2024年广东省2024届高三二模数学试卷（含标准答案）

后附原卷扫描版★启用前注意保密后附原卷扫描版广东省2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(二) 数学 2024.04本试卷共5页,19小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足|z-3+i|=2,z在复平面内对应的点为(x,y),则A.x-3²+y+1²=2BC.x-3²+y+1²=4D.2.已知集合A={x|ln(x-1)≥0},集合.B=x|x²-3x<0,则A∪B=A.(0,2]B.[2,3)C.(0,+∞)D.[2,+∞)3.在平行四边形ABCD中,点E满足AE=14A.34AB-14C.AB-144.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若(a₁=1,S₄=3S₃+S₁,则a₄=A.-5B.-7C.5D.7数学模拟测试(二)第1页(共5页)5.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a₁=1.00m,之后将小镜子前移(a=6.00m,重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为(a₂=0.60m,已知人的眼睛距离地面的高度为h=1.75m,则钟楼的高度大约是A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m6.函数f(x)的定义域为R,f(2)=3,若∀x∈R,f'(x)>1,则f(x)>x+1的解集为A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,+∞)7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆(O:x²+y²=1,若等腰直角△ABC的直角边AC为圆O的一条弦，且圆心O在△ABC外，点B在圆O外，则四边形OABC的面积的最大值为A.52+1B.2+18.已知球O与圆台O₁O₂的上、下底面和侧面均相切，且球O与圆台O₁O₂的体积之比为12,则球O与圆台O₁OA.16B.14C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.若y是样本数据x₁,x₂,x₃,x₄的平均数,则A.x₁,x₂,x₃,x₄的极差等于x₁,x₂,x₃,x₄,y的极差B.x₁,x₂,x₃,x₄的平均数等于x₁,x₂,x₃,x₄,y的平均数C.x₁,x₂,x₃,x₄的中位数等于x₁,x₂,x₃,x₄,y的中位数D.x₁,x₂,x₃,x₄的标准差大于x₁,x₂,x₃,x₄,y的标准差10.下列函数中，是偶函数且在-πA.f(x)=|sin2x|B.f(x)=|cos2x|C.f(x)=|sinx|+cosxD.f(x)=sinx+|cosx|数学模拟测试(二)第2页(共5页)11.设O为坐标原点,抛物线C:y²=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为(F₁,过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，过点A，B分别作l的垂线，垂足分别为A₁,B₁，则下列说法正确的有A.|A₁F₁|⋅|B₁F₁|=|FF₁|²B.|A₁B₁|≤2|FF₁|C.|OA|⋅|OB|=|OA₁|⋅|OB₁|D.|OA|+|OB|≥|OA₁|+|OB₁|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.x-yx+y⁶的展开式中x³y⁴13.将一个直角三角板放置在桌面上方.如图，记直角三角板为△ABC,其中C=π2,AB=14,BC=7,记桌面为平面α.若C∈α,且BC与平面α所成的角为-π6,，则点A到平面14.如图，在平面直角坐标系xOy中放置着一个边长为1的等边三角形PAB，且满足PB与x轴平行，点A在x轴上.现将三角形PAB沿x轴在平面直角坐标系xOy内滚动，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y=fx,则f(x)的最小正周期为；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知双曲线:x2a2-y(1)求双曲线C的方程；(2)若A,B为双曲线C上的两点,且直线l:y=13x过AB数学模拟测试(一)第3页(共5页)16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,点D是CC₁的中点，AC=BC,AA₁=AB.(1)证明:AB₁⊥(2)若BC⊥AC,AB=2,求平面A₁BD与平面ABD的夹角的余弦值.17.(15分)已知f(1)求f(x)的单调区间;(2)函数f(x)的图象上是否存在两点.Ax₁y₁,Bx₂y₂(其中x₁≠x₂),使得直线AB与函数f(x)的图象在数学模拟测试(二)第4页(共5页)18.(17分)已知正项数列an,bn,满足an+1=b(1)若a₁≠b₁,且a₁+b₁≠2c,证明：数列丨an-bn丨和{an+bn-2c}(2)若a₁>b₁,a₁+b₁=2c,以an，bn，c为三角形三边长构造序列.△AnBnCn(其中AnBn=c,BnCn=an,,AnCn=bn),记△AnBnCn外接圆的面积为Sn(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.19.(17分)如图，在平面直角坐标系xOy中有一个点阵，点阵中所有点的集合为M=从集合M中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=2时，求X的分布列.(2)对给定的正整数n(i)求随机变量X的所有可能取值的个数；(用含有n的式子表示)()求概率P(X<2n-1).数学模拟测试(二)第5页(共5页)★启用前注意保密2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(二)数学参考答案评分标准：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CCBADBAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ABDACACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.-513.21214.3;²π/3+5(第1空2分,第2空3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.解:(1)因为双曲线(:x2a2-y2b2=1a因为双曲线C的渐近线方程为y=±所以ba=33.解得a=3,b=1.……所以双曲线C的方程为x23-y2=1.数学模拟测试(二)参考答案第1页(共7页)(2)①当直线AB过原点时,y=13x过AB的中点恒成立，因为直线AB与双曲线相交，所以-33<②当直线AB不经过原点时，设/A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x123-y12=1,x22由AB的中点x1+x22y1+y22所以y1-y2x1-16.(1)证明:如图1,记A₁B与AB₁的交点为点O,连接B₁D,OD,…………1分因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以∠A₁AB=∠DCA=∠B₁C₁D=90°.………………2分因为AA₁=AB,所以四边形AA₁B₁B是正方形,故AB₁⊥A₁B.···………………………3分因为AC=BC,BC=B₁C₁,所以,AC=B₁C₁.又因为D是CC₁的中点,所以CD=C₁D,所以.AD=CD2因为四边形AA₁B₁B是正方形，所以点O是AB₁的中点，所以AB₁⊥OD.……………………5分又因为A₁B,OD⊂平面A₁BD,A₁B∩OD=O,……·6分所以AB₁⊥平面A₁BD.………7分(2)解:因为BC⊥AC,AB=AA₁=2,所以AC=BC=2.…8方法一:如图2,以点C为原点,分别以CA,CB,CC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则/A(2,0,0),B(0,2,0),B₁(0,2,2),D(0,0,1).………9分所以B=-220,BD=因为AB₁⊥平面A₁BD,所以平面A₁BD的法向量为AB1=-设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n⋅AB=0,n⋅BD=0,即-2x+2数学模拟测试(二)参考答案第2页(共7页)

n=(1,1,2……··13分得:).设平面A₁BD与平面ABD的夹角为θ,则14分所以平面A₁BD与平面ABD的夹角的余弦值为12.15方法二:如图3,平面A₁BD与平面ABD的交线为BD,过点O作OE⊥BD,垂足为点E,连接AE.由(1)知AO⊥平面A₁BD,因为BD⊂平面A₁BD,所以AO⊥BD.又因为OE,AO⊂平面AOE,OE∩AO=O,所以BD⊥平面AOE.……9分因为AE⊂平面AOE,所以BD⊥AE.所以∠AEO是平面A₁BD与平面ABD的夹角.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分在△ADB中,AD由△ADB的面积可得12×2×32因为OE⊂平面A₁BD,所以AO⊥OE.12分在Rt△AOE中,13分sin所以cos∠AEO=所以平面A₁BD与平面ABD的夹角的余弦值为12.1517.解:(1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+∞),1分求导得f'x=因为a>0,由f'(x)>0,得x>2;由f'(x)<0,得0<x<2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分数学模拟测试(二)参考答案第3页(共7页)(2)由题得y1=1kAB==12a由题得f(x)的图象在x0=x1+x22假设k则1整理得lnx2-lnx1所以lnx2x设t=x2x1,则t>记gt=lnt-2t-1t+求导得g'所以g(t)在(0,1),(1,+∞)上单调递增,…………………14分因为g(1)=0,所以。g(t)≠0在l∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立,所以不存在这样的两点A，B.……………15分18.证明:(1)由an+1=bn+c2,bn+数学模拟测试(二)参考答案第4页(共7页)所以aₙ-bₙ是以a₁-b₁为首项，-由an+1=bn两边同时减2c，得a即an+1因为a₁+b₁≠2c,所以aₙ+bₙ-2c是|以a₁+(2)因为a₁>b₁,由(1)得aₙ-bₙ是等比数列，所以(a由(1)得a因为a₁+b₁=所以aₙ+bₙ-2c为常值数列0，故cos由因为aₙ≠bₙ,所以等号不成立，故因为Cₙ∈0π,所以Cn∈由正弦定理得△A∩BₙCₙ外接圆的直径2r=csinCn>c3(3)由(1)可知an-bn=a1-解得an=c所以anbnanbn随着n的增大而增大，又因为cosCn=所以cosCn随着n的增大而减小,所以{cosCn}是递减数列,因为Cn∈0π3,所以{sin数学模拟测试(二)参考答案第5页(共7页)所以{Sₙ}是递减数列.…………17分19.解:(1)当n=2时,集合M中共有9个点,则X的所有可能取值为1，2,2,5,22.………1分所以PPPPP所以X的分布列为x122P(2)(i)由题意得，集合M中任取两个不同的点之间的不同距离的总数可以转化成边长为i(i=1，2，3，…，n)