湖南省长沙市望城区2023-2024学年九年级数学第一学期期末调研试题含解析

湖南省长沙市望城区2023-2024学年九年级数学第一学期期末调研试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，四边形A3C。为。。的内接四边形，E是延长线上的一点，已知/8。。=130。，则NZJCE的度数为（)

C.65°D.75°

2.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律.例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前,

照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版.要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画

面中的位置（）

A.①B.②C.③D.④

3.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A.x2+-=0B.（X-1）2=（X+3）（X-2）+1

x

C.x=x2D.ax2+bx+c=0

4.《朗读者》是中央电视台推出的大型文化情感类节目，节目旨在实现文化感染人、鼓舞人、教育人的引导作用•为

此，某校举办演讲比赛，李华根据演讲比赛时九位评委所给的分数制作了如下表格：

平均数中位数众数方差

8.58.38.18.15

对9位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，表格中数据一定不发生变化的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

5.在中，NC=90。，NA、D3、NC所对的边分别为a、b、c,如果a=3b,那么NA的余切值为（）

丄

B.3D・噜

3V

6.正方形具有而菱形不具有的性质是（）

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

7.已知二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；（2）b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c-3b<0；

⑤a+b>n（an+b）（nwl）,其中正确的结论有（）

C.4个D.5个

8.一组数据0、-1、3、2、1的极差是（）

A.4B.3C.2D.1

9.为了解我县目前九年级学生对中考体育的重视程度，从全县5千多名九年级的学生中抽取200名学生作为样本，对

其进行中考体育项目的测试，200名学生的体育平均成绩为40分则我县目前九年级学生中考体育水平大概在（）

A.40分B.200分C.5000D.以上都有可能

10.若的半径为3,且点P到一，。的圆。的距离是5,则点口在（）

A.。内B.。上C.。。外D.都有可能

11.如图，在AA8C中，点。是在边8c上，且8O=2CD,亚=出型=9那么二等于（）

12.如图，ABC内接于圆。，NB=65。，NC=70。，若BC=20,则弧的长为（）

O

B

71B.近几C.2〃D.2伝

二、填空题（每题4分，共24分）

23

13.如图，点8是反比例函数y=—（x>0）的图象上任意一点，A5〃x轴并交反比例函数y=-二（x<0）的图象

XX

于点A,以A3为边作平行四边形A8C。，其中C、"在X轴上，则平行四边形ABCD的面积为.

14.在△ABC中，ZABC=90°,已知AB=3,BC=4,点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB

于点P,当APQB为等腰三角形时，线段AP的长为.

cibC

15.若一=一=一,且a+/?+c=36,贝!1”一6—c的值是____.

234

A83

16.若△ABCS^A，B，C且---=-,AABC的周长为12cm,则AA，B，C，的周长为cm.

。A'B'4

17.若关于x的方程好+勲-盟=0（，”是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y='经过第象限.

x

18.如图，扇形A5c的圆心角为90。，半径为6,将扇形A5C绕A点逆时针旋转得到扇形AOE,点5、C的对应点分

别为点。、E,若点。刚好落在AC上，则阴影部分的面积为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）课外活动时间，甲、乙、丙、丁4名同学相约进行羽毛球比赛.

（1）如果将4名同学随机分成两组进行对打，求恰好选中甲乙两人对打的概率；

（2）如果确定由丁担任裁判，用“手心、手背”的方法在另三人中竞选两人进行比赛.竞选规则是：三人同时伸出“手

心”或“手背”中的一种手势，如果恰好只有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新竞选.这三人伸出“手

心”或“手背”都是随机的，求一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率.

20.（8分）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中

间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像.

（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）.

（2）若a=3,b=2,请求出绿化部分的面积.

2a+b

'a+b'

3a+h

21.（8分）长城汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元爾，若当月销售量超过5

辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查，月销售量不会突破30台.

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x<30,且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元雄，公司计划当月销售利润45万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：

销售利润=销售价-进价）

22.（10分）已知抛物线y=f-（租—3）%-加，求证:无论隕为何值，抛物线与x轴总有两个交点.

23.（10分）三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示.试确定路灯灯泡的位置，再作出甲

的影子.（不写作法，保留作图痕迹）

甲乙丙

24.（10分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论

语；D.三字经.比赛形式为“双人组”.小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名

队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次.则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？请用

画树状图或列表的方法进行说明.

25.（12分）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的

直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

k

26.如图，一次函数刈=&送+力人为常数，依和）的图象与反比例函数以=亠（比对）的图象交于点A（m,1）

x

与点8(-1,-4).

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象说明，当x为何值时，kxx+b-匕V0；

x

（3）若动点尸是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接。P,过点尸作y轴的平行线交直线AB于点C,连

接。C,若APOC的面积为3,求点P的坐标.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】根据圆周角定理求出NA,根据圆内接四边形的性质得出NDCE=NA,代入求出即可.

【详解】VZBOZ）=130°,

：.ZA=-ZBOD=65°,

2

,:四边形ABCD为。。的内接四边形，

；.NDCE=NA=65。,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对

角.

2、B

【解析】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为

0.618,观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，

故选B.

3、C

【详解】A.x2+-=0,是分式方程，故错误；

X

B.(x—l)2=(x+3)(x—2)+1经过整理后为：3x-6=0,是一元一次方程，故错误；

C.x=x2,是一元二次方程，故正确；

D.当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故错误，

故选C.

4、B

【分析】根据方差、平均数、众数和中位数的定义进行判断.

【详解】解：对9位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数一定不发生变化.

故选B.

【点睛】

本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量•方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反

之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好•也考査了平均数、众数和中位数.

5、A

b

【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA=一,即可得出答案.

a

【详解】解：在RtZXABC中，ZC=90°,a=3h,

,“b1

••cotA=­=一；

a3

故选择：A.

【点睛】

此题主要考査了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

6、B

【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.

【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，

故选B.

【点睛】

考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质.

7、B

【分析】①观察图象可知a<0,b>0,c>0,由此即可判定①；②当x=-1时，y=a-b+c由此可判定②；③由对称知,

b

当x=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,由此可判定③；④当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0,且x=------

2a

b

=1,可得a=-5,代入y=9a+3b+c<0即可判定④；⑤当x=l时,y的值最大.此时，y=a+b+c,当x=n时,y=an2+bn+c,

由此即可判定⑤.

【详解】①由图象可知：a<0,b>0,c>0,abc<0,故此选项错误；

②当x=-1时，y=a-b+c<0,即b>a+c,故此选项错误；

③由对称知，当x=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>(),故此选项正确；

④当x=3时函数值小于0,v=9a+3b+c<0,且x=——=1HPa=--,代入得9(--)+3b+c<0,得2cV3b,故此

2a22

选项正确；

⑤当x=l时，y的值最大.此时，y=a+b+c,而当x=n时，y=an2+bn+c,所以a+b+cAaM+bn+c,a+b>an2+bn,即

a+b>n(an+b),故此选项正确.

二③④⑤正确.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题

的关键.

8、A

【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解.

【详解】解：这组数据：0、-1、3、2、1的极差是：3-(-1)=1.

故选A.

【点睛】

本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.

9、A

【分析】平均数可以反映一组数据的一般情况、和平均水平，样本的平均数即可估算出总体的平均水平.

【详解】名学生的体育平均成绩为40分，

•••我县目前九年级学生中考体育水平大概在40分，

故选：A.

【点睛】

本题考查用样本平均数估计总体的平均数，平均数是描述数据集中位置的一个统计量，既可以用它来反映一组数据的

一般情况、和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别.

10、C

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d,则d>!•时,

点在圆外；当d=i•时，点在圆上；当dVr时，点在圆内.

【详解】解：•••点到圆心的距离5,大于圆的半径3,

...点在圆外.故选C.

【点睛】

判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系.

11、D

【解析】利用平面向量的加法即可解答.

【详解】解：根据题意得豆=一，

AD=AB~f~BDfe,

故选D.

【点睛】

本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题.

12、A

【分析】连接OB,OC.首先证明AOBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题.

【详解】连接OB,OC.

a

VZA=180o-ZABC-ZACB=180o-65o-70o=45°,

.,.ZBOC=90°,

•・・BC=20,

AOB=OC=2,

,,丄90x〃x2

BC的长为一左一=心

1oU

故选A.

【点睛】

本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1.

【分析】设A的纵坐标是b,贝IJB的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标，则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形

的面积公式即可求解

【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b

22

把y=b代入y=—得,b=—

xx

2

则即B的横

b

坐标是:2

b

同理可得:A的横坐标是：小

b

235

贝!]AB=--(--)=—

bbb

nl5

贝!Js四边形ABC。=—xb=L

b

故答案为1

【点睛】

此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b

14、*或1.

3

【解析】当APQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P在线段AB上时，如图1所示.由三角形相

似(AAQPsaABC)关系计算AP的长；

②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.

【详解】解:在R34BC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5.

为钝角，

.•.当APQB为等腰三角形时，

当点尸在线段A3上时，如题图1所示：

为钝角,

.•.当APQB为等腰三角形时，只可能是尸8=PQ,

由(1)可知,△AQPSAABC,

唠嚼即上空=#,解得:4

543

45

AAP=AB-PB=3——=-；

33

当点尸在线段A8的延长线上时，如题图2所示:

•・・NQbP为钝角，

・•・当AP&B为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.

,:BP=BQ,：.ZBQP=ZP9

■:N5QP+NAQ3=90,ZA+ZP=90,

:.ZAQB=ZA,

；・BQ=AB,

：.AB=BP,点5为线段AP中点，

：.AP=2AB=2x3=l.

综上所述，当APQB为等腰三角形时小尸的长为g或1.

故答案为，或1.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于

中考常考题型.

15、-20；

【分析】由比例的性质得到q=幺土"，从而求出a和b+c的值，然后代入计算，即可得到答案.

22+3+4

【详解】解：Tq=2=£,a+匕+C=36,

234

.a_a+b+c_a+b+c_36_

••————

22+3+499

，a=8,Z?+c=36—8=28,

a-b-c=a-(b+c)=8-28=-20；

故答案为：-20.

【点睛】

本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，正确得到a=8,b+c=2S.

16、16cm

AQ3

【解析】VAABC^AArBrC%-------=-,

A'B'4

*t•CAABC：CZSA'B,C'=3：4,

又,:CAABC=12cm,

CAA*B*C,=16CHI.

故答案为16.

17、二，四

〃2

【分析】关于“的方程有唯一的一个实数根，则△=（）可求出机的值，根据机的符号即可判断反比例函数y=一经过

X

的象限.

【详解】解：・・•方程”2+2“-相=0（相是常数）有两个相等的实数根，

/.A=22-4X1X（-/n）=4+4/〃=0,

:・m=-1；

IT!

二反比例函数y=一经过第二，四象限，

x

故答案为：二，四.

【点睛】

本题考査的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及反比例函数的图象，利用根的判别式求岀m的值是解此题的关

键

18、371+973.

【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出Sm=S^ADE-S^AD=SaKABC

-S弓形A0，进而得出答案.

解：连接80,过点8作BN丄40于点N,

,••将半径为4,圆心角为90。的扇形区4c绕A点逆时针旋转60。，

：.ZBAD=6Q°,AB=AD,

.•.△A8O是等边三角形，

.•.ZABD=60°,

则NABN=30°,

故4N=3,BN=3yf3,

s阴影=S扇形4O£-s弓形AO=S扇形A8C-S弓形A0

2(60•4•62

90••6-yX6X36)

360360

=3兀+9G.

故答案为3”+96.

【点睛】

本题主要考查了扇形的面积求法以及等边三角形的判定与性质.正确得出aABD是等边三角形是关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）—；（2）—

34

【解析】分析：（1）列举出将4名同学随机分成两组进行对打所有可能的结果，找出甲乙两人对打的情况数，根据概率

公式计算即可.

（2）画树状图写出所有的情况，根据概率的求法计算概率.

详解：（1）甲同学能和另一个同学对打的情况有三种：

（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁）

则恰好选中甲乙两人对打的概率为：p=;

（2）树状图如下：

一共有8种等可能的情况，其中能确定甲乙比赛的可能为（手心、手心、手背）、（手背、手背、手心）两种情况，因

此，一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率为「=一2=上1.

84

点睛：考查概率的计算，明确概率的意义时解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.

20、（1）5a2+3ab；（2）63.

【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；

（2）将a与b的值代入计算即可求出值.

【详解】解：(1)根据题意得：

(3a+b)(2a+b)-(a+b)2

=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2

=5a2+3ab；

(2)当a=3,b=2时,

原式=5x3?+3x3x2=45+18=63.

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键.

21、(1)当0WxS5时，y=30；当5<x030时，y=-0.1x+30.5；(2)该月需售出15辆汽车.

【解析】试题分析：(1)根据分段函数可以表示出当0WxW5,5<xW30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论;

(2)由销售利润=销售价-进价，由(1)的解析式建立方程就可以求出结论.

试题解析：(1)由题意，得

当0WXW5时j=30.

当5<XW30时，j=30-0.1(x-5)=-0.1x+30.5.

30(0<x<5)

••y—*

--0.lx+30.5(5(尤430)；

(2)当0WxW5时，

(32-30)x5=10<25,不符合题意，

当5<xV30时，

|32-(-0.1x+30.5)]x=45,

解得：玉=15,X2=-30(不合题意舍去).

答：该月需售出15辆汽车.

22、证明见解析

【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明.

【详解】证明：i=b2-4ac=[-(w-3)]2-4x(-m)

=m2-2/n+9.

=+8

(W-1)2+8>0

无论〃?为何值，抛物线与x轴总有两个交点.

【点睛】

此题考査一元二次方程的判别式，正确计算并掌握判别式的三种情况即可正确解题.

23、见解析

【解析】分别作过乙，丙的头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头

的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长.

解：

灯泡

*

甲乙丙

1

24、—

12

【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算，即可得到答案.

【详解】解：画树状图为：

ABC：

八/N/N不

D

BCDAcABDABC

共有12种等可能的结果数；

其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词''的结果数为1,

恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=丄；

12

【点睛】

本题考查了列表法和树状图法，以及概率的公式，解题的关键是熟练掌握列表法和树状图法求概率.

25、变短了2.8米.

【解析】试题分析：

试题解析：根据AC〃BD〃OP,得出AMACsaMOP,ANBD^ANOP,再利用相似三角形的性质进行求解，即可

得出答案.

试题解析：如图：

ZAMC=ZOMP,

.,.△MACSAMOP,

.MAAC

••荻一而‘

MA1.5

即Hn--------=—,

20+MA9

解得，MA=4米；

同理，由ANBDSANOP,可求得NB=1.2米，

则马