八年级数学下册培优讲义(人教版)

2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义第1讲二次根式的概念及性质考点·方法·破译1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．经典·考题·赏析【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．【变式题组】1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、在、、、、中是二次根式的个数有______个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．【变式题组】1、使代数式有意义的x的取值范围是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4D、x≥3且x≠42、使代数式有意义的x的取值范围是3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=++2009，则x+y=解题思路：式子（a≥0），，y=2009，则x+y=2014【变式题组】1、若，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。4、已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。5、若的整数部分是a，小数部分是b，则。6、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.【例4】若则．【变式题组】1、若，则的值为。2、已知为实数，且，则的值为（） A．3 B．–3 C．1 D．–13、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为.4、若与互为相反数，则。【例5】化简：的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4【变式题组】1、在实数范围内分解因式:=；=化简：＝已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为【例6】已知,则化简的结果是()A、 B、 C、 D、【变式题组】1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a<0，那么│－2a│可化简为（）A．－aB．aC．－3aD．3a3、若，则等于（）A.B.C.D.4、若a－3＜0，则化简的结果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－2a5、化简得（）（A）2（B）（C）－2（D）6、当a＜l且a≠0时，化简＝．7、已知，化简求值：＝【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a【变式题组】1、实数在数轴上的位置如图所示：化简：．2、化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤13、若代数式的值是常数，则的取值范围是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或【例8】如果，那么a的取值范围是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1【变式题组】1、如果成立，那么实数a的取值范围是（）2、若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）3、化简二次根式的结果是（）（A）(B)(C)(D)4、把二次根式化简，正确的结果是（）A. B. C. D.5、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝；＝。【例9】观察下列各式：你能得出怎样的结论？并给出证明。解析：仔细观察，不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的整数、根号内的分数的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得结论为【变式题组】1、观察下列分母有理化的运算：利用上面的规律计算：__________。2、化简【例10】（2010.全国初中数学联赛）若实数a,b,c满足2＋3︳b︳=6，4－9︳b︳=6c,C可能取的最大值为﹙﹚A.0B.1C.2D.3【变式题组】1.（武汉竞赛）已知实数a满足|2006-a|＋=a,那么a－20062的值是（）A.2005B.2006C.2007D.20082、((华师一中招生）已知实数满足＋+|10-2b|＝2，则代数式ab＋bc的值为。演练巩固·反馈提高1、已知y=+,+3，则xy=.2、(华师一中招生）把（a-b)根号外的因式移到根号内结果为（）A.B.C.－D.－3、（2010.湖北荆门）计算+=。代数式a化简为（）A.B.－C.D.－5、（2010.荆门）若a,b为实数，且满足︳a－2︳＋=0,则b－a的值为（）A.2B.0C.－2D.以上都不对6.已知△ABC三边a,b,c满足a2＋b＋︳－2︳＝10a＋2－22,则△ABC为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D..等腰直角三角形7、（2010.自贡）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（）A.3B.5C.15D.258、计算的结果是（）A． B．C．D．9、适合的正整数a的值有（）个A．1B．2C．3D．410.等式=（x-4）成立的条件是（）A．x≥4B.4≤x≤6C.x≥6D.x≤4或x≥611.（2012台州）已知xy＜0,则化简x的正确结果是（）A．B.C.－D.－12、（2012烟台市市）若=1-2a,则。13、已知是整数，求自然数n的值=。14、(2010.湖北孝感）使是整数的最小整数n=。15.（2012绵阳）要使+有意义，则x应满足。16．（2012凉山）已知y=+-3,则2xy的值为。培优升级·奥赛检测﹙2010.湖北黄石﹚已知x﹤1，则化简的结果是﹙﹚A．x－1B.x＋1C.－x－1D.1－x2.﹙2010.呼和浩特﹚已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b,则a＋b＝.3.﹙2010.福建德化﹚若整数m满足条件＝m＋1,且m＜，则m的值是。4、已知a,b,c是△ABC的三边，化简＋－＝。5、实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简＝。6、如果+│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长＝。7、计算：+++…+=。8、观察下列等式:(1)=;(2)=2;(3)=3;(4)=4根据你发现的规律填空:(1)第5个等式是_________________;(2)第n个等式是__________________;9、（2010年嘉兴市）当时，代数式的值是。10、(2010年荆门市)若a、b为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b－a的值为.11、（2010年义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）AABC30°第11题图第2讲最简二次根式及化简求值考点·方法·破译1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。3．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。4．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。5．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。6.根式比较大小1、根式变形法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。2、平方法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：=1\*GB3①；=2\*GB3②经典·考题·赏析【例1】在根式1)，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)【变式题组】1、中的最简二次根式是。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)5、把下列各式化为最简二次根式：(1)(2)(3)【例2】下列根式中能与是合并的是()A.B.C.2D.【变式题组】1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能与合并的二次根式是。3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式,则a=__________.【例3】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【变式题组】1．把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）2.把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）3、已知，，求下列各式的值：（1）（2）4、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）【例4】化简(1)(2)(3)(4)()【变式题组】1.计算（1）

（2）

（3）

（4）（5）

（6）

2.化简：(1)(2)(3)【例5】能使等式成立的的x的取值范围是（）A、B、C、D、无解【变式题组】1.计算（1）；（2）；2.计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.计算1、2、EQ\F(2,EQ\R(,2))(2EQ\R(,12)+4EQ\R(,EQ\F(1,8))－3EQ\R(,48))3、·（-4）÷4、【例6】已知：，求的值=__________.【变式题组】1．已知，求的值=__________2．已知：，求的值=__________.3．求的值=__________.4．已知、是实数，且，求的值=__________.【例7】比较与的大小。（用两种方法解答）【变式题组】1.比较与的大小。2.比较与的大小。3.比较与的大小。4.比较与的大小【例8】（2010.福建德化）化简﹙＋2﹚－=__________.【变式题组】1.（2010.江西中考）化简－﹙1－﹚的结果是﹙﹚A.3B.－3C.D.－2.﹙全国联赛﹚化简2＋=__________.3.﹙2010.初中数学竞赛﹚若a≠b，化简的结果为﹙﹚A.－B.－－C.＋D.0【例9】已知x＝,y＝,求x4＋y4的值=__________。【变式题组】1.已知a＝,求－的值=__________2.﹙2010.黄冈竞赛﹚若a,b是实数，且a＝＋＋4,则a＋b的值﹙﹚A.3或－3B.3或－1C.－3或－1D.3或13.﹙.天津竞赛﹚已知x＋＝7﹙0＜x＜1﹚,则－的值为﹙﹚A.－B.－C.D.4.﹙天津竞赛﹚若－|m|＝1,则＋|m|的值为﹙﹚A.B.－C.－D.5.已知a－＝，则a＋的值为﹙﹚A.B.－C.±D.6【例10】﹙2010.全国竞赛﹚已知a＝－1,求2a3＋7a2－2a－12的值=__________。【变式题组】1.设a＝,求a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17的值=__________。2．把二次根式（y>0）化为最简二次根式结果是（）．A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不对3．化简=_________．（x≥0）4．a化简二次根式号后的结果是_________．5.已知0，化简二次根式的正确结果为_________．【例11】．若+=0，求a2004+b2004的值_________．．【变式题组】1．已知+=0，求xy的值_________．．2.若，求的值值_________．．。3．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．4．若│1995-a│+=a，求a-19952的值_________．．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）【例12】设，，求的值_______。【变式题组】1、设，求的值_______。2、已知，求的值_______。3、已知，求的值_______。【例13】已知，那么的值等于______________。【变式题组】1、若，则的值为（）A.B.C.D.不能确定2、已知，求的值______________。3．已知是实数，且，问的关系是______________。4.已知，求的值。5.已知均为正数，且，求的最小值______________。6.求代数式的最小值______________。演练巩固·反馈提高1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有______3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值______．4.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值______．5.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．--的有理化因式是_______．6．（1）当x_________．时，在实数范围内有意义？（2）当x_________．时，+在实数范围内有意义？（3）当x_________时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。7．已知y=++5，求的值_________．．8．若+有意义，则=_______．9.若有意义，则的取值范围是。10.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++=_________．。11.当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值=_________12．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．13.已知a=-1,求a3+2a2-a的值=_________14．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．15．先化简，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．16．当x=时，求+的值____．17.已知，求的值____18．若，则等于_____．20．已知，求的值____．21．已知是实数，且，求的值____.22．若与互为相反数，求代数式的值____.23．若满足，求的最大值和最小值____.（结果用最简二次根式表示）培优升级·奥赛检测1.﹙2010.山东潍坊﹚已知＋＝0，则x－y的值为（）A.2B.6C.2或－2D.6或－62.﹙2010.黄冈预选赛﹚已知﹙＋﹚＝3﹙＋4﹚，其中ab≠0,则的值为﹙﹚A.B.CD.以上答案均不对a、b、c为有理数，且等式a＋b＋c＝成立，则2a＋999b＋1001c的值是﹙﹚A.1999B.2000C2001D.不能确定3·若式子＋化简结果为2x－3，则x的取值范围是﹙﹚A．x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞04．a、b、c为有理数，且等式a＋b＋c＝成立，则2a＋999b＋1001c的值是﹙﹚A．1999B.2000C.2001D.不能确定5.已知a为实数，则代数式－＋＝。6.设x＝,a是x的小数部分，b是－x的小数部分，则a3＋b3＋3ab＝.7.﹙武汉CASIO杯竞赛﹚已知a＝－，b＝－,c＝－,则a,b,c三者的大小关系为。8.﹙全国联赛﹚已知实数x,y满足﹙x－﹚﹙y－﹚＝2008,则3x2－2y2＋3x－3y－2007的值为。9.观察下列各式：＝2，＝3，＝4，…请你将发现的规律用含自然数n﹙n≥1﹚的形式表示出来。10．化简∶﹙﹚=。11．若x＋y＝,x－y＝,则xy＝.12．已知x＝,y＝,则x＋12xy＋y＝.13．已知实数x、y满足﹙x－﹚﹙y－﹚＝2008,则3x－2y＋3x－3y－2007＝.14．计算：＝.15·已知x＝,那么＝.16.计算:⑴﹙＋＋＋…＋﹚﹙＋1﹚⑵﹙五市联赛﹚第3讲勾股定理考点·方法·破译1．会用勾股定理解决简单问题.2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典·考题·赏析【例1】(达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是()A．13B．26C．47D．94【解法指导】观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D四个面积之和，故选C．【变式题组】lA1DCB2第1题图第2题图第3题图AClA1DCB2第1题图第2题图第3题图ACBl1l2l302．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是()BA3cm1cm6cmA． B． C． BA3cm1cm6cm【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.B51015A20B51015A20C第1题图【变式题组】01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是()第2题图AB吸管1065A． B．25 第2题图AB吸管106502．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为_____cm.(精确到个位，参考数据:＝1．4，＝1．7:＝2．2)ADBECFADBECFMN【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cmABCD【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2ABCD【变式题组】01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD．02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5，D为BC边的中点.求S△ABC．03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝.求AC．AOByxy＝－2x【例4】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB是一次函数y＝－2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线AOByxy＝－2x【解法指导】求C点坐标需分类讨论.若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.OCyxE若以A为顶点，AO为腰，则C在以A为圆心，OCyxE若以C为顶点，则C在OA的中垂线与y＝－2x的交点处.【解】⑴若以O为顶点，OA为腰，如图设C(t，－2t)，则在Rt△COD中，AyxDOCOC2＝OD2＋CD24＝t2＋(－2t)25t2＝4AyxDOC∴C1(，），C2(，）⑵若以A为顶点，AO为腰，如图，设C(t，－2t)，在Rt△ACE中AAC2＝CE2＋AE222＝t2＋(－2t－2)2 t＝0（舍去），t＝∴C3(，)⑶若C为顶点，C在OA的中垂线上.∴C4(，1)A【变式题组】01．若A（3，2），B为x轴上一点，O为坐标原点.若△AOB是等腰三角形.求B点坐标.AA(4,0)y＝2xxyO02．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B为y＝2x上一点，若△AOB为等腰三角形.求B点坐标.AAy＝2xxyO03．如图.在平面直角坐标系中，A(0，4)，B为y＝2x上一点，若△AOB为直角三角形.求B点坐标.【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；OAQPBRP1P2OAQPBR图2BDCAPOAQPBRP1P2OAQPBR图2BDCAPE图1A’APBl【解】如图2，作P关于OB的对称点P1，关于OA的对称点P2，连接P1P2，交OB于R，交OA于Q，则△PRQ的周长最小，且此时△PRQ的周长为PR＋RQ＋QP＝P1P2．连接OP1，OP2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45°OCAxyBDP∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP＝OP2，在Rt△OP1P2中，P1P22＝OP12＋OCAxyBDP【变式题组】01．(荆门)一次函数y＝kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.⑴求该函数的解析式；⑵O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.CCABDMN02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.AC2FB4DxH8－xAC2FB4DxH8－xED，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.【例6】求＋的最小值.【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x2＋4＝x2＋22，(8－x)2＋16＝(8－x)2＋42均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以，为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.【解】如图，作AB＝8，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝2，BD＝4.E是AB上一动点.设AE＝x.则BE＝8－x.∴CE＝，DE＝.所以求代数式最小值问题转化为在AB上求一点E，使CE＋DE值最小.根据线段公理，连接CD交AB于H，则CD为所求.作CF⊥DB交DB延长线于F.在Rt△CDF中，CD＝＝10.∴所求最小值为10.【变式题组】ABCDE01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.⑴用含x的代数式表示AC＋CE的长；⑵请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?⑶根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式ABCDE02．(咸宁)问题背景:在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.⑴请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；思维拓展:⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a、a、a(a＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；探索创新:⑶若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积.【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.⑴当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2＋BN2；【思路点拨】考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.请你完成证明过程:⑵当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【解法指导】观察求证的结论容易发现MN2＝AM2＋BN2符合匀股定理的结构形式.因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形.【解】(l)证明:将△ABM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.∵△ACM≌△DCM∴∠1＝∠2，AC＝CD，∠A＝∠MDC∵AC＝BC∴CD＝BC∵∠MCN＝45°，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠3＝∠4在△DCN和△BCN中，CD＝CB∠3＝∠4∴△CDN≌△CBN，∴∠CDN＝∠B＝45°，BN＝DNCN＝CN∴∠MDN＝90°在Rt△DMN中，MN2＝DM2＋DN2∴NM2＝AM2＋BN2⑵将△ACM沿直线CM对折，得△GCM，连接GN.∵△GCM≌△ACM，∴∠CGM＝∠CAM＝135°，∠1＝∠2，AM＝GM∵∠BCN＝90°－∠3＝90°－(45°－∠1)＝45°＋∠1＝45°＋∠2∠CGN＝∠1＋∠3＋∠2＝45°＋∠2∴∠BCN＝∠CGN在△BCN和△GCN中CN＝CN∠BCN＝∠CGNGN＝BN∴△BCN≌△GCN，∴∠CGN＝∠B＝45°，CB＝CG∴∠MGN＝135°－45°＝90°，在Rt△MGN中，MN2＝MG2＋GN2，∴MN2＝AM2＋BN2【变式题组】01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边的中点，DE⊥DF.求证：EF2＝AE2＋BF202．我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.⑴写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________；⑵如图1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；⑶如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形.03．(台州)如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K.⑴观察:①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK______MK(填“＞”、“＜”或“＝”).②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK______MK（只填“＞”或“＜”).⑵猜想:如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK______MK，证明你所得到的结论.⑶如果MK2＋CK2＝AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值.AABC演练巩固·反馈提高1．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高为（）A． B． C． D．ABCDEF02．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝cmABCDEFA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm03．(滨州)已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD为8，则边BC的长为()A．21 B．15 C．6 D．21或904．在同一平面内把边BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC'，则CC'的长等于()A．B．C．D．05．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为()A．3:4:5 B．5:4:3 C．20:15:12 D．9:16:2506．(山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为()A． B． C． D．207．(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF面积为_____.08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.09．(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m.10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为______.11．(湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1＋S2的值等于________.12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝，则该四边形的面积是_______.13．已知等腰三角形ABC的底边AB＝20cm，P是腰AC上一点，且AP＝12cm，BP＝16cm，则腰长是_________.14．(沪州)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D′，则BD′＝_______.yx15．如图，点A在反比例函数的图象上，OA＝4，AC⊥x轴，OA的中垂线交x轴于B．求yx△ABC的周长.16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120°，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?17．(牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.A(3,4)B(a,1))xyO18．如图A(3，4)，B(a，1)，AB＝5，A(3,4)B(a,1))xyO长的最小值.19．如图，在正△ABC中，DC＝4，DB＝3，DA＝5，求∠CDB．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为三角形内一点，DC＝2，DB＝1，DA＝3．求∠CDB．培优升级•奥赛检测01．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是()A．②④ B．①④ C．②③ D．①③02．(四川联赛试题)BD是△ABC的中线，AC＝6且∠ADB＝45°，∠C＝30°，则AB＝()A． B． C． D．603．（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x、y、z的三角形记为(x，y，z)，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个04．(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（）cm2A．105.6 B．110.4 C．115.2 D．124.805．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD、EF、GH B．AB、CD、EF C．AB、CD、GH D．AB、EF、GH06．(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，则△ABC的面积等于()A． B． C． D．07．(四川省初二数学联赛试题)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____秒时，PA与腰垂直.08．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3则BC＝___09．(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长.10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求.S△DEF图①xyOBAC11．如图①，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别交于点A、C图①xyOBAC限内作长方形OABC．⑴求点A、C的坐标；⑵将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）⑶在坐标平面内，是否存在点P(除点B外)，使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.DDxyOBACB’图②12．(浙江省义乌)如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点(点P与B不重合)，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F.⑴如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝_____°，猜想∠QFC＝_______°；⑵如图l，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；⑶已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式.13．一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为60km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h.在草地上行驶的最快速度是30km/h，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?最短时间是多少?14．是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等?若存在，求出它的边长；若不存在，说明理由.第4讲平行四边形考点•方法•破译⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形.经典•考题•赏析【例1】（莆田）已知:如图在□ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【解】⑴①△DOE≌△BOF证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠MBO＝∠NDO,∠BMO＝∠DNO，又∵BO＝DO∴△BOM≌△DON（AAS）③△ABD≌△CDB证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝CB，AB＝CD，又∵BD＝DB∴△ABD≌△CDB（SSS）⑵绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．【变式题组】01．（吉林省长春）如图，在□ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．02．（沈阳）如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．02．（长春）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC上，以CD、CE为邻边作□CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；⑵求证：△BCG≌△DCE．【例2】如图，□ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则□ABCD的面积为．【解法指导】在三角形或平行四边形中，若题目中有高，常利用面积等式建立方程，从而求解．【解】∵□ABCD的周长为20，∴AD＋DC＝10，设AD＝x,则DC＝10－xS□ABCD＝AD•BE＝DC•BF∴2x＝3（10－x）∴x＝6S□ABCD＝AD•BE＝6×2＝12【变式题组】01．如图，□ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC、EF的长．02．（上海竞赛）在□ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°求BC的长．03．（北京初二年级竞赛试题）平行四边形ABCD中,AD＝a,CD＝b,过点B分别作AD边上的高Ha和CD边上的高Hb,已知Ha≥a,Hb≥b,对角线AC＝20厘米,求平行四边形ABCD的面积.【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C（1,0）三点.⑴若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1）⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y＝－x－1【变式题组】01．如图，直线l1:y＝－＋3与y轴交于点A，与直线l2交于x轴上同一点B，直线l2交y轴于点C，且点C与点A关于x轴对称．⑴求直线l2的解析式⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），P是y轴上一动点，在直线y＝x上是否存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．03．（四川资阳）若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；⑶利用⑵的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．问题二:如图3，在∆ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断∆AGD的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．【解】⑴△OMN为等腰三角形．⑵△AGD为含有30°的直角三角形．证明：连接BD，取BD的中点M，连接FM、EM．∵AF＝FD，BM＝MD∴MFAB同理MECD．∵AB＝CD∴MF＝ME，又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°∴△AGF为等边三角形∴FG＝FD∴∠ADG＝30°∴△AGD为含有30°的直角三角形．RPDCRPDCBAEF01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（)A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D,AB＝12,AC＝22,则MD的长为（）.A.3B.4C.5D.6【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N在AC上，且AN＝MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．【解】方法1、如图2，过M作MEAN,连接BE,EN,则得AMEN,∴ME⊥BC,AM＝EN在△AMC和△BEM中，AC＝BN,∠BNE＝∠C＝90°,ME＝MC∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°,∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如图3，过B作BFAN,连接AF,FM也可证得．【变式题组】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．演练巩固反馈提高01．（东营）如图，□ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm02．(桂林）如图，□ABCD中，AC,BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A.3B.6C.12D.2403．(威海）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,AB＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（）A．AD＝BCB.CD＝BFC.∠A＝∠CD.∠F＝∠CDE04．(日照）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是（）A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等06．（陕西）如图，l1∥l2BE∥CF,BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中AB＝DC;BE＝CFS△ADE＝S△DCF④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件：AB∥CDAB＝CDBC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________09．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____四边形ABED是平行四边；△AGD≌△CGE△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.（1）.求证:△ABC≌△EAD(2).若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.⑴求证：△ADE≌△DFC⑵过点E作EH∥DC交DB于点G,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．培优升级奥赛检测01．(铁岭)△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B,C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.⑴如图1所示，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC;探究四边形BCGE是怎样特殊四边形？并说明理由．⑵如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出(1)中的两个结论是否成立？02．(山东省初中数学竞赛试题)如图，△ABC中，AB＝3,AC＝4,BC＝5,△ABD,△ACE△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．03．(武汉)如图，□ABCD中，BC＝2AB,CE⊥AB,E为垂足，F为AD的中点，若∠AEF＝54°,求∠B的度数．04．(南昌市)八年级竞赛试题四边形ABCD的对角线AC,BD交于P,过点P作直线EF,交AD于E,交BC于F,若PE＝PF,且AP＋AE＝CP＋CF,求证：四边形ABCD为平行四边形．05．(荆州市八年级数学联赛试题)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD;连接AC,过点A作AE⊥AC且使AE＝AC;连接BE,过点A作AH⊥CD,垂足为H,且交BE于点F,求证：BF＝EF.06．在课外小组活动时，小慧拿来一道题和小东，小明交流．题目：如图1，已知△ABC,∠ACB＝90°,∠ABC＝45°,分别以AB,BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA＝DB,EB＝EC,∠ADB＝∠BEC＝90°,连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G,构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：(1)写出题目中DF与EF的数量关系；(2)如图2，若∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°,题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；(3)如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．第5讲菱形与矩形考点·方法·破译1．理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；2．理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用．经典·考题·赏析【例1】(衢州)如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ．ABABCDQP【解法指导】证明线段相等的方法有如下：⑴若在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；⑵若在不同三角形中可利用全等三角形证明；⑶利用三角形中位线定理与直角三角形谢边上中线等于斜边一半证明；(4)利用特殊四边形的边与对角线的关系证明等．证明：∵四边形ABCD为矩形，△PBC、△QCD都是等边三角形∴BA＝CD＝CQ，∠PBA＝30°，BP＝CP，∠DCP＝∠BCQ＝30°，∴∠PCQ＝30°在△ABP和△QCP中BA＝CQ，∠ABP＝∠QCP，BP＝CP∴△ABP≌△QCP，∴PA＝PQ【变式题组】01．(荆州)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F，连接DE．求证：DF＝DC．ABABCDEF02．(荆州)如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于点P，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与PA相等的线段．并说明理由．ABABCEDP03．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．ABABCEDOABCEDO【例2】已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE＝BC，点O是线段CE的中点．⑴试说明CE平分∠BED；⑵若AB＝3，BC＝5，求BO的长；⑶在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、E、ABCEDO【解】⑴∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC．又∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC．∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．⑵在Rt△中，AB＝3，BE＝BC＝5，∴AE＝4．在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴EC＝EQ\R(,10)．在Rt△BOC中，BC＝5，CO＝EQ\f(\r(,10),2)，∴BO＝EQ\f(\r(,90),2)＝EQ\f(3\r(,10),2)．(注：此处用面积法求BO也可)⑶在直线AD上存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形．ABCOxy延长ED至F，使得EF＝BC，此时四边形BCFE是菱形．∵AE＞DE，∴BE＞CE，因此在EAABCOxy【变式题组】01．(烟台)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y＝Eq\f(2,x)的图像上，菱形的面积为_________．\f(2,)02．(益阳)两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：⑴如图1，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；⑵如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．ABABCFED图1FCEBDA图2【例3】(全国联赛)如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF＝__________．ABABCFEDOPGFEDAPCOB【解法指导】因为P是AD上任意一点，故想求出PE、PF长的具体数据是不可能的，从特殊位置考虑，当P与A重合时，PE＋PF就等于点A到BD的距离，因而只需要求出A到BD的距离，事实上利用面积法可以证明下列命题“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．” 解：如图，过A作AG⊥BD于G，∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和等于腰上的高．∴PE＋PF＝AG．Rt△ABD中，AD＝12，AB＝5，BD＝13．S△ABC＝Eq\f(1,2)AB•AD＝EQ\f(1,2)BD•AG，∴AG＝EQ\f(60,13)，∴PE＋PF＝EQ\f(60,13)．EQ\f(60,13)【变式题组】01．⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．ABABCFEB＇OABCFEB＇Oyx图1图202．(佳木斯)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠使点B落到B＇的位置，AB＇与CD交于点E．⑴试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；⑵若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．ABABCEDHGPB＇【例4】(沈阳)如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；⑴延长MP交CN于点E(如图2)．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；⑵若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；⑶若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？不必说明理由．ABABCMNPaABCMNPaEAaNPMBC图1图2图3【解法指导】⑴证明：①如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，∵P为BC的中点，∴BP＝CP，又∵∠BMP＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝EQ\f(1,2)ME，∴在Rt△MNE中，PN＝EQ\f(1,2)ME，∴PM＝PN；⑵成立，如图3，ABCDOMA＇60°45°证明：延长MP与NC的延长线相较于点E，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CMN＝90°，∴∠BMN＋∠CNM＝180°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，∵P为BC的中点，∴BP＝CP，∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，∵PM＝PE，∴PM＝EQ\f(1,2)ME，则在Rt△MNE中，PN＝EQ\f(1,2)MEABCDOMA＇60°45°⑶四边形MBCN是矩形，PM＝PN成立．【变式题组】01．(绵阳)如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A’BO，M为BC上一动点，则A’M的最小值为________．02．(营口)如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．⑴猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；、⑵当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，⑴中的结论还成立吗？说明理由．⑶如果⑵中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判定四边形EFGH的形状，并说明理由．ABABCHGFEDPABCHGFEDPABP图1图2图303．(北京)如图所示，一根长为2a的木棍(AB)，斜靠在与地(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；

⑵在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．ABABOPMN演练巩固反馈提高01．(仙桃)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝EQ\r(,3)，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为()

A．EQ\r(,3) B．2 C．3 D．EQ2\r(,3)OAOABCxyC１DABCFEB１ABCEDA＇第3题图第2题图第1题图02．(长春)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝EQ\r(,2)，则点B的坐标为()

A．(EQ\r(,2)，1) B．(1，EQ\r(,2)) C．(EQ\r(,2)＋1，1) D．(1，EQ\r(,2)＋1)03