（3,1）,

.,.当-1<XV3时，J>1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题.

4、A

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算.

【详解】

AR24

...△A3C与AOEF的面积之比等于（——）2=（一）2=一.

DE39

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对

应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

5、C

【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.

【详解】y=-x2+2x=-（x-l）2+l，

•.•图像的对称轴为x=l,a=-l<0,

...当x<l时，y随着x的增大而增大，

故选：C.

【点睛】

此题考査二次函数的性质，当a<0时，对称轴左增右减，当a>0时，对称轴左减右增.

6、A

【解析】由抛物线开口方向得到aVl,根据抛物线的对称轴为直线x=-=b=-1得bVl,由抛物线与y轴的交点位置

2a

得到c>L则abc>l；观察函数图象得到x=-l时，函数有最大值；

利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,1）,则当x=l或x=-3时，函数y的值等于1；观察

函数图象得到x=2时，y<l,即4a+2b+cVl.

【详解】解：•••抛物线开口向下，

h

・•・抛物线的对称轴为直线X=--=-1,

2a

:.b=2a<l,

•.•抛物线与y轴的交点在x轴上方，

Aoi,

.,.abc>L所以①正确；

•.•抛物线开口向下，对称轴为直线x=-l,

.•.当x=-l时，函数有最大值，所以②正确；

•••抛物线与X轴的一个交点坐标为(1,1),而对称轴为直线x=-l,

...抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,1),

...当x=l或x=-3时，函数y的值都等于1,

二方程ax?+bx+c=l的解是：xi=l,X2=-3,所以③正确；

Vx=2时,y<l,

*'•4a+2b+c<l,所以④错误.

故选A.

【点睛】

解此题的关键是能正确观察图形和灵活运用二次函数的性质，能根据图象确定a、b、c的符号，并能根据图象看出当

x取特殊值时y的符号.

7、C

【解析】试题分析：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，

符合这样条件的点D有3个.

故选C.

考点：平行四边形的判定

8、C

【分析】先设图中阴影部分小正方形的面积为x,则整个阴影部分的面积为3x,而整个图形的面积为7x.再根据几何概

率的求法即可得出答案.

【详解】解：设图中阴影部分小正方形的面积为x,,则整个阴影部分的面积为3x,而整个图形的面积为7x,

3r3

...这个点取在阴影部分的慨率是—

7x7

故答案为：c.

【点睛】

本题考查的知识点是事件的概率问题，解题的关键是根据已给图形找出图中阴影部分的面积与整个图形的面积.

9、A

【分析】根据增长率a%求出第一次提价后的售价，然后再求第二次提价后的售价，即可得出答案.

【详解】根据题意可得：23(l+a%)2=40,故答案选择A.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，比较简单，记住公式“增长后的量=增长前的量X(l+增长率)”.

10、B

【解析】根据直接开方法即可求出答案.

【详解】解：Tx2-9=0,

/•X—

故选:B.

【点睛】

本题考察了直接开方法解方程，注意开方时有两个根，别丢根

11,C

【分析】由题意得NB=NC=45°,NG=NEAF=45°,推出△ACEs^ABF,得到NAEC=NBAF,根据相似三角形

的性质得到——=J,于是得到结论.

BFAC

【详解】解：如图：

由题意得NB=NC=45。，NG=NEAF=45。，

VZAFE=ZC+ZCAF=45°+ZCAF,ZCAE=45°+ZCAF,

/.ZAFB=ZCAE,

.♦.△ACEs^ABF,

/.ZAEC=ZBAF,

/.△ABF^ACAE,

.ABCE

"~BF~~AC

又•••△ABC是等腰直角三角形，且BC=2,

.,.AB=AC=V2»又BF=x,CE=y,

._y

,丁五'

即xy=2,(l<x<2).

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ABFsaACE是解题的关键.

12、A

【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案.

【详解】解：当k>0时，反比例函数的系数-k<0,反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没

有满足的图形；

当kVO时，反比例函数的系数-k>0,所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限.

故选：A.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、37

【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可.

【详解】•••四边形ABCD是正方形，

.*.AB=BC=CD=AD,

-AB=BC=CD=AD^

:.AB的长等于。。周长的四分之一，

的半径为6,

0。的周长=2x6x兀=12乃,

AAB的长等于3万，

故答案为：3万.

【点睛】

本题主要考査了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.

【解析】分析：

由已知条件易得△ACB中，ZACB=90°,AC=3,AB=5,由此可得BC=4,结合NADC=NABC,即可由

AC

tanNADC=tanNABC=-----求得所求的值了.

BC

详解：

TAB是的直径，

.,.ZACB=90°,

又,.,AC=3,AB=5,

BC=J52-3Z=4，

AC3

tanNABC=-----=—，

BC4

XVZADC=ZABC,

3

.".tanZADC=—.

4

,3

故答案为：一.

4

点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义''解得本题的关键.

15、2G

（分析］先证得四边形AGCH是平行四边形，则AH=CG,再证得DH=。。，求得AH=1,DE=3，证得DOA.HC,

根据用.OCE〜用,即可求得半径，从而求得结论.

【详解】•.•四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

'：AG//HC,

四边形AGCH是平行四边形，

:.AH=CG,

,:CG、CE是。。的切线，且切点为G、E,

:.CG=CE=AH,NGCH=NHCD,

'：AD//BC,

：.NDHC=NGCH,

二NDHC=NHCD,

...三角形DHC为等腰三角形，

:.DH=DC=AB=4,

AH=AD-DH=5-4=\,

：.CE=AH=\,DE=DC—CE=4—T=3,

连接OD、OE,如图，

VDE.OE是。。的切线，且切点为E、F,

...DO是/尸0E的平分线，

又DH=DC,

:.DO丄HC,

:.NDOC=90。,

VCO切。。于E，

：.OE±CD,

■:ZOCE+ZCOE=9()°,NDOE+NCOE=90°,

:.NOCE=NDOE,

**•Rt/OCE~Rt♦DOE9

.OECEOE1

••=---即nn---=----9

DEOE93OE

•••OE=5

・••G)。的直径为：2百

故答案为：2百.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，切线长定理,相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得*DHC

为等腰三角形是解题的关键.

16、(a+3)(a-3)

【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进

行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.先把式子写成a2-32,符合平方差公式的特点，再利用平方差公

式分解因式.

a2-9=a2-32=(a+3)(a-3).

故答案为(a+3)(a-3).

考点：因式分解-运用公式法.

17、4.8

【分析】连接CP,根据矩形的性质可知：DE=CP,当OE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP丄A3

时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长.

【详解】RAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,

二AB=10,

连接CP,

尸。丄4c于点。，PE丄CB于点,E，

二四边形。PEC是矩形，

:.DE=CP,

当OE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP丄AB时，则CP最小，

.•.£)£=CP=—=4.8.

10

故答案为：4.8.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解

题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值.

18、(-2,3).

【解析】根据坐标轴的对称性即可写出.

【详解】解：根据中心对称的性质，得点尸(2,-3)关于原点的对称点P，的坐标是(-2,3).

故答案为：(-2,3).

【点睛】

此题主要考査直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.

三、解答题(共78分)

19、2.6cm

【分析】先要过D作出垂线段DE,根据角平分线的性质求出CD=DE,再根据已知即可求得D到AB的距离的大小.

【详解】解：过点D作DE丄AB于E.

TAD平分NBAC,DE丄AB,DC±AC

/.CD=DE

又BD：DC=2：1,BC=7.8cm

.,.DC=7.8-r(2+1)=7.84-3=2.6cm.

.'.DE=DC=2.6cm.

:,点D到AB的距离为2.6cm.

【点睛】

本题考査了角平分线的性质定理，属于简单题，正确作出辅助线是解题关键.

20、西塔BD的高度为276米，大楼AC的高度为18百米.

【分析】作CE丄BD于E,根据正切的定义求出BD,根据正切的定义求出BE,计算求出DE,得到AC的长.

【详解】解：作CE丄BD于E,

则四边形ACED为矩形，

.•.CE=AD=27,AC=DE,

亠八亠BD

在RtZ\BAD中，tanNBAD=——，

AD

贝！JBD=AD«tanZBAD=2773，

在RtZkBCE中，tanZBCE=—

贝！JBE=CE»tanZBCE=9>/3，

:.AC=DE=BD-BE=18百，

答：西塔BD的高度为27百米，大楼AC的高度为18百米.

D

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用•仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）先判断出N2+N3=90。，再判断出N1=N2即可得出结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到N3=NCOD=NDEO=60。，根据平行线的性质得到N4=NL根据全等三角形的

性质得到NCBO=NCDO=90。，于是得到结论；

（3）先判断出AABOg^CDE得出AB=CD,即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可.

〈CD是。O的切线，

AODXCD,

:.Z2+Z3=Z1+ZCOD=90°,

VDE=EC,

AZ1=Z2,

AZ3=ZCOD,

ADE=OE；

(2)VOD=OE,

AOD=DE=OE,

:.N3=ZCOD=ZDEO=60°,

AZ2=Z1=3O°,

VAB/7CD,

AZ4=ZL

.e.Zl=Z2=Z4=ZOBA=30°,

.,.ZBOC=ZDOC=60°,

OD=OB

在ACDO与ACBO中，(NDOC=NBOC,

OC=OC

.,.△CDO^ACBO(SAS),

:.ZCBO=ZCDO=90°,

.,.OB丄BC,

；.BC是。O的切线；

(3)VOA=OB=OE,OE=DE=EC,

/.OA=OB=DE=EC,

VAB/7CD,

.,.Z4=ZL

.,.Z1=Z2=Z4=ZOBA=30°,

/.△ABO^ACDE(AAS),

，AB=CD,

...四边形ABCD是平行四边形，

1

二ZDAE=-NDOE=30°,

2

.,.Z1=ZDAE,

；.CD=AD,

.”ABCD是菱形.

【点睛】

此题主要考査了切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出

△ABO^ACDE是解本题的关键.

22、(1)B,60；(2)见解析

【分析】(1)根据三角形三个顶点中没有变动的点就是旋转中心来判断，再根据旋转的性质判断出旋转的角度即可；

(2)先根据旋转的性质得出ZDBD=60°和BD=BD'即可证明.

【详解】解：(1)旋转中心是8,

旋转角度是60度；

(2)证明：AABC是等边三角形，

ZABC=60°,

二旋转角是60。

:.NDBD'=60。,

又BD=BU,

.♦.Aszxy是等边三角形.

【点睛】

本题主要考察正三角形的判定及性质、图形的旋转性质，熟练掌握性质是关键.

23、隧道AB的长约为635m.

【分析】首先过点C作CO1AB,根据RtAAOC求出OA的长度，根据RtACBO求出OB的长度，然后进行计算.

【详解】如图，过点C作CO丄直线AB,垂足为O,则CO=150()m

.•.ZDCA=ZCAO=60°,ZDCB=ZCBO=45°

宀亠1500J3r

：.在RtACAO中，OA=----------=1500xJ=500J3m

tan60