2022-2023学年山东省泰安市高一年级下册期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省泰安市高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.已知复数2=江，则复数Z在复平面内对应的点位于()

1+Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】首先利用复数的除法运算化简z,再利用复数的几何意义求复数对应的点.

【详解】因为z=「2-z=13所以复数2="2在-z复平面内对应的点位于第四象限.

1+z(l+z)(l-z)221+z

故选：D

2.要得到函数y=sin(2x-()的图象，只需将函数y=sin2x的图象()

A.向左平移二个单位B.向右平移三个单位

1212

C.向左平移!个单位D.向右平移g个单位

66

【答案】D

【详解】要得到函数y=sin(2x-q),只需将函数y=sin2x中的x减去?，即得到y=sin2

=sin(2x/).

3.已知平面向量”，b.c>«=(-1,1),b=(2,3),c=(-2,k),若(a+b)〃c,则实数k=()

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【解析】首先根据向量加法的坐标运算求出a+〃的坐标，再根据平面向量共线定理计算可得.

【详解】解：a=(-1,1).1=(2,3),2=(-2,1)

:.a+b=(1,4),

(a+b)//c,

「.lx攵-4x(-2)=0,

=-8.

故选：D

【点睛】本题考查向量的坐标运算，平面向量共线定理的应用，属于基础题.

4.已知ABC的面积为彳，且b=2,c=<则A=()

A.30°B.60°C.150°D.120°或60°

【答案】D

【分析】由三角形的面积公式求出sinA=3即得解.

2

【详解】因为S=gbcsinA=|,则有gx2xgsinA=g,所以sinA=乎，

因为0。<4<180,所以A=60或120.

故选：D.

5.已知z=(4-i)(2i-l),则在复平面内，复数z的共轨复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】化简复数z和再根据复数的几何意义判断选项.

【详解】因为z=(4—i)(2i—l)=8i-4+i+2=-2+9i,

故三=-2-9i,

所以z的共辗复数在复平面内对应的点为(-2,-9),位于第三象限.

故选：C.

6.已知ABC中，O为3c的中点，且阳=4,河+人牛,八人斗ZACB=^,则向量40在

向量AB上的投影向量为()

A.-ABB.—ABC.—ABD.AB

432

【答案】C

【分析】由向量线性运算可得2k。卜阿，知/640=],根据投影向量为卜。卜。sNOAB

结合长度和角度关系可求得结果.

【详解】卜B+AC卜.-.2|AC>|=|CB|,AABAC=^,

c

又忸q=4,NAC8=S二网=2,|AO|=2,为等边三角形，.•.NQA8=1

二.AO在AB上的投影向量为|4。卜°$/。48

故选：C.

7.在等腰梯形A8CQ中，AB=2DC,E,尸分别为ARBC的中点，G为EF的中点，则AG等于（）

33311313

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

84822448

【答案】B

【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行

求解即可.

【详解】因为在等腰梯形A8C。中，AB=2DC,E,尸分别为ARBC的中点，G为1"的中点，

所以可得：AG^AE+EG=-AD+-EF^-AD+-（AB+DC]=-AD+-AB.

故选：B.

8.一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继

续航行一小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这艘船的

航行速度是（）

A.5&海里/时B.5海里/时C.10及海里/时D.10海里/时

【答案】B

【分析】计算得出/。=NC4£>,可得出AC=CD=10,可计算出A8,进而可计算得出这艘船的航

行速度.

【详解】如下图所示，由题意有N8AC=60,ABAD=15,故NCAO=75-60=15,

所以，ZD=ZACB-ZCAD=30-15=15,所以，AC=CD=10,

在Rt_ABC中，ZB=90,所以，AB=ACcosfA)=5,

因此，这艘船的航行速度是v=：=5海里/时.

故选：B.

二、多选题

9.已知向量〃z+〃=(3,l),小一〃=(1,一1),则()

A.(加一〃)B.[tn-n^//n

C.|w|=V2|/71D.M〃)=135。

【答案】AC

【分析】根据题意可得加=(2,0),〃=(覃)，根据々"1_〃=。为=%9+%%=0，判断A正误；根据

判断B正误；根据卜卜J'+、,代入计算判断c正误；根据8s卜,今=箭,

代入计算判断D正误.

【详解】•.,，〃+"=(3,1),/n-M=(l,-l),则，“=(2,0),//=(1,1)

(m-njn=lxl+(-l)xl=0,则A正确；

•.•1x1x(-1)x1,优_〃与〃不平行，B不正确；

|;M|=>/22+02=2,卜卜正，则|机|=&|〃|,C正确；

/\mn>/21\

8sM”片丽=T，贝M肛")=45°，D不正确;

故选：AC.

10.边长为2的等边一ABC中，力为BC的中点.下列正确的是()

A.AB+CA+BC=0

B.AB-AC=BC

C.ABBC=-2

D.AD--AB+-AC

22

【答案】ACD

【分析】由向量加减法法则，可以判断选项ABD,再由向量数量积公式可判断C.

【详解】根据向量加法法则可知，AB+CA+BC=CB+BC=O＞故A正确；

根据向量减法法则可得A8-AC=A8+CA=C8，故B错误；

由向量数量积公式得ABIC=|A8,84COS120=-2,故C正确；

根据向量加法法则可知，AD=\AB+\AC,所以D正确.

22

故选：ACD.

11.已知复数4=1二2(i为虚数单位)，下列说法正确的是().

A.Z1对应的点在第三象限

B.4的虚部为_1

C.z：=4

D.满足闫=团的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上

【答案】AB

【分析】根据复数的运算法则，化简得到根据复数的坐标表示，可判定A正确，根据复

数的概念，可判定B正确；根据复数的运算，可判定C不正确；根据复数的几何意义，可判定D不

正确.

22(-1-/)

【详解】由题意，复数4二-^-=I:.\=_1一"

所以复数4在复平面内对应的点(-LT)位于第三象限，所以A正确；

由可得复数的虚部为-1,所以B正确；

由z,4=(-l-z)4=[(-l-j)2]2=(2z)2=-4，所以C不正确；

由㈤=J(-l)2+(-l)2=&,

所以满足|z|=|zj的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为灰的圆上，所以D不正确.

故选：AB.

12.如果平面向量。=(2,-4),6=(-6,12),那么下列结论中正确的是()

A.|*3口B.与”平行的一个单位向量为乎，-竽

\7

C.a与b的夹角为刍D..在Z,方向上的投影为-26

6

【答案】ABD

【分析】A.根据坐标计算出aW并判断；B.利用j求解出与“平行的单位向量的坐标表示；C.根据

向量夹角余弦值的计算公式可求解出结果；D.根据投影的计算公式Wcos<〃力〉求解出结果.

【详解】A.因为a=(2,-4),所以小AT话=2不，因为〃=(-6,12),所以忖=J36+144=6后,

所以忖=3何，故正确;

B.与°平行的一个单位向量为百，且卜|=26,所以与°平行的单位向量为白，-半，故正确;

.a•b—12—48

C-因为8S-=雨=诉法"1，所以<9>=*故错误；

D.因为“在6方向上的投影为^cosva力>=一忖=-2万，故正确；

故选：ABD.

三、填空题

13.平面向量4,/7满足4=(-1,a)，忖=&，|。-可=石，则&与6的夹角为.

【答案】£/45

【分析】根据〃=卜1,血)，得出同，将卜-司=6两边同时平方，列式求出cosa,再求出夹角的

值.

【详解】设a与b的夹角为a,

由”=(一1,0),得回=J(_iy+(播『=6.

因为卜卜布，

所以(q-b)=k『-2a/+W=3,

即3-2xQxCxcosa+6=3,

解得cosa=孝，因为。€[0,可，所以a=:.

故答案为：---

4

14.已知单位向量q,6的夹角为60。，则.

【答案】1

【分析】由题可得/卜M=l,a-b=g,先求出口-力（，即可得出答案.

【详解】因为单位向量a，b的夹角为60°,所以口卜忖=1,«­/7=lxlxl=l,

所以卜-0=a-2a-b+h=l-2x^+l=l,所以k-b|=l.

故答案为：1.

15.若ae（0,]）,且cos2a+cos（,—2a）=而，则tan2a=_

【答案】-:3

4

【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为"2tan：=>,结合角的范围求tana

tarra+110

值，再应用二倍角正切公式求tan2a即可.

(兀八、.ccos2a+2sinacosa1+2tantz7

【详解】Vcos~2a+cos----2a=cos-2a+sin2a=--------；------------------9-，

V2)sin-a+cos'atan~a+l10

工tana=3或tana=4,又aw(0,7T

・-EI-2tana3

・・tana=3,则tan2a=-------；­=—

1-tana4

3

故答案为：-二

4

16.若向量〃=3i—=5i+4),贝1](：〃一6)—3(〃+17，+(26—〃)=.

32

【答案】-16/+yj

【解析】首先计算出(ga-/7)-3(a+|/，)+(26-”)=一号〃一6再代入计算可得.

【详解]解：++(2h-a)=—h—3a—2h2h—a=-^-a—h

a=3i—4j,b=5i+4j

故答案为：-16，+耳）

【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.

四、解答题

J

17.已知cosa

3

⑴求tana的值；

⑵求cos(a+g)的直

【答案】(1)2后；

（2）］-2瓜

6

【分析】(1)根据已知可求出sina=2互，进而即可得出答案;

3

(2)根据两角和的余弦公式，即可得出结果.

【详解】(1)因为ae(0,]),所以sina>0,

2V2

所以tana=包色=—3—=2>/2.

cosaI

3

（2）由（1）得，cosa=:，sina=—,

33

milred+兀1一CCSCCS7twinaGn"11A&'-2a

贝IJcosctH——cosoc,cos—sin（X-sin—=—x----2--/2-x—=-------.

I373332326

18.如图，在AA3C中，ZBAC=120，AB=AC=3,点。在线段8c上，且

2

(1)求AD的长；

(2)求NO4c的大小.

【答案】(1)由；(2)90.

【解析】(1)利用AB和4c表示AO,然后利用平面向量数量积的运算律可计算出AO的长;

(2)利用平面向量数量积计算出cosNZMC的值，即可得出—D4C的值.

【详解】⑴设AB=a，AC=h，

uinnnmuinminiminumi/uunuun、oULK1umn2r1r

则AO=A3+3£>=A3+—3C=A8+—4C—A3=—A3+—AC=—Q+—Z?,

33、)3333

IUUD.2uum(21*4r2?rr1r2421

/.AZ)=AD2=—a+-b=—a+2x—ab+—b=—x9+2x-x3x3xcosl20°4--x9=3,

II(331999999

故A。=5

（2）设/ZMC=e,则。为向量AO与AC的夹角.

2r[1I-r?rr12

uuuuuu-a+-b\-b-bj2+-a-b-x9+—x3x3x

AD-AC-33_33=0>...6=90,即

LttfflMUUM।=

AD]\AC\&33G3G

"AC=90.

【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求模和夹角，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量,

考查计算能力，属于中等题.

19.复数Znd+iy+M，其中i为虚数单位.

1-1

⑴求Z及卜

⑵若z?+应+b=2+3i,求实数。，匕的值.

【答案】⑴z=-l+3i,1=亚

【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数z,进而根据复数的模长公式求解|z|；

（2）首先将z=-l+3i代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数”，匕的

值.

【详解】（1）•.•z=（l+i>+L=l+2i+i2+714=2i+i1+i=-l+3i,

.-.|z|=V（-l）2+32=Vio.

（2）由（1）可知z=-l+3i,z=-l-3i

由z?+应+。=2+3i,得：（一l+3i）~+a（-l-3i）+b=2+3i,

[-8-a+b=2,ft?=-3,

即（—8—a+Z0+（-6—3a）i=2+3i,,解得1~

[一6—3〃=3.[0=7.

20.在二ABC中内角A、B、。所对的边分别为〃、b、c,KccosB+ftcosC=—^—.

2cosA

⑴求角A.

(2)若a=2&,h+c=6,求45c的面积.

【答案】(1)A=?；

⑵26.

【分析】(1)根据正弦定理，结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行求解即可;

(2)根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.

【详解】(1)cosA(ccos£?+/>'cosC)=y,

sinA

由正弦定理知,cosA•(sinC•cosB+sin3cosC)=------,

BPcosA-sin(^+C)=.

又B+C=兀一A,且sinAwO.所以cosA=1,

2

由于所以A=

(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,

12=+/一力。=(b+c)2-3b。

又b+c=6,所以bc=8

所以=—Z?c-sinA=—x8x=2>/3.

4nt>\,222«

21.已知函数f(x)=2sinxcosx+2Gsin2x-G.

⑴求函数fW的单调递增区间；

TT7兀

⑵求函数/(X)在区间上的最大值和最小值；

⑶若0为锐角，+=p求cos。的值.

7T5兀

【答案】⑴kn--,kn+—,kwZ；

(2)最大值为2,最小值为-1；

⑶cos。=—.

10

【分析】(1)化简函数解析式，结合正弦函数单调性求其单调递增区间;

(2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的最大值和最小值；

(3)由条件可求sin(e_w),利用同角关系求cos[e_：J,然后利用cose=cos[(e_；]+；算出答案

即可.

【详解】(1)由已知/(x)=sin2x+26x^^^_G=sin2x-Gcos2x=2sin(2x-5).

令2fat--<2x~—<2kit+—,keZ,解得E—<x<kn+—,keZ

2321212

TT57r

故函数/(X)的单调递增区间为kTt-—,kn+—«eZ

,_.]7u,7兀/口几兀“5兀

(2)由一<x<—,可r得——<2x——<—

1212636

所以-g4sin(2x-])41,故一14f(x)42,

所以函数/(x)在区间奈得上的最大值为2,此时2x-1