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备战2024中考数学一轮复习备战2024中考数学一轮复习第3讲特殊三角形及其性质第3讲特殊三角形及其性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章三角形第3讲特殊三角形及其性质→➊考点精析←→➋真题精讲←考向一直角三角形考向二等腰三角形第3讲特殊三角形及其性质→➊考点精析←一、等腰三角形1.等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角).推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.2.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.1.等腰三角形是轴对称图形,它有1条或3条对称轴.2.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.3.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).4.等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则<a.5.等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=.二、等边三角形1.定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.3.判定:三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.4.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.5.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.6.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.三、直角三角形与勾股定理1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.性质:(1)直角三角形两锐角互余;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.判定:(1)两个内角互余的三角形是直角三角形;(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.2.勾股定理及逆定理(1)勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2.(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.→➋真题精讲←题型一直角三角形1.(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图,在中,为的中点.若点在边上,且,则的长为(
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A.1 B.2 C.1或 D.1或22.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若∠B=30°,BD=6,则CD的长为__________.3.(2023·云南初二月考)直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm,则这个直角三角形的周长为__________.4.(2023·湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为__________.
5.(2023·河南·统考中考真题)矩形中,M为对角线的中点,点N在边上,且.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,的长为______.6.(2023·湖北十堰·统考中考真题)在某次数学探究活动中,小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D,E,F分别为,,的中点,G,H分别为,的中点),小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠,不留空隙),则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________,最大值为___________________.
7.(2023·吉林长春·统考中考真题)如图①.在矩形.,点在边上,且.动点从点出发,沿折线以每秒个单位长度的速度运动,作,交边或边于点,连续.当点与点重合时,点停止运动.设点的运动时间为秒.()
(1)当点和点重合时,线段的长为__________;(2)当点和点重合时,求;(3)当点在边上运动时,的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由;(4)作点关于直线的对称点,连接、,当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出的取值范围.题型二等腰三角形8.下列推理中,错误的是A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形9.(2023·四川省武胜县万善初级中学初二月考)等腰三角形的一个内角为40°,则其余两个内角的度数分别为A.40°,100° B.70°,70° C.60°,80° D.40°,100°或70°,70°10.(2023·延安市实验中学初二期末)如图,在中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论不正确的是A.ADBC B.∠B=∠CC.AB=2BD D.AD平分∠BAC11.(2023·四川眉山·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为,过点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点C、点A,直线与交于点D.与y轴交于点E.动点M在线段上,动点N在直线上,若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,则点M的坐标为________
12.(2023·山东初二期末)如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D为AB边的中点,DE⊥BC于E,若BE=1,则AC的长为__________.13.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,.过点作,延长到,使,连接.若,则________________.(结果保留根号)
14.(2023·北京·统考中考真题)在中、,于点M,D是线段上的动点(不与点M,C重合),将线段绕点D顺时针旋转得到线段.
(1)如图1,当点E在线段上时,求证:D是的中点;(2)如图2,若在线段上存在点F(不与点B,M重合)满足,连接,,直接写出的大小,并证明.15.(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①,和是等边三角形,连接,点F,G,H分别是和的中点,连接.易证:.若和都是等腰直角三角形,且,如图②:若和都是等腰三角形,且,如图③:其他条件不变,判断和之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
16.(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.在中,,D是边上一点,且(n为正整数),E是边上的动点,过点D作的垂线交直线于点F.【初步感知】(1)如图1,当时,兴趣小组探究得出结论:,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当,且点F在线段上时,试探究线段之间的数量关系,请写出结论并证明;②请通过类比、归纳、猜想,探究出线段之间数量关系的一般结论(直接写出结论,不必证明)【拓展运用】(3)如图3,连接,设的中点为M.若,求点E从点A运动到点C的过程中,点M运动的路径长(用含n的代数式表示).17.(2023·重庆·统考中考
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