2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题16 指数函数-2024一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题16指数函数题型一指数函数的图像及应用1．在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】为幂函数，为指数函数A.过定点，可知，，的图象符合，故可能.B.过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.C.过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A2．如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（）A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c【答案】B【解析】根据函数图象可知函数①y=；②y=为减函数，且时，②y=①y=，所以，根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且时，③y=c1④y=d1，所以故选：B3．当且时，函数的图象一定过点A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，当时，故函数图像过点故选4．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于A． B． C． D．【答案】A【解析】函数为幂函数，则：，函数的解析式为：，幂函数过定点，函数中，当时，函数过定点，据此可得：.本题选择A选项.5．函数y=2x与y=（）x关于对称A．x轴 B．y轴C．y=x D．原点【答案】B【解析】函数y=（）x=2–x，与函数y=2x的图象关于y轴对称，故选B．6．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，则单调递增，故排除AC；对于BD，单调递减，则，与y轴交于0和1之间，故排除B.故选：D.7．如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数且的图象经过点E，B，则a等于（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】设点，则由已知可得，又因为点E，B在指数函数的图象上，所以，式两边平方得，联立，得，所以(舍去)或，所以.故选：A.8．若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.【答案】【解析】不等式等价于，令，，当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则，即，，故的取值范围是，故答案为：.9．已知函数.（1）试求函数，的最大值；（2）若存在，使成立，试求的取值范围；（3）当，且时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2），或；（3）.【解析】解：（1），，令，，即有，当时，有最大值为1；当时，对称轴为，讨论对称轴和区间的关系，若，即，；若，即，；若，即，.综上可得，.（2）令，则存在使得，所以存在使得，或.即存在使得，，或；（3）由得恒成立因为，且，所以问题即为恒成立，.设令，.所以，当时，，.题型二指数函数的定义域与值域1．函数的值域是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，函数单调递增，因为，则，所以，，此时，函数的值域为；当时，函数单调递减，因为，则.所以，，此时，函数的值域为.综上所述，函数的值域是.故选：D.2．已知（，为常数）的图象经过点，则的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的图象经过点，则，所以，，则，因为函数在上为增函数，当时，，即.故选：C.3．已知.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）证明.【答案】（1）；（2）为偶函数，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由，得，即.函数的定义域是；（2）函数的定义域关于原点对称，，，所以，函数为偶函数；（3）当时，，，则；由于函数为偶函数，当时，，则.综上所述，.4．求函数的定义域､值域：【答案】答案见详解【解析】函数定义域为R∵x2-2x–3=(x-1)2–4≥-4∴又∵∴函数的值域为(0，16]综上，知：函数定义域、值域分别为R、(0，16]

5．设函数（1）若函数的图象关于原点对称，函数，求满足的的值；（2）若函数在的最大值为，求实数a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵的图象关于原点对称，∴，∴，即，所以；令，则，∴，又，∴，所以满足的的值为.（2），，令，，对称轴，①当，即时，，∴；②当，即时，，∴（舍）；综上：实数a的值为.题型三指数函数的单调性1．若函数单调递增,则实数a的取值范围是()A． B． C．​ D．【答案】B【解析】解：函数单调递增，解得所以实数的取值范围是．故选：．2．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，，，，正确；对于B，，，，错误；对于C，在定义域中单调递增，，正确；对于D，，又，则，正确；故选：ACD3．已知函数是定义在R上的奇函数.（1）求a的值；（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.【解析】解：（1）是定义在R上的奇函数，，从而得出，时，，；（2）是R上的增函数，证明如下：设任意，且，，，，，，，是在上是单调增函数.，又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，，，；（3）假设存在实数k，使之满足题意，由（2）可得函数在上单调递增，，，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令，即方程有两个不等的正根，于是有且且，解得：.存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.4．已知函数（1）若，求函数的单调区间（2）若有最大值3，求a的值（3）若的值域是，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；；（2）1；（3）0.【解析】解：当时，，令，则在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，

即函数的单调增区间是，单调减区间是；令，，由于有最大值3，所以有最小值，因此必有，解得，即当有最大值3时，实数a的值为1；在（2）基础上，由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为R，因为二次函数的值域不可能为R，所以．题型四指数函数的最值问题1．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（）.A．2 B． C．3 D．【答案】AB【解析】设，当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值.所以，求得或者（舍）；当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，最小值，所以，求得（舍）或者.综上所述：或者.故选：AB2．已知函数，且在区间上的最大值比最小值大．（1）求的值；（2）若函数在区间的最小值是，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，函数在区间上单调递增，则该函数的最大值为，最小值为，由题意得，解得，或（舍去）；当时，函数在区间上单调递减，则该函数的最大值为，最小值为，由题意得，即，该方程无实数解．综上；（2）函数，令，，任取，因，，所以，有，，所以．则函数在上单调递增，故．令，因此，，所以问题转化为：函数在上有最小值，求实数的值．因，对称轴方程为，当时，即当时，函数在上单调递增，故，由，解得与矛盾；当时，即当时，，由，解得或（舍去）.综上，．3．已知函数，.（1）求函数在上的单增区间；（2）求函数在上的最大值和最小值【答案】（1）单增区间为；（2），.【解析】（1）因为，设，，则，所以是开口向上，对称轴为的二次函数，当，即时，函数单调递增，又是增函数，所以函数在上单调递增；当，即时，函数单调递减，又是增函数，所以函数在上单调递减；因此，函数在上的单增区间为；（2）由（1）知：函数在上单减，在上单增；所以，当时，；又当时，；当时，，所以.4．函数是奇函数．（1）求的解析式；（2）当时