河南省新乡市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷及答案

河南省新乡市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题

一、单选题

1.复数l+i3在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若集合4=｛小2-2》-3＜0｝,集合8=｛尤同＜2｝,则AB=（）

A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-3,2)D.(1,2)

3.已知向量2=(1,T),b=(m,2),若；〃力，则(。-26)-6=()

A.4B.-2C.-8D.-20

+?)=),1tana

sin(o-')+sin(acoscrsiiw--,贝八二()

3tan4

3432

A.一B.-C.一D.-

4323

5.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领

域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数

定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首

位数字是d（d=l,2,L,9）的概率为+以此判断，一个数的首位数字

是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）

（参考数据:1g2ao.301,lg3«0.477）

A.2.9B.3.2C.3.8D.3.9

6.己知等比数列｛%｝的前”项积为％若%若=4,则怎=（）

A.512B.256C.64D.16

7.已知正三棱锥尸-ABC的侧棱R4,PB,PC两两垂直，S.PA=PB=PC=1,以尸为

球心的球与底面45c相切，则该球的半径为（）

A.巫B.—C.—D.—

6323

8.已知定义在R上的函数“X）满足"2孙—l）=〃x）-〃y）+〃y）+2x—3,

/（0）=-1,则不等式/'（x）＞3-2工的解集为（）

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-00,1)D.(-oo,-l)

二、多选题

9.下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（）

月销售量

B.这10个月的月销售量的第65百分位数为33

C.这10个月的月销售量的中位数为30

D.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差

10.若。>0,b>0,a+b=\,则下列不等式恒成立的是()

111

A.ab>—B.—+—>4

4ab

7i

C.—D.一

82

三、单选题

11.已知产是抛物线c：,2=8x的焦点，过歹的直线与C交于A3两点，点。(-2,1),

且则()

A.直线A3的方程为4无一y—8=0B.直线AB的方程为2x—y—4=0

17

C.|AB|=9D.|AB|=y

四、多选题

12.已知左>0,关于x的方程H=sinx有"个不同的根，7ZWN*,且加为最大的根，则

()

A.”的值可能为100B.当“=1时，k>\

2

C.当k=—时，〃=7D.当〃=5时，tanmG(4,6)

5兀

五、填空题

13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为叵，则该圆锥的表面积

3

为.

14.已知。为坐标原点，点尸在圆+-2ax+〃2-4=。上，且。耳=1,则。的取

试卷第2页，共4页

值范围为.

15.已知数列｛见｝共有10项，且a.e｛l,2,3｝,若％3V＜/()，则符合条件的不

同数列有个.

22

16.己知A8分别是双曲线l(。＞0乃＞0)的左、右顶点，且|的2=4々/,

ab

P为C上一点，|m|=2|PB|=4,则点尸到X轴的距离为一.

六、解答题

b

17.已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,且a--=ccosB.

2

⑴求角C；

(2)若。为边AC上一点，且BD=BC=@AB,求乌的值.

3AD

18.某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答

题，否则继续，直到答完所有题目.设选手甲答对第1题的概率为甲答对题序为i的

题目的概率p,=£ie｛l,2,3,4｝,各题回答正确与否相互之间没有影响.

I

⑴若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；

(2)求甲停止答题时答对题目数量X的分布列与数学期望.

19.如图，平面ACDE，平面ABC,四边形ACDE为矩形，ABC为正三角形，

AB=2AE=2,。为AC的中点，尸为BD上一动点

⑴当OP〃平面ABE时，求而的值；

⑵在(1)的条件下，求OP与平面曲所成角的正弦值

20.已知S“是数列｛%｝的前"项和，"+S向=(〃+1)2.

⑴若数列｛4｝为等差数列，求数列｛%｝的通项公式；

a—1

(2)若％=0,求数列的前〃项和1,•

21.48分别是椭圆。：9+，=1(。＞匕＞0)的左、右顶点，|AB|=4,离心率为手.

（1）求椭圆C的标准方程.

⑵过点尸（4,0）,且与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于",N两个不同的点.设直线AM，

BN交于点、K,证明：点K到丁轴的距离为定值.

22.已知函数/（%）=11次一如？一1.

⑴当机2g时，讨论〃元）在（0,+8）上的单调性；

⑵已知和马是“X）的两个零点，证明：＞s/6e2.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】根据复数运算求解复数，然后利用复数的几何意义确定其对应的点所在象限.

【详解】因为l+i3=l.i，所以该复数对应的点为该点在第四象限.

故选：D

2.B

【分析】根据题意，将集合A，8化简，结合交集的运算，即可得到结果.

【详解】A=1X|X2-2X-3<O|=|X|-1<X<3},2=卜旧<2}=卜卜2<尤<2},

故AB=(-l,2).

故选：B

3.D

【分析】根据题意，由向量平行的坐标运算可得加，再由数量积的坐标运算，即可得到结果.

【详解】由a//b，可得-加=2,即〃z=-2,所以(°-26)♦6=a26=—4—2x8=-20-

故选：D

4.A

【分析】利用和差角的正弦公式求出sinacos尸，再利用同角公式计算即得.

【详解】由sin(a-/)+sin(a+£)=：,得2sintzcos夕=；，即sinacos£=：,而cosasin/=；,

tanasinacos03

所以1F=--------=

tanpcosasinp4

故选：A

5.C

【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.

【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为坨2,一个数的首位数字是5的概率为

lg2_lg2_lg2

-

所求的比为lg6Ig6-lg5-lg2+lg3-(lgl0-lg2)

故选：C

6.C

答案第1页，共12页

【分析】设等比数列｛%｝的公比为q,根据题意，求得域=4,结合其=色，即可求解.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为q,

因为"《=胃(研)2=G=4,所以风=%。28。9=d=炉=64.

q

故选：c.

7.B

【分析】球的半径相当于点尸到底面ABC的距离，运用等体积法即可求解.

【详解】设球的半径为广，由题可知AB=AC=BC=后，S诋=%曲泻,

xM

所以与r.SABc=Vp-ABc=\^^^解得r=§.

故选：B.

8.A

【分析】先利用赋值法求〃-1)=-3及f(x)=2x-l,然后利用单调性解不等式即可.

【详解】令x=y=O,得/(-1)=/(0)"(0)+/(0)-3=-3.

令>=0,得/(-l)=/W(0)+/(0)+2x-3,解得，(x)=2x-l,

则不等式f(无)>3-2、转化为2尤+2*-4>0,

因为、=2%+2”一4是增函数，且2x1+2］一4=0,

所以不等式/(x)>3-2*的解集为(1,内).

故选：A

9.AB

【分析】根据题意，由极差百分位数以及中位数的定义，分别代入计算，即可得到结果.

【详解】将样本数据从小到大排列为25,26,27,28,28,30,33,36,37,40,这10个

月的月销售量的极差为15,故A正确；

根据百分位数的定义可知，10x65%=6.5,则这10个月的月销售量的第65百分位数为第

七个数33,故B正确；

这10个月的月销售量的中位数为合吧=29,故C错误；

结合图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月

的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误；

故选：AB.

答案第2页，共12页

10.BCD

【分析】利用基本不等式证明判断ABD,利用二次函数的性质判断C.

【详解】。>0,b>0,a+b>2^b，即。6W（审）2=：,当且仅当a=6=g时，等号成

立，所以A错误；

-+-=（-+-）-（«+&）=2+-+->2+2./^=4,当且仅当2=:,即。=b=L时，等号

ababab\abab2

成立，所以B正确；

a+b=l,a=l-b>Q,所以0v>vl,贝2〃+b=2（1—6产+b

Q77a

=2b2-3b+2=2（b--）2,当且仅当。=:时，等号成立，所以C正确；

4884

因为±±^2（4）2,所以"+廿2］，当且仅当。=6=!时，等号成立，所以D正确.

2222

故选：BCD.

11.AD

【分析】根据抛物线焦点弦的几何性质求解即可.

设4（外,%）,3（刍,为），抛物线C：V=8X的准线/:X=-2,|AB|+X2+4,

则以AB为直径的圆的半径r=土逗+2,

2

线段AB的中点坐标为（七X,咤匹），

则线段A3的中点到准线I的距离为五士三+2=r,

2

所以以48为直径的圆与准线/相切，

所以48的中点的纵坐标为1,即%+%=2,

%M-％=8=4

所以直线的斜率为占-%一W货一%一，

1r

贝。直线A3的方程为4x_y_8=0,

答案第3页，共12页

9

则线段A5的中点坐标为(二』)，

4

917

所以|43|=2(T+2)=工.

42

故选：AD

12.BC

【分析】根据函数的性质判断方程根的个数为奇数个判断A,先求出相切时候的斜率，数形

结合求解范围判断B,数形结合判断C,根据直线与曲线相切建立方程求解判断D.

【详解】令f(x)=sinx,由题意方程h=sinx有"个不同的根，

则>=质的图象与/'(x)=sin尤的图象有〃个不同的交点，

因为>=区的图象与Ax)=sinx的图象都关于(0,0)对称，所以“不可能为偶数，故A错误；

当〃=1时，方程质=sinx有1个不同的根，则直线y=丘与“尤)=sinx只有一个交点(0,0),

当直线>为f(x)=sinx在(0,0)处相切时，f\x)=cosx,则/'(0)=1,即左=1,

所以曲线f(x)=sinx在x=0处的切线方程为了=%,

如图：

1y.Ax/

VOIX

―-----------"Tr----------

要使直线V=依与/(x)=sinx只有一个交点(0,0),则左21,故B正确；

当左=]■时，y=经过点停,1],因为住,1］是fM=sinx的极大值点,

5兀57r<2)12

如图：

■.

一<>

答案第4页，共12页

2

由图知，直线y与/(x)=sinx有7个交点，所以方程质=sinx有7个不同的根,

即"=7,故C正确；

当〃=5时，则>=丘的图象与f(x)=sinx的图象有5个不同的交点，

可知丫=区与曲线f(x)=sinx相切，且切点的坐标为O,sin〃z),如图：

5兀Isinm=km5兀

则机£(2兀,工)，故｛,所以m=tanw,gptanme(2K,—-),故D错误.

2[k=cosm2

故选：BC

13.3兀

【分析】设圆锥的底面圆半径为一，母线长为/,得到底面面积为口2,周长为2”，高为

=根据题意，列出方程组，求得厂」的值，进而求得圆锥的表面积.

【详解】设圆锥的底面圆半径为小母线长为/,

则圆锥底面圆面积为W2,周长为2口，高为力=J/2一户,

Til=271r

可得＜1n—7后，解得厂=1,1=2,

-7ir92#-r2

13~T

所以该圆锥的表面积为s=兀/+g兀尸=37t.

故答案为：3兀.

14.[-3,-1][1,3]

【分析】根据两圆的位置关系进行求解即可.

【详解】+/一2。%+〃2-4=0可化为(尤―")2+/=4,由QH=1,可知点尸在圆一+,2=]

上，所以问题等价于圆f+y2=i与圆c有交点，所以2-101区2+1,解得或

-3<a<-l.

故答案为：刀,3]

15.66

答案第5页，共12页

【分析】根据题意，分册的值有1种，2种以及3种讨论，结合隔板法代入计算，即可得到

结果.

【详解】若氏的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个,

若%的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有C；C；=27个,

若的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有C；=36个,

故共有66个符合条件的不同数列.

故答案为：66

16.72

【分析】首先得出⑥A•心B="=也，然后结合直线倾斜角与斜率之间的关系，列出等式即

a7

可求解.

【详解】设户（知九），点P到X轴的距离为加，

又因为|的2=（2°）2=4瓦2,所以其=立,

a7

mm_Z?2_A/7

所以有丁.后二=/=三,

解得加=拒，所以点尸到X轴的距离为行.

1

,,h万77mm

【点睛】关键点点睛：解题的关键是找到•kPB=F=--与kpA,kpB-I2->I2-

a7A/4—m\2—m

这个桥梁，从而即可顺利求解.

答案第6页，共12页

17.d)C=j

⑵小

【分析】(1)根据正弦定理结合两角和正弦公式化简条件得2sinBcosC=sinB,求解即可；

(2)设8c=1,利用等边三角形的性质得C£>=1,在_493中利用余弦定理求得A£>=1,

即可求解比例.

b

【详解】(1)依题意，a—=ccosB,由正弦定理可得2sinA—sin5=2sinCcos3,

2

所以2sin(B+C)-sinB=2sinCeosB,

所以2sinBcosC+2cosBsinC=2sinCeosB+sinB,

则2sin3cosC=sin3,因为3e(0,兀)，所以sinBwO,化简得cosC='，

2

jr

因为Ce(0,7i),所以C=].

(2)不妨设BC=1,则42=石，因为超>=3C,C=|,所以△BCD为等边三角形，

则CD=1,ZADB=—,由余弦定理得cos-4£>B=A'+=-L

32ADBD2

CD

所以AD?+AZ>-2=0,解得AD=1或AD=—2(舍去)，所以-;——1.

AD

18.⑴！

6

(2)分布列见解析；期望为2署30

2

【分析】(1)根据题意，得到。,=不，进而求得甲答对第4题的概率；

3;

(2)根据题意，得到X可取0』,2,3,4,取得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式,

即可求解.

722

【详解】(1)解：因为选手甲答对第1题的概率为彳，所以左=；,即P,=T，

333z

所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为，.

6

2121

(2)解：由题思得Pi=z,。2=彳，，3=7?，A=T•

5590

随机变量X可取0,1,2,3,4,

答案第7页，共12页

1224?1714

则P(X=O)=—,P(X=l)=—x—=—,p(x=2)=—x—x—=——，

333933981

…。、212510…八21212

P(X=3)=—x—x—x—=-----,P(X—4)=­x—x—x—=-------.

33962433396243

所以随机变量X分布列如下:

X01234

1414102

P

3981243243

1414102230

所以石(X)=0x—+lx—+2x—+3x——+4x——二

3981243243243

19.(1)1

⑵*

【分析】（1）取BE的中点。，连接PQ,4。，证得四边形AOPQ为平行四边形，得到。尸〃AQ,

结合线面平行的判定定理，证得OP〃平面加汨，得到器=1.

（2）取DE的中点/，连接OF,以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面4町的

法向量为〃=（五1,2g）和向量OP=（二,且一），结合向量的夹角公式，即可求解.

222

【详解】（1）解：当尸为的中点时，0尸〃平面ABE.

证明如下：取BE的中点Q,连接尸Q,AQ,

在中，PQ为中位线，所以尸Q//OE且PQ=goE,

因为Q4//DE且OA=；OE,所以。V/PQ且。4=PQ,

所以四边形AOPQ为平行四边形，所以OP//AQ.

BP

因为OP仁平面ABE,AQu平面ABE,所以OP〃平面？1BE,此时而=1•

（2）解：取DE的中点尸，连接。尸，则。尸J_AC,

因为平面ACDE_L平面ABC,平面ACDE交平面ABC于AC,所以。P_L平面ABC.

又因为aABC为正三角形，所以03,AC,

以。为坐标原点，。4,。氏。尸所在直线分别为*/，2轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则A（LO,O）,3（0,百,0）,C（-l,0,0）,£＞（-1,0,1）,1）,

222

所以。尸=（.¥，；）,AB=（-1,"。），AD=（-2,0,1）,

答案第8页，共12页

n•AB=-x+6y=0

设平面ABD的法向量为〃=(九,y,z),则

n•AD=-2x+z=0

取y=l,可得冗=6,z=2A/3，所以〃=(^3,1,26)，

.op.\_\OP-n\_△5

设OP与平面曲所成的角为。，贝-in°一|cos〈0p,n)\--花一—-,

——x4

2

所以OP与平面ABD所成角的正弦值为姮.

10

20.(1)。”=72

11

⑵

【分析】(1)利用=S,「S"T(〃N2)可得出4+“用=2"+1("22),再利用相减法得

an+2-an=2(n>2),结合等差数列的条件可得其公差，从而求得％后得出通项公式；

(2)利用⑴中方法求得%,=2〃+2,然后用裂项相消法求和.

【详解】(1)当”=1时，H+邑=4,即2q+2=4.

2

因为S“+S用=(〃+1)2,当“22时，Sn_l+S„=n,

两式相减得a„+an+1=2n+1(/7>2),

所以4+i+4+2=2n+3(n>2),两式相减得%+？-4=2(〃22).

因为数列｛%｝为等差数列，所以数列｛%｝的公差d=1,

答案第9页，共12页

又2q+tz2=4,所以4=1,

贝U“〃=1+(〃—1)x1=〃，即数列｛4｝的通项公式为an=n.

(2)因为％=0,所以。2=4,

由（1）可知%+2—。〃=2（"22）,所以火=〃2+(〃-1)x2=2〃+2,

—12〃+111

(“2+九『"2("+1)2〃25+1广

小%：)+［：」)++13^=1-品F

21.⑴工+匚1

42

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的长轴长、离心率直接求解即可.

（2）根据题意设出直线/方程，与椭圆方程联立，再写出直线4Af,BN方程，求出两直线

交点的横坐标即为所求.

2a=4

a=2,

【详解】（1）由题可知一=一解得<b=&,

a2

〃2=/+c2c-y/2,

设直线/的方程为y=M尤-4）,

联立C的方程，消去y得（2左2+1）——164，+32左2-4=0.

其中△=(163了一4x(2公+1)x(32/-4)=16-96k2>0,

答案第10页，共12页

即8＜二—"＜女＜逅，

666

设”(西,％),刈％2，%)，贝也+元2=3^一~＞X1X2-~T72一1,

2化+12^+1

「•石工2=|■(%+%2)-4，又4(一2,0)，5(2,0),

「•直线AM的方程为P=-^(x+2),直线BN的方程为y=』%(%-2),

为+2/一2

联立得三(X+2)=*7(…，

%+2%—2

.x_2(,一4)伍-2)+2伍-4)(&+2)_2再无2-6占-2%2

K(9-4)(%+2)-(%-4)(X。-2)3x。-无1-8

即点K到y轴的距离为定值1.

22.(1)/(尤)在(0,+<»)上单调递减

(2)证明见解析

【分析】(1)导函数放缩得了'(x)=lnx+l-2MWlnx+1-尤，再设新函数，求导即可得到

其单调性；

In占Inx2

(2)整理变形得为七一1,从而转