数学探究：杨辉三角与二项式系数的性质 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学探究：杨辉三角的性质与应用右边的多项式叫做的展开式其中各项对应系数叫做二项式系数式子中的叫做二项展开式的通项，

常用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：

二项式定理：这里n∈N*，k∈{0，1，2，…，n}学习新知这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的⟪详解九章算法⟫一书里就出现了,所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示,在这本书里记载的是用汉字表示的形式,还说明了表里 “一” 以 外的每一个数 都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于⟪释锁⟫算书,且我国北宋数学家贾宪 (约公元11世纪) 已经用过它.

是我国古代数学的一个重要成果，这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(𝐵𝑙𝑎𝑖𝑠𝑒𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙,(1623~1662) 首先发现的 ,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.我们把这个数表称为杨辉三角，问题1：杨辉三角是按照怎样的规则构成的？

杨辉三角与二项式系数有何联系？问题1：杨辉三角是按照怎样的规则构成的？

杨辉三角与二项式系数有何联系？11121133114641151010511615201561

1

1第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行第n行认识“杨辉三角”认识：杨辉三角

(a+b)1…(a+b)2………………(a+b)3……………(a+b)4…………(a+b)5………(a+b)6………………11111111111123456345661010151520“”杨辉三角14641111211331151010511615201561问题2:将上表写成如下形式,你又能发现这些数据有什么新的规律吗?新知探究(1)每行两端的数都是1；(2)与两端等距离的项的系数相等；(3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.问题3：杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.性质性质在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.问题3：杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？合作探究：利用数学知识间的联系性，我们可以从不同的角度研究这些性质，结合已有知识，对比一下不同角度发现和证明性质的过程，说一说自己的体会③每个展开式的二项式系数的增减性与最大值是:探究(1)

填出下列各二项展开式的二项式系数;

(2)

归纳二项式系数的规律;(3)

说明你归纳结论的正确性.(a+b)1…(a+b)2………………(a+b)3……………(a+b)4…………(a+b)5………(a+b)6………………11111111111123456345661010151520前增后减,中间一项或两项最大.n为奇数时,反之,减.以上是杨辉三角最基本的性质，也是二项式系数和组合数的性质二、“杨辉三角”的拓展探究：杨辉三角中的数与开方、解方程、组合数学、数列等密切联系，历代数学家从不同的角度研究它的性质，帕斯卡给出了19条性质，你也来试试，能发现和证明多少条性质？问题4：你认为可从哪些方面探究杨辉三角？我们该如何探究杨辉三角的性质？研究内容性质应用研究方法观察归纳猜想证明研究方向局部整体杨辉三角与二项式系数杨辉三角与数列杨辉三角的“形”如何观察？11121133114641151010511615201561

1二、“杨辉三角”的拓展探究：你也来试试，能发现和证明多少条性质拓展探究：研究方法：横看，斜看，竖看，连续看，隔行看等；采取画一画，连一连，算一算，进行归纳和猜想.11121133114641151010511615201561

1横看成岭侧成峰，远近高低各不同.横看斜看第5行

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146411=1+1=1+2+1=1+3+3+1=1+4+6+4+1=善于观察，发现“秘密”5.1横看成岭侧成峰，远近高低各不同。11121133114641151010511615201561

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816324求和11121133114641151010511615201561

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20706求和第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行

联想结构，如何证明？5.2探究：“杨辉三角”与二项式系数探究：联想结构，如何证明？第5行

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14641常数1正整数三角形数四面体数拓展探究：杨辉三角的秘密第5行

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1第2行

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14641常数列等差数列一阶等差数列二阶等差数列2343610拓展探究：杨辉三角的秘密第5行

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14641常数1正整数三角形数四面体数问题4：换个角度观察杨辉三角，观察由这些数字构成的数列，你能否发现其中的规律?视角1：数列求通项视角2：对应组合数第r斜列的通项为？

问题5：从每一斜列的和，你能提出哪些猜想？

在第r+1条斜线上(从右上到左下)前n-r个数字的和，等于第r+2条斜线上的第n-r个数.“杨辉三角”与数列拓展探究：杨辉三角的秘密

125第5行

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14641……138132134第8行18285670562881“杨辉三角”与数列拓展探究：杨辉三角的秘密问题6：斜线上各行数字之和有什么规律?斐波那契数列

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134第8行18285670562881“杨辉三角”与数列拓展探究：杨辉三角的秘密：问题6：斜线上各行数字之和有什么规律?

斐波那契数列

拓展1:杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.拓展2:试底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个，顶层是1个，求总数.

三.杨辉三角，简单应用【课时小结】1.